CHAPITRE VIII

EXEMPLES DE PROBLEMES DE PHYSIQUE RESOLUS ■ PAR LE CALCUL INFINITÉSIMAL. '

43. Expliquer pourquoi la densité de Veau est sensiblement la même à deux températures équidistantes de celle du maximum \ ou 4*,1 ) dans le voisinage de ce maximum (entre 0® et 8”). Expliquer aussi pourquoi la densité de Veau décroît très lentement dans le même voisinage.

Ces deux propriétés sont communes à tous les maxima et minima d’une fonction continue d’une variable t. En effet si t croît de ou de — h , la formule de Taylor donne

Or, si f{t) est un maximum ou un minimum , 'on d ' et par conséquent (T) se réduit à

IM. '• . . ’ . JOlOSI.à«S8 Msous /

et si est fort, petit', et les puissances supérieea^ de ^.pouvant être négligées par rapport à il reste à peu près -

résultat indépendant du signe de h. Donc dansle.Voi~ sinage d'un maximum ou d'unmt'ntmum^soit'que la variable croisse d'une certaine quantité, soit qü'elle décroisse de la même quantité, la valeur de la fonction éprouve à peu près le même changeinenK La formule de Taylor montré aussi pourquoi une ' fonction varie très lentement de part et d'autre d'un minimum ou d'un maximum. Car dans l'im et Fautre cas f^(f) étant nnlle, k dÜfêrence qui devient égale à ' . - ' '

rw+-

dépend principalement de si .A est très petit; tandis que, si /![<) n'est ni un minimum .ni un, maximum.^ ^(t) n'ost généralement pas nulle, et Ton a la série complète (T) ; d'où l'on conclut que le cbaor gement de grandeur de la fonction eSt influencùsurtout par la fraction A, et non plus seulement-par son. , carré Donc alors l'accroissement où le décroissement de la fonction doit être plus rapide que dans le cas du minimum ou du maximum. " ,

Il est clair que ces raisonnements s'appliquent a, la densité de l’eau pure , puisque cette densité.est une fonction continue de la température # , et que

' PÀK LE CALCUL lEnRlTÉSIMAL. , tS5

cette fonction est susceptible d’un maximum. Quant à l’intervalle de température dans lequel cés résul- '' tais se renferment, l’expérience seule peut le faire connaître. On a constaté qu’il est de 8° ehviron, c’est-à-dirè que A doit être égal à A® au plus pour . que les variations de la densité du liquide obéissent aux deux lois énoncées.

44. Deux corps A et k’ yÇui ont d’abord la même température^ se refroidissent ensemble avec des vitesses inégales dans un milieu dont la température est constante. Au bout de quel temps la différence des températures de ces deux corps sera-t-elle un maximiim ? * ’

Concevons que chacun de ces corps ait la inéme température en tous ses points , et que A et k! soient assez éloignés l’un de l’autre, pour qu’il ne s’exerce entre eux aucune influence calorifique. Puisque les deux corps partent de la même température primitive, qu’ils éprouvent dans le même temps un refroidissement inégal, et qu’ils parviennent enfin à ^ une tem|)érature commune, qui est celle du milieu environnant, la différence de leurs températures est d’abord nulle, puis elle augmente |wogressivement pour décroître ensuite, jusqu’à ce qu’elle redevienne , égale à zéro. Cette différence doit donc passer par un maximum qu’un observateur attentif pouirait saisir , mais dont la valeur et l’époque s’obtiennent plus aisément par le calcul.

Soit T l’excès initial de température des deux

1 J# , ' PHOBLÉIIES aÉSOLCS ' , "

» ■ # ' ' • corps. Supposons, que l’on connaisse" T, et'qu’dn

note les excès, de température du corps ‘A au bout de deux temps différents,' estimés avec une montré à secondés ; ces données serviront à déterminer les coéffiçients a et de la formule ‘ ' ,

aO

ou / désigne l’excès de température après un temps (voyez le n” 42). Deux couples d’observations semblables, faites sur A' conduiront a la formule! ‘

Nommons. 3 la différence' f—l au bout de 0 minutes : ôn a- ' . .

Pour que d soit un maximum ^ il faut que sa dérivée ^ soit nulle (1), et partant que l’on ait ' . /

, . ■' ^ ah ' ' a’bf - ' - .

(1) Ici comme aux n“* tU et 35 on arriverait à la condition de maximum par la considération du contact de deux courbes. En posant j-|-^ z=ÿ, et en regardant 7 et 0 conune des

1PA& I.Ï CKtCVh IirPnciTÂSIMAL.

■On tiré de là ;

Cette expression de 0 est le temps au bout duquel la différence des températures atteint son maximum ^ et d est la valeur de ce niaxitnum.

Noire solution supjwse des données numérique)» telles, que les formules empiriques (H) et (H') s’étendent aux ejccès de température dont la différence doit être un maximum. En appliquant la dérivée de (H) à plusieurs séries de vitesses de refroidissement observées parDulong et Petit, nous avons constaté que (H) s’accorde avec l’expérience pour des excès de température compris entre 200" et 20". Si les excès étaient inférieurs à 20“ , il faudrait recourir à' la loi de Newton, c’est-à-dire employer les formules.

coordonnées orthogonales, on tronverait qtie le maximum cherché correspond au contact de deuxhyperboles.équilalères qui ont pour équations - .

Ï88 MioiiiMES aisoLtis - '

On obtiendrait

loff (Log w') — I orCLor m) ,

logiw' — lOgOT ’

le signe Log indiquant un logarithme népérien, et le signe log un logarithme ordinaire. On aurait la différence maximum en remplaçant 6 par cette valeur datis l’expression T

' 45. Déterminer la vitesse de refroidissement dans

une enceinte vide . ~

Ce problème a déjà été résolu par l’algèbre au n® 24. On conservera les notations de ce numéro, et l’on partira de l’équation transformée ' ,

dont chaque membre' est une expression de la vitesse V de refroidissenient. Si l’on prend la dérivée de (A) par rapport à la variable 0 , il vient

^it maintenant 0irrO; il reste

y(r)— 9'(0)r=ç(/)Loga. . ■

Si l’on pose 9 (t)=y, et 9 /( 0 )=aA, on aura .

dy

' dt

;5-fyLoga,

t\K I.B CALCUL mmlTtSIUAL.

ou

•' J..— dy • /

. * . ' yLoga+A’

d’où l’oii tire par l’intégration

' Kâ

yLo^a-\-h=ca''

• Cf

c désignant une constante arbitraire. Pour déterminer b ou 9'(0), on dérivera (B), ce qui donnera ^

^—ca'

dt"*'

Si l’on fait /=0, le premier membre devient égal à q>'(0) ou à b; le second se réduit à c. On a donc i=c, et partant l’équation (B) peut s’écrire ainsi ; - '

ou , si l’on remplace y par 9 >(<) et ^“^ -^par »» , ,

m étant une constante arbitraire.. On conclut de là , , G. q!'F.T.

Remarque. Le calcul infinitésimal servirait éga-’ lement à résoudre les problèmes des n“ 27, 28^ 34. et 35. Mais les solutions les plus élémentaires sont celles que nous avons dû préférer.

140 paOBLÈMÏ» RÉSOLÜS*

4C. Dans un appareil de'phyaique^destiné à constater les effets de la force centrifuge , une petite boule d’ivoire^ percée suivant un de ses diamètres , est traversée par une baguette mince AB de fer poli maintenue horizontalement , et 'psftt glisser avec peu de frottement le long de cette baguette. 'On imprime au système un mouvement uniforme de rotation autour d* un axe vertical qui passe par le milieu de la baguette , et l’on voit la boule animée de ce mouvement se porter vers une des extrémités de AB. On demande quelle est alors'la trajectoire du céntre de la boule.

• Nous supposerons la boule 'assez petite pour qu’au même instant toutes ses molécules soient sollicitées par des fortes centrifuges à peu près égales. Nous ;ferons abstraction du frottement et de la résistance de l’air.

Soit pris pour pô/e (fig. 12) le point O tniliéu de la baguette, point qui est fixe, puisqu’il est situé sur l’axe de rotation. Soit choisie pour ligne fixe l’axe de la baguette dans sa direction initiale AB.

< Quand elle aura une direction quelconque A'B' formant un angle 0 avec AB , soit OM ou r le rayon vecteur du centre mobile, r et 0 seront, les coordpnnées polaires de la courbe cherchée. Désignons par T le. temps qu’un point quelconque du syst^e emploie à décrire une circonférence entière, temps qui • est connu. Le centre de la boule, dans sa positmn

' * ' s ' *• ' 27rr* ’

actuelle M, sera animé d’une- vitesse MT ou - 7 ^ di-

' . PAR LE CALCUL inEIKITÉSlSlAL. l&l

rlgée suivant la tangente au cercle dont OM est le rayon, ou autrement suivant une perpendiculaire au rayon vecteur OM ; en même temps ce centre

aura, suivant OM prolongé, une vitesse MF ou duè à la force centrifuge. Nommons m la vitesse angulaire^) lîi résultante des deux vitesses rectangulaires variables wr, sera ■ • •

• . — »tr(/ i-j-j/jZ.' •

Par conséquent cette vitesse MV est proportionnelle au rayon vecteur. Comme elle est dirigée évidemmesit suivant la tangente h la ti-ajectoire demandée, l'angle VMF ou a qu’elle fait avec la direction de la forcé centrifuge MF ne sera autre chose que l’angle de la tangente- avec le rayon vecteur , et l’on sait que cet angle suffit pour déterminer la. nature de la courbe. Or on a f

anga =

mr 1

Donc V angle de la tangente avec le' rayon vecteur est constant^ propriété qui caractérise la spirale logarithmique. Cette espèce particulière’ de spirale est . donc la trajectoire du centre mobile. . ’

On obtiendrait pour l’équation polaire de la courbe '>

\kt ntOBLioES ai^OLUs “

r„ est 1* rayon vectenr initial 01, et le signe Log indique un. logarithme népérien. Le mouvement de rotation étant uniforme, si t est le temps écdulé depuis l'origine de ce mouvement, on a

e—mt^ d’on Log — »

Ces deux équations feront connaître la |)osition du centre mobile au bout d’un temps quelconque.

47. Des rayons de lumière simple qui partent d’un point situé sur l’axe d’une surface de révolution viennent frapper cette surface ^ s’^y réfractent^ et entrent dans h milieu diaphane qu’elle termine,

. 1 ° Quelle doit être la nature de la surface pour que tous les rayons réfractés soient parallèles à. son axe. ? ' , ■

2* Quelle doit être la nature de la surface pour que tous les rayons réfractée se croisent au même point de son axe? ' >

Comme les rayons, après s’être réfractés, ne sortent pas du plan méridien mené par leur direction initiale, il suffira de connaître la nature de la courbe méridienne ou g^ératrice pour qne la surfrce dé révolution soit oomplétanent détemiinée.

Prenons pour axe des' abscisses l’axe du solide transparent. Supposons le point Jumineux situé du côté des X négatives,c’est-à-dirê à la gauche de l’origine; les coordoouées rectdugulaires du point lu-

Digilized by Gi>ogIc