EXEMPLES DE PROBLÈMES DE PHYSIQUE RESOLUS PAR DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES

52 . Etant donnés un arc de cercle réflecteur BAI ' (fig. 8) et une droite lumineuse indéfinie DD' située ' dans son plan., trouver le lieu des foyers conjugués fies différents points de cette droite. On connaît le diamètre Af du cercle réflecteur et la distance CG ou a de son centre à la droite.

Soit L un des points de la droite; un rayon lumineux LC, émis par ce point et passant par le cen- - tre C du cercle, tombe au point I et se réfléchit dans la même direction ICL. Des rayons lumineux partis ‘ du même point L, et infiniment voisins du rayon ■ normal LC, se croisent après leur réflexion en un certain point M de LC, et l’on sait que ce point de > concours M est le foyer conjugué du point L. On sait aussi que, dans le cas indiqué mr la fiffure, on ■’ a la relation \

L' Igitiz^ bÿ Googiii

90' V. PROBLiMES HiSOLBS

Prenons pour origine de coordonnées rectangulaires , le centre C du cercle, et pour axes les lignes CX, . . CY, l’une perpendiculaire, l’autre parallèle à la droite donnée DD'. Posons CP=ar, MP=y, LG=A. ,

Il en résulte . • ' ■ .

IL=2/’-f-Ksq:3^, . . IM=2/'— ..

et ^ ■*

Pour rendre cette équation indépendante de l’or- • donnée ’ — b du point L, éliminons b à l’aide de l’é- • galité , '*

■qui nous est fournie par la similitude des triangles'

LCG et MCP. Il vient '

et après les réductions ‘ ’ •

' Le lieu cherché des pointe tels que M.ést donc nne courbe du second .degré; et, comme le rayon '.«odeur CM ou J/pipp est une fonction rationnelle •

■■ de l’abscisse x, on voit que le centre C du cercle est un des foyers ou le foyer de la courbe , et que CX • est son grand axe , ou son axe transverse , ou enfin , '

• son axe princip^. • >

' PAH BBS LIEUX GÉOMiTRlQOES. , 9i

La figure 9 se rapporte au cas où la distance a esV' •'comprise entre f et 2/i c’est-à-dire où la droite lu- , mineuse est située dans l’intérieur de la circonférence, au delà du centre G de l’arc réflecteur BAI, et plus loin de G que G ne l’est du foyer principal F. La courbe demandée est alors une ellipse dont les éléments sont faciles à déterminer. La partie HSH' /de cette ellipse est un lieu de foyers conjugués réehy et répond à la réflexion opérée sur la demi-circon-. férence YAY'. La portion ES/E' est un lieu de foyers . virtuels^ et naît de la réflexion que l’arc de cercle EÂ'E' produit sur les rayons tels que LF émis par la portion intérieure E& de la droite. Enfin la partie intermédiaire (EH,E'H') de la courbe, est un lieu de foyers virtuels et est formée par les rayons qui viennent des parties extérieures EID, E'D', et qui se réfléchissent sur la convexité des arcs EY, E'Y' (1).

J’omets ici la démonstration de toutes ces parti--cularités, afin d’éviter de trop longs détails. Je laisse également au lecteur à discuter l’équation («), et' me bornerai à lui signaler les points essentiels de cette discussion.

On peut supposer 1“a=2/' ou «>2/*, ce qui donné encore une ellipse. '

(l) La partie HSIP de l’ellipse est celle qui résout direcle- , ment le problème, tel que nous l’avons envisagé pourrie * mettre en équation. Les deux autres parties de la courbe satisfont aussi à la question , mais considérée sous d’autres points de vue. Ce sont des solutions indirectes dues à la généralité do l’aualyse. ' ....

92 VaOBLEMES KÉSOtUS

2° a—f, ce qui conduit à une parabole. "* *“ ^

3“ a<C fi on obtient une hyperbole.

4“ fl = 00 ; on trouve une circonférence de cercle dont le centre est C, et dont le diamètre est 2f,

5° enfin a= 0 ; la droite lumineuse est elle-même le lieu cherché.

Pour que les résultats de ce problème s’appliquent utilement à la catoptrique, il faut restreindre l’énoncé, et concevoir la li^jne lumineuse réduite à une • lonffueur GL très petite relativement au diamètre du cercle. On imaginera ensuite que cette droite GL tourne autour de l’axe CA, ainsi que l’arc réflecteur AI et l’arc focal MS. Cette rotation engendrerait un petit cercle lumineux, un miroir sphérique et une surface de révolution du second degré, l'image de chaque point L coïnciderait sensiblement avec son foyer conjugué M, si l’œil du spectateur était placé très près de Taxe du miroir. Il suit de là que, dans le cas que j’ai traité spécialement, l’image du cercle lu-’ mineux présentée par le miroir concave serait une zone d’ellipsoïde de révolution. Cette zone étant fort petite, on peut sans erreur grave la confondre avec un cercle de même base qui lui serait tangent en ^sen sommet, ce qui est l’approximation dont on se

contente dans les traités de physique.

53. Un vase^ dont la surface intérieure Y est do révolution^ tourne uniformément autour de son axo AZ, qu^on suppose vertical. Quelle devrait être la nature de la surface Y pour qu une molécule pesante posée sans vitesse initiale en un point quelconque

PAR DES UEDX OÉOMÉTRIQDESr* . ' 93

M des parois intérieures décrivit le parallèle mené^ par ce points comme si elle était fixée au vase tournant? f-

/■ La molécule étant sollicitée à un instant quelcon- -que (fig. 10) par la force centrifuge MF et parla pesanteur MG, la résultante MR de ces deux forces doit être normale à la surface Y pour que la molé- «cule ne s’élève ni ne s’abaisse sur Y, ou, en d’autres termes, pour qu’elle soit dans l’état d’éqpiilibre qui se concilie avec le mouvement du système. Par conséquent il faut que la résultante MR soit normale en M à la courbe méridienne OMS.

Soit ff l’intensité MG de la pesanteur ; soit x la distance MP du point M à l’axe AZ; soit t le temps • que le vase emploie à foire une révolution entière autour de AZ: l’expression delà force centrifuge MF

sera Prenons pour inconnue la longueur PN,

c’est-à-dire, la sous-normale comptée sur l’axe AZJ J La similitude des triangles PMN,FMJ1, nous fournit la proportion