sin -y-=/oos- sin

cos*

Il est évident que pour le même prisme le minimum de V correspondra au minimum de^^y . Or, les angles M, «' étant aigus, on a «-[-«'<180°; d’où ^^<90°; par conséquent, pour que l’angle^y

se réduise à sa moindre valeur , il faut qu’il en soit de même de son sinus. Il s’agit donc de calculer le

minimum de sin Écrivons

= et sin— y=x.

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76 ■ FROBLÂMBS RÉSOLÇS

Ces hypothèses' donnent

cos^^=(/l— etCOS^^=Kï^.

On déduira des équations (3) et (4) :

^1— y*)(1— sin^|=3^(1— ÿ*— cos^|),

et enfin ' , '

sin^f)

y* on sin^^^l^ étant plus grand que sin*^, le dénominateur de l’expression de est positif; il en est de même de 1 — y*. Donc la réalité de * exige qu’on

ait y*>^ •> moins y^=/*sin* | ouy=/sin|.

/sin^est donc la valeur minimum de y, auquel cas «=0; d’où x=ix' ; on en conclut w=.u\ et »=2t< — a.

La déviation du rayon lumineux est donc un minimum quand les angles Æ incidence et S émergence 'sont égaux ^ ou, ce qui revient au 'même, quand le rayon intérieur est perpendiculaire à la bissectrice de T angle réfringent du prisme. . ‘

VAS. TaioonOMÉTaiB. , 77

Pour calculer l’angle aigu v, on aur? la relation'

» r+a , . a sm-^=/sin-*

d’où r=2 arc(sin=/ sin^) — a.

Remarque. On déduirait facilement des équations (o) et (6) les deux conséquences que voici :

4" La lumière ne saurait émerger d’un prisme quand son angle réfringent est plus grand que le double de V angle limite., c’est-à-dire de l’angle qui a pour sinus l’unité divisée par l’indice de réfraction, ' s,. J- • '

2“ Lorsque l’angle réfringent d’un prisme est double de X angle limite., la lumière ne pourrait sortir de ce prisme que si elle y arrivait sous l’incidence de90“. . ' '

Du reste, ces conditions ^émergence sont connues, et l’on peut les établir directement par des considérations fort simples de géométrie.

28. Trouver la limite du rapport de l' accroissement de V angle de réfraction à V accroissement de V angle d'incidence. ^

Soit » un angle d’incidence, et soit r l’angle 'de réfraction qui en dépend d’après la loi de Descartes. Soit k l’accroissement de l’angle r, correspondant à im accroissement donné h de l’angle i; on a •

siii£=/sinr, sin(i-j^A)==/ sin(r-j-i:).

La trigouométrie doaae

d’où

PHOBIiâKKS.'&ispi.Ua • ‘ '

— sin»=2sin |c6s(t’-{-^)»

siD(t’4-A)— sin»

La limite du premier facteur du second membre étant 1 pour des valeurs toujours décroissantes de A, et celle du second facteur étant cos»\ il s’ensuit que 1 y^Gosi ou cost est la limite du produit. Ainsi , à mesure que h diminue , on approche de plus en plus de l’égalité

sinf*4-A)— sin»

‘ ^ =cost,

ou de celle-ci : ' ,

8in(»-4-A)=esin»4'Acos«.

De même, à mesure que A diminue, on approche de l’égalité

sin(r-j-A)i^sinr-}-Acosr.

Donc, par le décroisseiîient simultané de k et de A,‘ on approche aussi de l’égalité

sin^-|-AcosK=/(sinr-|-AcoSr), e« de cette autre :

ou de

Aco8t=:/Aco3r,

k cost  /gosr‘

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PAK LA THIGOSOHÉTEIE.