Quelle serait la condition nécessaire pour

une' enveloppe sphérique de cuivre épaisse de e”*“ et complètement purgée d* air pût s\éleverdans Vair atmQsphérique ?

Nous plaçons cettè question après la piécédente , pour offrir l’exemple d’un problème dont la solution soit fecile à déduire Jde celle d’un autre problème déj.à traité. En effet pour obtenir la condition demandée, il suffit de poser d=.0 dans l’inégalité finale du n“ 1 8 ; il vient ,‘

• J^D— ^D — rf

(1) La valeur aumérique attribuée ici à 1 suppose fëlasticité actuelle de l’hydrogène égale à la pression de l’atmosphère, ce qui n’est pas rigoureusement exact. L’élasticité intérieure est un peu. plus grande que la pression atmosphérique, parce qu’elle doit faire équilibre non seulement à celte pression , mais encore à la force avec laquelle les molécules do l’enveloppo tendent à se resserrer en une petite sphère pleine.

63 raoBiiiMBS résolcs

D est ici la densité du cuivre, d celle de l’air, r est le rayon extérieur de l’enveloppe. Si l’on fait D=8,8

et d=6,001 3, cette inégalité deviendra- >20645,6.

Soit on devra prendre r>20“,6456.

S’il était possible de fabriquer un -aussi énorme ballon de cuivre et de le purger d’air , il crèverait infailliblement sous la pression atmosphérique (1).

20. Un tube cylindrique vertical plein de mer~ cure communique par un très petit orifice petvé dans sa base avec un vase cylindrique' ferme' plein d’air sec dont l’élasticité est éCabord égale d la pression atmosphérique p*^™. La hauteur du tube est de a'“, a étant moindre que p, et sa. base de m™'’. La hauteur du vase est de b’^'”, et sa base de n'"”'^.

Le tube étant d’abord fermé par le haut, si fon vient à déboucher dans 'l’air son ouverture supérieure , une partie 'du mercure s’écoulera dans te , vase. On demande où se fixera le niveau du liquide dans le tube au moment où cet écoulement s'arrêtera.

Exemple numérique : p=76, |n^50

Remarquons d’abord que le mercure ne peut s’écouler entièrement. En effet, soit une molécule li-

“ (1) Ce singulier aérostat a été cependant proposé par Lana en 1670. Voyez le Traité de physique d’Haüy, édit., 1. 1 , n» 494.

PAH L’AtGiBRE. 6$

quide située à l’orifice du tube ; les pressions qu’elle supporte de haut en bas et de bas en haut sont inégales au premier instant, et leur différence primitive est le poids du filet liquide vertical a, qui a pour base la molécule. Mais, à mesure que le liquide s^écoule, le poids du filet superposé va en décroissant, tandis que l’élasticité du gaz intérieur est augmentée par la diminution de son volume ; en sorte qu’il arrive un moment où, le mercure conservant encore une certaine hauteur x dans le tube, l’équilibre s’établit entre les deux pressions opposées.

Prenons pour inconnue cette hauteiu- finale x.‘ ® sera 1 abaissement du niveau; (a — x'^m sera le volume de mercure qui est passé dans le vase; hn (a — x)m sera donc le volume auquel est réduit

1 air intérieur. L’élasticité de ce gaz est devenue,

d’après la loi deMariotte, , , et cette force

lait équilibre à la pression p de l’atmosphère^ augmentée de celle de la colonne or.* nous avons donc pbn .

bn — (a—x)m P

posant — — ÿ, et résolvant l’équation , nous trouvons '

^~~ï(P-^h—f*)±\\^\p-\-bq-af + kap.

La racine négative .T doit évidemment être rejetée; quanta la racine positive elle n’est admissible que si elle est <a. Or, si nous écrivons

~2 “h 2 ^ (p-j-'ft? — a)*+4o/> <«1

et si nous simplifions cette inégalité , elle se ramène

Dt

56 paOBLÈUKS RisOBÜS

à 'o^ïdition toi^ours remplie. Ainsi est

toujours moindre que O, et par conséquent est la hauteur cherchée.

Dans l’exemple numériqpie, il vient *=>~466*“, etar+=A'”.r

’ Nous avons prouvé que dans le cas général le mercure ne peut s’écouler du tube en totalité. Mais pour voir si l’algèbre ne nous découvrirait point des cas particuliers où le tube doit se vider complètement , faisons ’âr=0 dans l’équation du problème, et examinons dans quelles circonstances elle pourrait alors être vérifiée. Four jræO, elle se réduit à

phn

hn — am

ou à

On satisferait à cette condition, 1 "par am=:0, 2" par fierO, S" par /6» = oo, Dans la première hypothèse la capacité du tube serait nulle , et partant la questionr ne subsisterait plus : cette hypothèse n’offi-e donc aucun intérêt. Dans la seconde, le vide existermt au dessus et au dessous du mercure : il ne serait donc pressé que par son poids, et en conséquence son écoulement serait total. Enfin la troisième hypothèse, d’après laquelle la capacité du flacon serait infinie, répond au cas où lé liquide tombe dans un volume d’air illimité, c’est-à-dire dans l’atmosphère: donc il doit encore s’écouler complètement.

ÎSi. On a un tube cylindrique (fîg. 5.) ouvert far les deux extrémités y qui a trois branches parallèles

V AK l’alcêshe.. 55

mainienues verticalement , dont les deux premières forment un siphon manomètrique en partie plein de mercure. On enfonce la troisième branche d^une quantité a dans un vase qui contient aussi du mercure. Cette immersion donne lieu à une différence X de niveau dans les deux premières branches , où le liquide s'élevait d'abord à la même hauteur. On propose de calculer x. La pression p de V atmosphère est connue ; la branche en partie plongée , la cour^ bure supérieure du tube et la portion occupée d'tebord par Voir dans la branche intermédiaire^’ ont des longueurs dont la somme est égale , à m. ^

.Application .numérique : a = 4*", jp=:28*” , 7rt=:i5«";

Le tube étant cylindrique, le niveau du .Ynercdre-

s’est abpissé de ^ dans la branche intermédiaire. En

outre la différence de niveau du mercure dans le vase et dans la troisième branche doit être la 'même que dans les detix premières : d’où il résulte que le volume actuel de l’air intérieur est à son volume pri-

mitif commCg-]-»» — (a — x) est à m. Ainsi, d’après

la loi de Mariette, l’élasticité de cet air, égale d’à-

bord à P, est devenue .

■ pm ^ . '

P+^. est d’ailleurs une seconde expression de cette élasticité; on a donc ''

pm

66 PEOBLiHBS EéSOLCS

d’oà Ton dédait

et'

Cés deux racines x+, x, sont de signes contraires. La valeur* négative x est étrangère à la question ; la valeur positive ne peut y satisfaire que si elle est plus petite que a. Or, par un calcul semblable à celui qui est indiqué au n* précédent, on s’assurerait que cette 'condition est toujours remplie. Donc ’x^ doit être admise.

En partant des nombres donnés, on trouverait

x+=:2p®, et x=.

Tout en rqetant la racine négative, il convient de voir si elle ne pourrait être utilisée. Pour cela il faut, comme on le prescrit en algèbre, changer dans l’équation du problème x en — x, et chercher si l’équation ainsi modifiée ne serait pas la traduction d’un problème de physique analogue à celui qu’on traite. Or ce changement de signe introduit dans l’équation (A) la rendrait insignifiante. Mais on tirerait parti de cette dernière si l’on imaginait de remplacer en même temps o par — a. Car on aurait

équation qui répond évidemment au cas où la troisième branche du tube, d’abord immergée en partie

PAR u’aLGÈBRE.

dans le vase, serait soulevée d’une quantité a. Alors l’air inférieur, au lieu de se condenser , se raréfierait ; le mercure, qui avait d’abord le même niveau dans les deux premières branches, s’abaisserait da-^ vantage dans la première qui commxmique avec l’atmosphère; X serait cette différence- de niveau, et partant x serait aussi la hauteur du mercure dans^ la troisième branche au dessus de son niveau dans le vase. • ■ ‘

La nouvelle équation peut s’écrire comme il suit:

On reconnaît à cette fomle que ses deux racines sont positives. En voici les valeurs :

Une transformation facile donne

X — ^ I I éP I m—a\^,kam '

On conclut de là que ces deux racines sont toujours réelles. 'Mais laquelle des deux faut-il adopter? Si l’on continue de désigner par la racine qui répond au signe du radical, il est clair qu’on a

ou x+>p-f—

Gette valeur étant à fortiori'^p^ on Voit que ne saurait convenir à la question : car nécessairement

58 PHOBI.ÈHES HiSOLUS

Ife mercure s’élève moins dans la troisième branche que dans le baromètre. x est donc la Valeur, cherchée.

Nous nous sommes étendus sur la question incidente amenée par la discussion qui précède , parce que cette qùestion offrait une particularité remarquable, Savoir, celle de deux racines posiiives entre lesquelles on devait choisir. Le choix à friire est in^ diqué fort simplement par la considération d’une limite que la valeur demandée ne peut atteindre.

2S. h k étant les coefficients des dilatations linéaire et cubique d’un corps solide y quelle erreur çommet-on lorsqu’on déduisant de \i on sup-

posehxxi^l

La valeur exacte de Ti est — 1 . Si donc on

faitA=-, l’erreur commise e=:1-}-- —

Pour assigner à cette erreur une limite très simple, il suffît de réduire en série On obtient ainsi

3 6,‘ S.egT 3.6.912

k étant beaucoup plus petit que l’unité , cette série est très -convergente. Comme ses termes sont alternativement positifs et négatifs , on aura une valeur un peu trop forte pour h si l’on se borne au premier

- terène*, et l’erreur sera moindre numériquement que le second terme ^ . On a donc

»£& l’algâbkb. §9

Donc, Jorequ’^ni prend pour cocftcient de là dilatation linéaire le tiers du coefficient de lo dilatation cubique , F erreur est moindre que le carré du tietv de ce dernier coéfjkieni.’

Exemple : Dulong et Petit ont ’troiïvé pour le fer

^~ 282Q ~ Ô * Tapproximation usitée

LavaleûrrigoureusédeAest^^ et l’erreto chereh^ est plœ £tible que TïjTÏëôjjôô'

^à5.Comment et dans quel sens peut-on chargerpar influence une bouteille ou un carreau de Leyde au moyen d* un éleetrophore ?

Quelle est la limite des charges d*électricite' que le carreau peut recevoir par ce procédé?

Entrons d’abord dans les détails de l’expérience.

'Après avoir électrisé négativement un gâteau de résine R (fig. 6) avec une peau de chat, on pose sur ce gâteau un disque métallique M surmonté d’un manche isolant G, et l’on a soin de faire cominuni-I quer le disque avec le sol par une petite bande d’étain E placée entre le métal- et la résine. On pose ensuite la bouteille ou le carreau de Leyde IVS sur le disque M (c’est pour simplifier le dèssin que nous figurons de préférence un puis, te-

nant d’une main le manche G , on soulève le système MIVS, et lorsqu’on le juge suffisamment éloigné de la résine,, on touche de l’autre main le plateau supérieur 8 du carreau. Après ce contact, qui est pré-

60 PROBtiHES RÉSOLUS

cédé d’une étincelle, on replace MIVS sur R; on enlève de nouveau MIVS,- et l’on touche encore S. On reconunence ensuite les mêmes opérations un certain nombre de fois. Enfin si, après le dernier contact de S avec le doigt, on preiid le carreau par le manche isolant D et qu’on le sépare de M, on trouve cÿné le plateau inférieur I est électrisé positivement, et le plateau supérieur S négativement ; que S est' un peu moins chargé que I, et que leS chargés sont d’autant plus fortes qu’il y a eu plus de superpositions et de contacts. . , •

Il .s’agit maintenant d’expliquer et de calcüler cette expérience d’après les principes connus.

Pendant la première superposition de M sur R , l’électricité neutre de M et de I est en partie décom- , poséÆ par l’électricité négative de la résine ; le fluide négatif "provenant de cette décomposition est rcr poussé et s’écoule dans le sol par la feuille d’étain E, et le fluide positif correspondant est attiré et mairi- ■ tenu sur la surface inférieure de M ; en sorte que I n’est pas électrisé, et que S n’est soumis à aucune influence. .

’ Dès que MIVS est soukjvé et par conséquent soustrait à l’influence de la résine, le fluide positif de M devenu libre se répand en partie sur I, et à travers la lame de .verre V décompose de l’électricité neutre en S. Aussitôt qu’on approche le doigt de S, cette décomposition augmente, et elle atteint son maximum à l’instant du contact. Le fluide positif dû a cette décomposition s’échappe alors dans les organes et dans le sol, et il reste eh I une quantité d’clectri-

Vàb l'algèb&b. 61

cité négative neutralisée entièrement par la positive de IM. En outre, la plus grande partie de cette dernière se porte sur la face de I contiguë à la lame de verrè V. Soit E 1a quantité de fluide positif fixée en I, ou en d’autres termes la ‘première çharge de I. l’électricité négative e retenue en S fest moindre que l'électricité E qui la neutralise. Posons e-=.ni E, m étant une fraction proprement dite qui dépend de l’épaisseur de la lame isolante V.

Actuellement cherchons le nouvel éqüilibre qui aura lieu pendant la seconde superposition. L’influ^ence de l’électricité négative dé R s’exerçant alors sur le 'fluide libre de M et de I aussi bien que sur leur fluide neutre, le plateau I perd une portion de son électricité positive E, laquelle portion est attirée suri? surface de M contiguë à la résine, et il ne reste plus sur I qu’une quantité e d’électricité, dissimulée par le fluide négatif e de S; et, comme à travers la 'lame V l’électricité neutralisée doit être toujours la même fraction de l’électricité neutralisante, nous aurqns £=iwe, et par suite e=:»i^E.

Quand MIVS est soulevé pour la seconde fois,, et qu’on touche S de nouveau, il se porte sur I la même quantité E dé fluide positif que Ja première foisi, puisque la quantité m*E qui y réside déjà est entièrement dissimulée par »i E , et ne saurait' exercer d’action répulsive sur l’électricité afiluente; de sorte qu’au moment où l’on vient de faire communiquer S avec lé sol, il existe sur I une quantité dé fluide positif. E' = E-j-*»^E, et^la nouvelle décomposition de fluide neutre qui vient de s’opérer en S y

S3 PROBLÂaBsaBqoLus

détermine Une charge totale de fluide négatif e'=5TO (E-1-2 w^E). • '

De même soit c' la quantité de fluide positif qui reste aur I pendant la troisième superposition ; e'=a»«'c=«i^E-l-»ï*E.

Après la troisième communication de S avec le sol, il vient en I E"=Ei-)-9»“E-j-»f^E> ‘ '

et en S ' , - c'=:««E*=«»(E-|-»»*E-{-m*E).

Enfin après m-)- 1 superpositions et n-j-1 contacts, , nous avons (1), en I:

et en S : . , ’

c'"^=jw(E-|-»»^ E-j“ -f-*»’" E):=wiE

Les charges respectives deux plateaux

croissent en même temps que n. Soit « =: oo j elles devioinent • '

mE

Ainsi la charge finale de l’un ou de l’autre plateau a pour limite supérieure sa première charge E ou

twE multipliée par le nombre fractionnaire t / . ' 1 — m* -

qur mesure, comme on sait, la force condensante

du carreau. ‘ „ • -