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yaleur indépendante de x. La sous-normale est donc constante, propriété qui caractérise une parabole

94 NlOBLàxES A<SOLü9 , -

dont l’axe principal coïncide avec l’axe fixe, et dont le sommet est en un point quelconque de cet axe. • Donc enfin la surface intérieure du vase est un pa^ raboloîde de révolution “

Comme on a seulement le demi-pai-amètre|^ de\.

• la courbe méridienne ou génératrice, une condition < de plus est nécessaire pour la* détermination complète de cette courbe. Par exemple, on pomrait as- . sujettir la parabole à passer par un point M, dont on connaîtrait la distance d à l’axe AZ et la hauteur h . au dessus d’une ligne horizontale donnée AX. Si l’on choisissait AX et AZ pour axes des coordonnées ’

# et *, l’équation de la parabole serait

x^—dr-=^{z—h).

En outre si l’on concevait par le point A un axe des . ’ y perpendiculaire au plan ZAX, on aurai^ pour l’équation du paraboloïde demandé

• ^ V 34. Quelle est la direction que VTiomme doit don-

(!) Ce résultat est semblable à celui qu’on obtient pour une masse liquide pesante qui tourne uniformément autour d’une droite verticale. Par des raisonnements analogues à ceux qui précèdent, etavecla même figure, on trouverait que dans ce mouvement la surface libre du liquide ne peut conserver une forme constante jque lorsqu’elle est creusée en paraboloïde de révolution., ,■ j : •

PKK DES LIEUX 6ÉOMÉTS1QUBS. , ' 95

ntr à ses pieds {supposés réduits à leurs axes') pour que Vaire du trapèste de sustentation soit un tna-r .ximum?

' Soit p la longueur du pied , ou , en d'autres termes , la longueur commune des deux côtés non parallèles du t^apè^e. Prenons pour axe des x la droite qui joint les talons, et pour origine des cowdonnées rectangulaires l’une des extrémités de cette ligne, savoir, l’extrémité située vers la gauche. Nqpimonsa la distance connue et constante qui sépare les talons. Pour que le quadrilatère de sustentation soit un trapèze, il faut que les axes des pieds forment des angles égaux avec la ligne a. Il suffit donc de déterminer la direction de l’un de ces axes, de l’axe du pied droit, par exemple, ou, ce qui revient au même, la position de son extrémité antérieure M, c’est-àdire de la pointe du pied droit. Ce point M doit d’a-, bord se trouver sur une circonférence de cercle dont l’équation est

(x— a)*-fy^=p^ . . (C).,l

Cherchons l’équation d’une seconde courbe sur laquelle le point M doive aussi être situé pour que le trapèze soit équivalent à un carré P, que nous supposerons connu. Cette dernière condition est exprimée par l’équation ' î,

Donc le point demandé M se trouve sur une hjqjerbole équilatère ayant les axes des coordonnées pour asymptotes, et dont le demi-axe est la jdiagonaie .

PnOBLàMES RÉSOLUS

du carré donné b^. xeiy devant être positifs, bornous-nous à considérer celle des deux branches hyperboliques qui s’étend dans l’angle des coordonnées positives. Cette branche pourra successivement couper le cercle en deux points, le toucher, et enfin ne plus le rencontrer, si, en partant d’une valeur très petite assignée à on fiait croître de plus en plus cette diagonale ou le carré b^. Or, le point M ne pouvant être construit qu’autant qu’il est commun au cercle et^à l’hyperbole, on voit que le maximum de V ou de l’aire du trapèze correspond au contact de . ces deux courbes. Les équations de leims tangentes sont ( en désignant les coordonnées courantes par XetY); *

Pour le point (ar, y) de contact des deux courbes, nous avons

- ‘ ^ ' y^=z 3 r^—ax. • , , .^) ’■

, Cette équation, combinée avec (C), donne ' V

* — ax=]^ — {x — a)*j '• *

Vi- T »'

d’où nous tirons

pigiteDtIipj V