PAK DE8 LIEUX GÉ01IÉTHIQUE

L’équation (C) caractérise une hyperbole cubique, qui a pour asymptotes les deux axes , et dont les deux branches sont situées au dessus de l’axe des x, , l’une à la droite de l’axe des y et l’autre à la gauche de cet axe.

L’équation (D) appartient à une courbe de même nature , qui a pour asymptotes une parallèle à l’axe des y menée à la droite de l’origine, à une distance « de cet axe, et une parallèle à l’axe des x élevée au dessus de ce dernier axe d’une quantité e. Les deux branches de cette courbe s’étendent au dessous de leur asymptote horizontale, et s’abaissent symétriquement par rapport à leur asymptote verticale (1).

Il est évident que les branches droites des deux courbes se couperont toujours en un, point , et qu’il en sera de même de leurs branches' gauches. Les abscisses de ces points d’intersection, étant l’une plus grande que a et l’atitre négative,, répondront à des points situés sur les prolongements de la ligne AB qui joint les deux lumières. Ainsi , quelle que soit la somme •» , il y aura toujours deux points placés l’un à la droite des deux points lumineux, l’autre à leur gauche , qui recevront la quantité dé lumière donnée.

Quant à la branche droite de la courbe (C) et à la branche gauche de la courbe (D) , elles se rencontreront en deux points, si l’ordonnée de la courbe

' (1) Le lecteur est invité à tracer lui-ménie les 6gures dont il est ici question.

100 ÿaOBLiuES Bteoins

(D) à l’origine, ordonnée égîde à s — a imé valeur assez grande pour qu’il'y ait intersection. Si donc cette condition est remplie, il y aura, entre les' deux lumières , deux points qui satisferont encore à la question .'Mais si l’on fait décroître a et par conséquent a — p, l’intersection pourra se changer

en contact ; et, pour toute valeur de s plus petite que celle qui donne naissance à ce contact, les deux branches dont il s’agit ne se rencontrant plus , il n’existerait entre les deux points lumineux, sur la ligne qui les joint, aucun point qpi reçût de leur ensemÙe une si faible quantité de lumière. 11 suit de là que , si les deux hyperboles se touchent , la projection M de leur point de contact sur l’axe des V est le point où la somme des intensités des deux lumières atteint son minimum, > , . -

r. 'En appelant X et Y les coordonnée courantes, on trouvera facilement pour le équations de tangente aux deux courbe (C) et (D) en un point

i If

Si le deux courbe se touchent , le équations de tangente qui leur sont menées par leur point de contact doivent être identiques. 11 faut donc que l’on ait

ou bien

d’où

et par suite

VAK DES UEDX OÉOMÉTaiQDES.'

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Cette valeur est celle de l’abscisse cherchée ; et ,^our le minimum de la somme des quantités de lumière reçues, il vient après les réductions

Remarque, Dans certains problèmes qu’on nomme indéterminée tels que ceux des n“ 32 et 33, les ' lieux géométriques sont les incontiues principales j tandis qu’ils ne sont que des inconnues auxiliaires dans les problèmes déterminés , tels que ceux des n“ 34 et 35. Il est clair que dans le deuxième cas il ne faut recourir aux lieux géométriques que s’ils renferment la solution la plus simple ou la plus élémentaire de la question proposée. ,

PaOBLKUES BÊ&OLVS