PAR DES FORMULES EMPIRIQUES- - ÜS
lions indiqués plus haut,* satisfait à leur ensemble à peu près aussi exactement que (B), comme on peut s’èii assurer. Cela posé , je vais démontrer a prtorî qu’en- combinant (L) avec la formule (H) du n° pré-, cèdent on exprimerait y en fonction de ô sensiblement avec le même degré d’approximation qu’en fonction de sans altérer la forme de (L), sans autre changement que celui de ses constantes. \
En efièt si dans l’équation
on remplace t par il vient -
aw
OU
logy=
expression de même forme que la proposée et qui donnera logy a peu près avec la même approxima—
tion , puisque est une valeur très approchée de i. '
Substituaint aux lettres a, i, h\ les nomlo^s convenables , je trouve ’ ■ ' . ' '
aa'
fj,= 5,356,
Dr,,:.
PB0BLÈHE8 RÉSOLVS-
et par suite
logy=
’ , Observons maintenant que, si dans la formule (H) on pose /=33,3, on en tire 0=32,444; et que, si l’on y fait ^=1 24,1 5, on en déduit 0=120,32. Remarquons en même temps que pour 0=32,444 (/) donne y=2,8705, et que pour 0=120,32 (/) donne y=23,934. Ces deux résultats qu’on devait prévoir, montrent qu’on aurait pu déterminer les constantes a* et h' de l’équation
• Hy=Ff9’
à l’aide des deux couples d’observations .
sans recourir à la formule (H), et qu’on serait parvenu à la même équation numérique (/). (/) existe donc indépendamment de (H). Mais en déduisant (/) de (L) et de (H), comme je l’ai fait , on est sûr d’avance que (/) doit s’accorder avec les observations à peu près aussi bien que (L) , et l’on est dispensé de nouveaux calculs et de tableau comparatif.
Ainsi les deux solutions que je viens' d’exposer . offrent cette différence, que l’exactitude empirique de la transformée (A) ne peut se prouver qu’à poa- Hriori^ tandis que celle de la transformée (/)'est évidente à pmr*. ' ■ '
PAE DES POEMÜLES EMPIEIQtES. 117
La comparaison des formules (/) et (A) est intéressante, surtout lorsqu’on la prolonge hors de l’intervalle des observations. Pour 50 atmosphères , la température assignée à la vapeur d’eau par (/) serait de 261 “,207 du thermomètre à air, et elle serait de ,954 d’après (b). La différence de ces deux indications n’est que d’un quart de degré. Les équations (l) et (b) continuent donc à s’accorder entre elles jusqu’à une assez grande distance à partir de la limite supérieure des obsei*vations ; d’où l’on peut conjecturer que, si les expériences avaient été poussées plus loin, (/) et (A) reproduiraient assez fidèlement les observations qu’on aurait faites à des températures plus élevées que 220“ (1). (/) et (A) paraissent admissibles au moins jusqu’à 50 atmosphères.
38. Trouver une relation empirique entre les dilatations cubiques du verre au dessus de 100° et les températures correspondantes marquées par le ther-
■ (1) Il ne faudrait pas regarder comme une certitude cette probabilité fondée sur l’accord de deux formules et analogue à d’autres probabilités que tous les esprits saisissent nettement. Ainsi lorsqu’on trouve beaucoup de ressemblance entre deux portraits d’une personne inconnue faits par des peintres dilTérents, on est dispose a croire que cliacun de ces portraits ressemble à l’original , mais on n’en a pas la cei'iitudo complète, üu peut encore citer l’exemple de deux témoins qui, ne s’étaut pas coucertés, aflirmcraient le même fait, ou celui de deux montres prises au hasard qui au même instant indiqueraient la même heure..,..
momètre à air. On a four le coefficient moyen de ht dilatation cubique du verre
ââk ^ séiT? ^ 82^0 ^
Soit y la dilatation de l’unité de volume du vei^ chauflfé depuis 0“ jusqu’à t° du thermomètre à air. Soit V ce que cette unité de volume devient à P. J’essaie les deux formules , . *
et
‘os*’=îîi:ï‘
En m’appuyant sur le premier et le troisième couples d’observations , j’aurai lés systèmes de va^eurs
j’en déduis
. ti;-t X. .i -.
Chacune de ces expressions ne peut être soumise ^ qu’à une seule épreuve, puisqu’on ne possède que trois données numériques dont deux ont servi à l’é-.
aigte
PAJL DES FOaUULES BUPIBIQÜBS. 119 .,
valuation des constantes. La dilatation du verre de 0“ à 200° est
ou 0,0055086 d’après l’expérience ; r
elle, serait de 0,0055866 d’après (A), . • , ^
et de 0,005587 d’après (l). '
Les écarts des deux formules sont respectivement 0,0000780 et 0,0000784.
Ces écarts sont à peu près de la même petitesse. Il est.donc permis d’adopter l’une ou l’autre formule. On expliquerait aisément leur accord, en réduisant.
y et » en séries ’ w , V
On trouverait qu’une expression de la forme -
calculée avec les mêmes couples de valeurs que (A) et (/), ne satisfait pas aussi bien à l’observation intermédiaire.
La formule (A) serait applicable à toute expérience où une enveloppe de verre est chauffée au delà de - 100° et où l’on doit tenir compte de sa dilatation. Je citerai comme exemple les corrections qu’exige l’emploi de l’appareil imaginé par M. Dumas pour mesurer les densités des vapeurs.
39. ^ quelle iempe’rature t du thermomètre à air faudraitril élever des volumes égaux de verre et de
120 P&OBLèxES HéSOLUS
platine pria à 0**) pour que leurs dilatations fussent égales ? On connaît les coefficients moyens de la di-^ latation cubique du verre 0® à 1 00“, de 0® à 200® et de 0® à 300® (n® précédent). On connaît aussi les coefficients moyens de la dilatation cubique du platine de Qf à 100® et de HP à 300®, savoir.: et
La température demandée est évidemment comprise entre 1 00® et 300®, puisque le verre se dilate un peu moins que le platine de 0® à 1 00® et se dilate plus que lui de 0® à 300®. Cette température ne saurait d’ailleurs être obtenue exactement, faute* de données suffisantes. Il ne s’agira donc ici que d’une approximation.
La dilatation y du verre de 0* à /® est liée avec t par la formule (A) du n° 38. Supposons qu’une équation de même forme existe entre t et la dilatation tf du platine. Nous en calculerons les constantes au moyen des deux coefficients connus. 11 viendra
formule qu’on ne peut vérifier directement, mais qu’on peut admettre par analogie.
Pour que y soit égad à y*, il faut qu’pn'ait .
d’où l’on tire <=r;H5®,45, C. Q. F. T;
Die;.;.,
f>AE DBS VOBUÜLBS EMPI&IQDBS.
Remarquons en passant que (h') pourrait servir a corriger les indications du thermomètre a air sec et à réservoir de platine que Dulong et Petit ont proposé pour la détermination des hautes températures.
40. Exprimer par une formule empirique les variations que la chaleur spécifique du fer éprouvé avec la température entre 100® et 350® du thermomètre à air. Les chaleurs spécifiques moyennes du fer sont^ diaprés Dulong et Petit ■>
0,1 098 de 0® à 1 00®, 0,1 1 50 0® à 200®,
0,12l8rfe0®d300®, 0,1255 de 0® à 350®,
Je prends pour unité de chaleur la. quantité de chaleur qu’un gramme d’eau distillée perd ou gagne en se refroidissant ou en s’échaudant d’un degre centésimal, quantité qu’on peut regarder comme constante entre 0® et 100®. D’après cette définition , un gramme de fer porté de 0® à 1 00® gagne 0,1098X100 ou 10,98 unités de chaleur. Soit y le nombre d’unités de chaleur qu’il reçoit quand on le chauffe depuis 0® jusqu’à 1 0O®-|-0® j je pose
a qX. h étant deux constantes à déterminer. Or , je sais qu’en passant de 0® à 200® 1 * de fer gagne 200 fois les 0,1 1 50 d’une unité de chaleur ou 23 unités. • Ainsi pour 0=r1OO, je dois avQiry=23. Je sais de
by GoogU
122 P&OBLÈMES RÉSOLUS .
plus que 1* de fer en passant de 0" à 350“ gagne 350 fois les 0,1 255 d’une unité de chaleur ou 43,925 unités. Ainsi, |X)ur 0=250 j’aurai y=43,925. a et b seront donc donnés par les deux couples d’obsérvations
J’en déduis l’équation
y=1 0,98+0, Il 2480-1-0, 00007720^ . . (P).
Au moyen des mêmes couples j’obtiens aussi
Pour vérifier l’exactitude empirique de chacune de ces formules, je fois 0=200 dans (P) ^ j’en tire y=36,564. Je divise 36,564 j>ar 300, afin d’avoir la chaleur spécifique moyenne du fer entre 0® et 300®: le quotient est 0,12188; il n’excède le nombre observé 0,1218 que de 0,00008.
On trouverait pareillement que la chaleur spécifique moyenne du fer entre 0® et 300® serait 0,1 21 72 d’après (H) , nombre qui n’est inférieur au nombre observé que de 0,00008.
Lés formules (H) et (P) sont donc également admissibles, puisqu’elles s’écartent aussi peu l’une que l’autre de l’observation qui n’a pas contribué à la détermination de leurs constantes. L’un de ces écarts
