EXEMPLES DE PROBLEMES DE PHYSIQUE RÉSOLUS PAR LA TRIGONOMÉTRIE
25. Comment pourrait-on étendre à la mesure des forcés électriques les indications des électrosco-, pes ordinaires , tels que ceux de üenley et de Saue-~ sure (1)?
1“ Considérons un fil mélallique très mince, qui gérait l’axe d’un cylindre de gomme laque maintenu verticalement, et qui serait terminé supérieurement par une petite boule de métal et inférieurement par une boule encore plus petite de moelle de sureau. Près de l’extrémité supérieure de ce fil soit fixé , à l’aide d’un petit anneau, im autre fil de métal aussi
^ (1) La prééminence de l’électromèlre de Coulomb étant incontestable , cette ^tension de l'emploi des élèctroscopes , déjà présentée autrement au n® 5 , est théorique plutôt que pratique. C’est donc' surtout comme exercice qu’il faut envisager le calcul suivant, que j’ai fait iuscrer en 1828 dans les Annales de chimie et de physique (t. XXXIX , p. 37).
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délié, de la même longueur, et qui soutiendrait une boule de moelle de sureau du même diamètre que la première. Dans l’état naturel ces deux boules se toucheront;. mais si avec im flan d^éfreuve électrisé l’on touche le bouton supérieur , les deux fils , qui communiquent entre eux par en haut , transmettront aux deux boules légères la même électricité , et la boule mobile s’écartera de la boule fixe, parallèlement à une division circulaire tracée, par exemple, sur ime des faces de la cage de verre où ce petit pendule sera renfermé (1). Nous pourrons faire abstraction du peu d’électricité que retiendront les fils , aussi bien que du poids du fil mobile, et n’avoir égard qu’à la répulsion mutuelle des deux ’ petites boules, que nous supposerons réduites à leurs centres. L’écart de la boule mobile sera d’autant plus grand que le plan d’épreuve aura été plus électrisé. Mais on sait que la charge électrique de ce plan n’est pas proportionnelle à l’arc décrit; c’est cette charge qu’il nous faut évaluer en fonction du même are.
Soit F la force répulsive mutuelle qui s’exercerait entre les deux boules à l’unité de distance; soit le poids de la boule de sureau; soit l la longueur du fil qui la supporte ; nommons fl l’angle que le fil mo bile fait avec la verticale, lorsque l’équilibre est établi entre la force répulsive et la pesanteur. La di . stance actuelle des boules ou la corde de l’arc par-
, (1) Certc eonsiruction diiïéro très peu do celle de l’ëlec- U’üscope do llenley.
88 VaOBLZHES aÎÊSOLVS
couru par le sureau sera égale à 2 / sin ^ et , puis-
que la répulsion est en raison inverse du carré de la
distance , l’expression de cette force sera
Pour que la boule demeure en équilibre, il faut qu’il y ait égalité entre /;sind, composante de sop poids dirigée suivant la tangente à l’arc décrit, et
X cos^ô, . composante de la force répulsive
dirigée en sens contraire suivant la même droite; c’est-à-dire que nous aurons
sin0=2j> sin^ô cos‘0;
d’où nous tirerons
F=8pi^sin’{Ô.
La force cherchée F est donc proportionnelle au cube du sinus de la moitié de l’angle d’écart. On voit que la même force est sensiblement proportionnelle au cube de cet angle, toutes les fois qu’il est très petit. Ajoutons que dans presque tous les cas cette approximation serait suffisante (1). ‘
2° Imaginons que le fil que nous supposions fixe et couvert de gomme laque soit mis à nu et mobile,
(1) Un autre résultat assez curieux , c’est que la ténsiQu
Fsiaifl
du fil, dont l’expression est pcosO 4- ^-^ 2 fa > réduit à p
dans le cas d’équilibre, c’est-à-dire qu’elle est égale au poids entier de la boule , comme lorsque le fil est vertical et que cette boule est à l’état neutre.
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ou, en d<au|Tes termes, considérons l'électrôscbpe de Sanssxire. Quand les deux boules de sureau recevront la même électricité , elles s’écarteront l’une de l’autre J et, vu l’égalité de leurs poids/», leurs fils formeront^ le même angle 0 avec la verticale. Leur distance sera alors 21 sin0 , et leim force répulsive
• Pour qu’elle fasse équilibre au poids de l’une quelconque des deux boules, nous devrons avoir
Fcos9
=psin0.
ou
La force répulsive à l’unité de distance est donc proportionnelle au carré du sinus de la moitié de l’angle d’écart multiplié par sa tangente.
Cette expression se simplifie et sé réduit à UpPQ^
ou à ^ (20)’> quand la petitesse de l’angle permet
de remplacer sin^0 par 0^ et tang0 par 0 ; d’où il suit que la force F devient proportionnelle au cube de l’angle des fils.
Cette dernière loi approche d’autant plus de l’exactitude, qu’en posant à la fois sin^0=:0^ et tang0==0, on commet deux erreurs qui marchent en sens contraire l’une de l’autre et tendent à se compenser mutuellement. Il est aisé de prouver que 0* difière de sin^0'tang0 d’une quantité moindre que 0®, ou, en termes généraux, que, si Pon prend le cy.be d*un arc plus petit que le rayon pour h produit du carré de son sinus par sa tangente^ il en résulte une erreur
nOBLàlIBS' miSOLU*
moindre que la cinquième puissance de cet arc (1).
Jusqu'ici nous avons calculé seulement la force P avec laquelle ks deux boules se repousseraient à l\inité de distance. On en déduira sans peine le rapport de deux charges électriques», e', communiquées successivement au système des deux boules par un plan d’épreuve. Car les forces répulsives correspondantes F et F' sont entre elles en raison composée des charges simultanées des deux boules, ou comme
l’X I ® X I J ou enfin : : c* ; e'^. Ainsi dans les ^ deux cas traités ci-dessus on a la relation approximative
(^ 1 ) Démonstration de ce principe :
On a tang 0>0 - . . (A)
d’où ^ sin^0>&=*(l— sin^ô), '
et à fortiori sin*0>0^Ô~®^* • • • • • .(B)
,Si l’oU' mnliiplie membre à membre les deax inégalités (A) et (B), U vient sin^« iangO>o*(l— 6*), d’où 6^— sin^e tang0<6*. C. Q. F-D.
Remarque. On lire de l’inégalité (B) sinO>0 |/1 — 0%
et à fortiori sin0>0(l — e^) ’ . (C)
Multipliant (B) et (C) membre à membre , on trouve sin’0>0*(l— 0 *)*,
d’où 0» — sin*G<20*—
résultat qui se rapporte au cas d’une seule boule mobile , qui fera connaître le degré d'approximation correspondant aux divers arcs observés.
Ou obtiendrait pour les deux erreurs précédentes des limites encore plus resserrées, si l’on voulait s’appuyer sur les fériés trigonométriques.
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c’est-à-dire tjue les quantités d’électricité libre communiquées successivement aux deux boulesd?un électroscope par le même pian d^ épreuve sont entre, elles à peu prés comme les racines carrées des cubes des angles d’écart. Il est évident que le même rapport existe aussi entre les quantités d’électricité libre que le plan d’épreuve possédait avant d’être mis en con-' tact avec l’appareil.
Le même calcul est applicable à Févaluation de petites forces magnétiques.
Soit une longue aiguille aimantée mobile sur un pivot ou à l’aide d’un fil de soie non tordu , et qui plisse se maintenir horizontalement. Abandonnée à elle-même , elle se dirigera dans le méridien magnétique. Si l’on approche alors d’un de ses pôles le pôle de même nom d’un aimant long et faible, l’axe magnétique de l’aiguille s’écartera de sa première direction, et s’arrêtera quand il y aura équilibre entre la force directrice du globe et la force répulsive des deux aimants. Supposons qu’au moment de l’équilibre le pôle influent de l’aimant fixe occupe la position initiale du pôle repoussé de l’aiguille. Soit F la force répulsive des deux pôles à l’unité de distance ; soit 0 la déviation angulaire de l’aiguille ; soit I la distance de la pointe du pivot au pôle de l’aiguille ; soit enfin H la composante horizontale de l’une des forces du couple terrestre. En ne tenant compte que de^l’aetion réciproque des deux pôles voisins, nous prouverions, comme plus haut, que l’on a
2H sinO \ d’où F=1 6H/* sin’jO ; .
7S ' . . ntOBLàMKS KÉsoLin ;
par conséquent même mesure pour Ja répulsion magnétique que celle que' nous avons obtenue dans le premier cas pour la répulsion électrique..... (1).
On concevra aisément 'que , pour transformer le dernier appareil en éhctromètre , il suffit d’adapter une boule de moelle de sureau à une extrémité' de l’aiguille, d’en isoler le pivot, et de la mettre en contact, lorsqu’elle s’est dirigée dans le méridien magnétique, avec une autre boule de sureau fixe et isolée, à laquelle on donne successivement les charges électriques qu’il s’agit de comp>arer
26. Quelle est la eonàiiien que le» angles d*un prisme doivent remplir pour que les images qu*il donne par une réflexion intérieure niaient pas leurs contours irisés ?.
Ce problème, déjà résolu par la géométrie au n* . 16 , n’est pas plus difficile à résoudre par la trigonométrie.
• Soit I un angle d’incidence situé dans un plan ABC (fig. 4) perpendiculaire aux arêtes du prisme, ^it R l’angle de réfiraction correspondant à I pour un rayon d’une couleur quelconque X. Nommons A et B les angles que les faces d’incidence et d’émèrgence forment avec la face de réflexion. Enfin dési-
^ (1) Voyez plus loin , au n* 8 des Problèmes de magné ~ tisme, un énoncé plus général el une solution plus rigoureuse de cette question. > , .
PAA IA TRIGOnOMÉTHIE.
gnons par E l’angle d’émergênce du rayon de couleur X. Il est aisé de voir que B — A-^-B est l’angle intérieur qui donne lieu à l’angle E ; d’où il résulte
sinE=/sin(B — A-|-R) ,
l étant l’indice de réfraction de la matière du prisme pour la couleur X. Nous avons d’ailleurs sin 1= /sinR. Ces deux relations combinées entre elles nous donnent
. sinE=rcos(B — A)sinI-j-sin(B — A)I//^— sin^I.
Or, pour que les images ne soient pas irisées , les rayons émergents de réfrangibilités différentes produits par le même rayon incident doivent être parallèles entre eux , ce qui exige que l’angle E soit indépendant de l’indice l de réfraction. Il faut donc ,que dans la valeur de sinE^ le terme qui contient l disparaisse, quel que soit I; ce terme est sin(B — A)!/' P — sin^I ; partant la condition demandée est sin(B — A)=0, ou B = A, ou, en langage ordinaire , l’égalité des angles adjacents à la face de réflexion ce que nous avons trouvé plus haut. Dans cette hypothèse il vient sinEl=;sinI, c’est-à-dire que les angles d’incidence et d’émergence sont égaux.
Si B n’était pas égal à A, l’angle E varierait d’une couleur à une autre, suivant le degré de réfrangibilité} les divers rayons émergents dus au même rayon incident s’écarteraient donc les uns ..des autres', ce qui ferait naître des iris; et Ton s’assurerait sans peine 'que l’angle E aurait la même valeur que si les rayons arrivant sous l’incidence I avaient traversé , sans réflexion intérieure, un prisme dont l’angle ré-
PKOBLiuKB KisOLVS
frin{}ent serait égal à B — Â. Cette assimilation nons avait déjà été suggérée au n® 16 par des considérations géométriques.
27 . Lorsqu'un rayon de lumière simple traverse un prisme, quelle est la marche que ce rayon doit suivre pour que sa déviation soit un minimum (1)?
Soit BAC (fig. 7) une section perpendiculaire aux arêtes du prisme donné; soient LI un rayon incident, I le point d’immersion, lE le rayon réfracté, E le point d’émergenCe , EM le rayon émergent ; B le point de rencontre des rayons LI, EM, suffisamment prolongés; N le point de rencontre des nonmales IN, EN menées aux points d’immersion et d’értiergence. La déviation de la lumière n’est autre chose que l’angle aigu ORM ou v formé par le rayon émergent REM avec le prolongement RO du rayon incident LIRO. ' >
Posons
NIR=k, NIE=r, NEIrru:*, NERrr»', etBACrrra:
Nommons l’indice de réfraction pour l’espèce de rayons^ simples dont il s’agit; on a
sin«=:/sinx ... : (1)
sin u' =; / sin x' . . . . (2)
(1) Là solution tout à fait élémentaire qu’on va lire a déjà étépuhliéepar l’auteur, en 1831, dans le^Annales de chimie et de physique ( t. XLVII , p. 88).
PA& IA TKipOKOHirklË. 7fi
On trouvera aisément, par la considération' des triangles de la figure ,
x-j-jr'=a, v=z{u — — a ; d’où ■ u-\-u^z=zv-\-a.
On pourra remplacer (1) et (2) par les équations sinw sin«'= / (sinx r-|- sinx') ,
' sinw — sinu' = /(sinx — sinx'); ou par celles-ci ;
2smï^co8^r^=2/sin cos^-^;
sm— ^cos-^ =
. X— x' x-l-x' 21 sin -y- cos — ,
ou en6n par , • '
sin— ^cos— y =/sin-cos -y-. . .(3) v-\-a . U — u' , O . X — ^
