V. » tang» tang** , tang®»’ • v

-, ■ —i— i Tl i Tl ^ ,

On tire de ces deux séries (dont l’emploi suppose .nécessairementt< g)

■ (P—Pta ng*» (/‘-l)tang*» ,

faoBtiHES aésoi,vs'. ‘

• Celte différence est toujours positive. Ce résultat'

• combiné avec celui du n° 29 fournit les relations ..

r' diffère donc moins que de la véritable valeur de r. ’• i,

2® Quand c’est r qui est connu , et que pour en • déduire i l’on se contente d’une valeur approchée t',’" en posant . -

tang»'=r/ tangr, •

on obtient

• /fP— l)tang^r

• tang(t — 1 ")=— —

l-|-lang*r-)-(l4-^tangV)I/ 1 — (/*— l)taô

• (On peut arriver directement à cette expression,. ou '

, la conclure de (C), en changeant le signe d\i second"'

membre et eii y remplaçant / par^et t par r). Le

dénominateur de cette fraction étant plus grandque ■ l’unité, il en résulte . . •

tang(» — f)<,l{P—\) tangV, C. Q;,F. T., r .

,et l’on parviendra comme plus haut aux inégalités . ,

Remarque. Voici une approximation plus grande* ' , qu’on emploierait quelquefois avec avantage ‘pour , déterminer r en fonction de i.

On partira de la relation'' '

tangr;

■tang*

— l)iang*t

qu’on'écrira ainsi :

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PAtt LA TBIG050MÉTajE.,

tan{îr=^‘^1+i^ ng^iy*. ,

En appliquant la formule du binSme de NeAvton

ce qui exige quon ait tangt<

fa)’

on aura

-tangr=— ^(^1— ^ tang^t^- -L-^tang^t j

Les termes de cette série étant alternativement po- ’sitifs et négatifs, si l’on en prend seulement les ddbx premiers, on aura une valeur un peu trop faible, et la quantité négligée sera moindre que le troisième terme. Donc enfin en posant

tangr=-ii- (^1 — - -^tang-» j,

ou commettra dans l’évaluation de tangf mie erreur plus petite que , v , ;

^-^tangt (l). .

(1) Cette approximation et d’autres du même ordre, ap- • pliquées à la réfraction des surfaces planes ou sphériques , serviraient à substituer aux caustique» par réfraotioti des courbes qui en seraient très voisines dans une certaine étendue et qui auraient les mêmes points de rebroossement. Ces courbes auxiliaires, qu’on peut nommer/^e/i^catM/t^ue», sont représentées assez simplement par des équations du 3' degré .en coordonnéès orthogonales. En faisant dans ces équations £=— 1, on eu déduirait les propriétés des pe'nécaus tiques par réflexion. Le lecteur qui voudrait entreprendre ces calculs sans le secours de l’analyse transcendante, pourrait consulter unéiV^oteque j’ai publiée on 1831 dans les Annales

86 ' PROBtÈMES RéSOLVS . , ‘

51 . Des rayons incidents de lumière blanche étan^ supposes perpendiculaires à Vune des faces d’un prisme, quel <hit être son angle réfringent xpour que la dispersion totale qu’il produit soit égale à un angle donné v ? On connaît les indices extrêmes de réfraction L et l de la matière de ce prisme.

II serait facile de trouver l’équation exacte de ce problème. Mais en la transformant pour la résoudre, oif serait conduit à une équation complète du 4° . degré. Afin d’éviter cette complication produite par la multiplicité des arcs qui ont le même sinus , je vais me borner à une solution approximative.

Soit Y l’angle aigu qu’un rayon émergent violet . forme ‘avec la normale à la face de sortie ; soit y l’angle aigu qu’un rayon rouge émergent fait avec . la même normale : Y — y ou l’angle de ces deux . rayons est ce qu’on appelle dispersion totale. On*' doit avoir Y — y~v.

Si 'l’angle donné v était 'très petit,' on poomit prendre ( n® 29 ) Y=-Lr, y=dx ; d’où il suivrait .

(C — et

* ^ Li l ’ • », • '

Mais pour obtenir une approximation mmns limitée, je lu’appuierai sur les séries quii donnent le Mnus d’uii ajrc en fonction des puissances impaires ■ •

de mathématiques (tome page 2&9) sous ce titre:' Exposition d’une méthode élémentaire propre à obtenir les équations des développées orthogonales et obliques des courbes planes. ■' , .

•Digilized by Googit’

- • »aB. LA T&Ifi05ÔniT&lH. • 87

de cet arc, et la relation fondamentale siny=/ sinar deviendra

. .—if ’L — 1 — ^

Si je néglige les puissances de a? et de y supérieures à la troisième, il reste , . • /

et il m’est encore permis de simplifier cette équa-

tion en substituant à y’ ou bien ^ à suivant

qu’il s’agit d’exprimer y en fonction de x, ou a; en . fonction de y. C’est y^ qu’il faut ici remplacer par Px^^ afin d’éliminer y. Il vient (1) - .

J’aurai de mêrne «

Y=Lr(

Je tire de là par soustraction

ce qui revient à

(1) Celle approximation est du même ordre que celle qui est proposée dans la remarque finale du u’ précédent.

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68 ' raOBLiuBS. aÉsoLVS pab la TBiGonoHir&iB.' .

Il faut* donc résoudre cette 'équation du’ troisi^e degré privée de second terme. Le terme en x étant ’

, positif, .elle a deux racines imaginaires; Le terme ‘

telle est l'expression de cette dernière racine, *en fais- • ' sùnt, pour abréger ,i ^ u-'a; . - ‘i;

L'angle cherché est déterminé par cette valeur de x ■'i avec une approximation satisf&isan te. ~

P&OBLlàXES BÉSOLÜS PAR DES LIEUX GÉOHÉTHiQUEs' 89 ,»

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