COS^ À

Donc enfin sera la limite de^, c’est-à-dire du rapport des accroissements des angles r et * (1).

29. Quelle eireur commet-on 'lorsqu* en, évaluant un angle de réfraction au moyen de V angle dÜ incidence, on attribue à ces angles eux-mémes le rapport constant qui existe entre leurs sinus?

Désignons par i et par r les angles d’incidence et de réfraction, par /le rapport de leurs sinus , et, dans . tout ce qui va suivre , supposons /> 1 .

Imaginons d’abord que l’angle * soit donné, qu’il s’agisse d’en déduire l’angle r, et qu’au lieu de prendre sinr=^^, nous cherchions une valeur approchée de r, à l’aide de l’équation • Voyons cwn-

ment on peut exprimer en fonction de / et de i l’erreur commise, c’est-à-dire la différence r' — r.

D’après une formule connue , nous avons '

• sin» I I sinH" , 1.3 sin®» 1.3.5 sin’t .

(1) Ce calcul peut servir à dégager des nôtations différeulielles la théorie de l’arc-en-ciel, et même celle des caustiques par réfraction , pourvu toutefois qu’on venille présenter cette dernière théorie comme l’a fait Petit dans la Correspondance de l’école polytechnique , t. II , p. 354. Il serait à désirer qu’on fit descendre dans les éléments toutes les propositions ù' analyse dont la connaissance est nécessaire au physicien.

VROBLiHBS BÉSOMJS

Il en résulte pour r», qui est égal à J, - ‘

, sint 1 1 sin^* , l.Ssin®» | 1.8.5sin’* ,

^ — "7 ' 2"8? ' âTî Si 2.h.6~7T>

D’un autre côté, si, dans le développement de r suivant les puissances impaires de son sinus, nous substituons à sinr sa valeur ^ , il vient -

sint I I sin^t [ 1.3 sin^t ■ 1 .3.5 sin^t ■

De ces deux dernières séries nous tirons

1 /lP— IsinH' , 1.3/*— Isin** , 1.3.5^®— Isin’i

Il nous faut conckre de cette équation que la différence r'-— r est toujours positive , et que pour les deux mêmes milieux elle dépend de sin^», sin^»,

sin’t' U est facile d’obtenir pour r' — r une limite

supérieure exprimée par un seul terme. En effet nous- augmenterons le second membre de notre dernière équation si nous remplaçons les facteurs /* — 1,

— i, /® — \ par/*, /*, /®...‘.. Par conséquent

nous aurons

. jl/lsin*f I 1.3sin®» . 1.3.5sin^*

- ¥ — r<.j{i — sint). .... .(B)

D’ailleurs la formule

PAa LA THIGOaOMÉTEIE. 81

nous fournit évidemment la relation 'nous aurons donc â fortiori

Passons maintenant au cas où c’est r qui est connu, et où l’on ^ose iJ^zlr^ au lieu d’évaluer i rigou- 'reusement par l’équation sin*=/sinr.

La limite de l’erreur r' — rpeut nous servir à déterminer fort simplement celle de l’erreur i—if. En effet , notre inégalité finale revient à celles-ci ;

et enfin

Remarque. On pourrait encore arriver à une se^ conde limite de r' — r ou de i — en partant de la série (A). On la mettrait d’abord sous la forme

sinf=sin’tfi .

On en conclurait ■' , ■

- ^““<™’<ïî+5iïl+5Xî|+ > ■

ou

il - ^ — sint<r^ — l^sin’ti

raOBliMBS EÉ80I.M T

' et , d’après l’inégalité (B),

On en déduirait

, , t — *'<(5 — l^/’sin’r, . .

Mais pour de petites valeurs attribuées soit à ij soit à r, ces deux dernières limites sont plus grandes que les deux premières, et par conséquent 'se rapprochent moins de la véritable valeur de r ' — r ou de

50. Quelle erreur commet-on lorsqu* en évaluant un angle de réfraction au moyen de l’angle d’incidence^ on attribue aux tangentes de ces a,ngles le rapport qui existe réellement entre leurs sinus?

. 1” L’angle • étant connu, soit r* la valeur 'approebée de r qu’on obtient en prenant - ' •

tang«

La relation exacte sin r=

donne

. ■ ; • , tang« • , •

,v tangr — ■ '

Cette expression de tangr étant évidemment plus petite que ^^1,- on voit d’abord que l’on a tang»t>tangr, et par conséquent t*>r: Pour évaluer, l’erreur, on peut se proposer de déterminer une

PAR LA TRIGOROMÉTRIE.

limite supérieure de tang(»' — r). On trouverait facilement

-, tang \

tang2»+/I/?-+- tang^t

. Si Ton multiplie les deux termes de cette fraction par )/ i)iaiig^* -j- / , et qu’on réduise , il vient

tang(r»-r)= ^ f - — . •

V ■ ^*C*+‘lï^O-K^+<aDg*0r V*4<f‘-l)ians^»

■ Le dénominateur de cette expression étant plus

grand que 2/^, si on le remplace par 2/^, on augnaentera le second membre de l’équation. On en conclura . ?

; tang(r'— r)< G. Q.F.T.-

Veut-on savoir en outre quelle est celle des deux qiiantités r'et r' (n“ 29) qui s’approche le plus de r .• Oh' s’appuiera sur la formule . ■ .

' tangr" tangV» , tang*r®

qui deviendra , dans le cas actuel, '' ,

J tang* tang^* tang®»

On a d’ailleurs 'v ‘