PA& LE CALCUL IHFINITÉSIHAL

mineux seront —a et 0. Soient x et y celles d’un •point quelconque d’incidence. Ecrivons ^ = p; dx 1

, — ^ ou sera, comme on le sait, la tangente de

l’angle que ^it avec l’axe des x la normale menée en . ce point.à la courbe réfringente. Appelons I l’angle d’incidence-, R celui de réfraction ; soit

’ y, • ; , sinI=/sinR; . ^ •

soient enfin x.\ V, les coordonnées courantes, ‘ • .

sera l’équation d’un rayon incident ; . .

sera celle de la normale. On en déduira sans peine pour l’équation du rayon réfracté

en faisant, pour abréger,

PosonS'dans cette, équation y'=0, pour trouver

PROBLÈUES résolus

IhU

l’abscisse x' du point où le rayon réfracté renoôntre l’axe des x. Cette hypothèse donne ,

p(aH-a4-/>y) — w

Cherchons d’abord quelle relation doit avoir lieu entre a, l, .r, y etp, pour que tous les rayons réfractés soient parallèles entre eux et à l’axe des r. Il ♦

faut pour cela que x' soit infinie, et partant que son dénominateur soit nul; nous aurons donc

p(j-|-a-l-py)— m=0 ,

d’oii nous tirerons, après av'bir remplacé m et p par leurs valeurs ,

{x-]^)dx~{-pdÿ==dd4^\s-\-ay^

équation différentielle de la courbe demandée. Pour l’intégrer mettons-la sous la forme

{a>+a)dx+ydy ,j . '

il viendra, en nommant C une constante arbitraire,

telle est l’équation de la courbe en quantités finies.

Cette courbe est du second degré; die a pour foyer

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PAH LE'CALCUt ISFIKITÈSIMÀI.. 1Ü5

le p6int luminenx et pour axe focal Taxe des abscisses V équation .(x) du n“ ^2). Pour x=: — a ,

soit y=c c’est-à-dire appelons c l’ordonnée passant par le' foyer, ou le demi-paramètre de la courbe ; il en résulte ' '

y^—ÇP—\ Xx-{-a)^lc(x-\-a)—c-^..

Cette équation, qu’dh pourrait simplifier en faisant a=iO, caractérise une hyperbole ou une ellipse, suivant qu’on a Ou .

Considérons le cas de P>'l, ou, en d’autrès termes, le passage d’un milieu dans un autre plus réfringent. Soit « lé demi-axe transverse de l’hyperbole, et soit |3 le demi-axe non transverse. Op trouve msément .*' •

donc tousjes éléments de la construction ourbe, si ,1 on connaît l’indice l de réfrac— ■

-P&OBUSHES BESOLÜ8 .

tion , et si i’on s’est donné le demi-paramètre c ou- — , qui est entièrement arbitraire. Le rapport des

axes^, étant égal à i, ne varie qu’avecV; d’ou '

il suit que pour les deux memes milieux et pour la même espèce de lumière toutes les hyperboles qui résolvent la" question sont'

Il faut aussi remarquer la proportion

qui peut s’énoncèr^ainsi : la distance d$s deuæ foyers est à Vaxe transverse comme le sinus de^ l’angle d^ incidence est au sinus de l’angle de réfraction (1 . Quant au double signe rp qui affecte uü des te^ mes de (A) , il répond aux deux positions 'symétrW ques que chaque hyperbole peut avoir, l’unê à la droite, .l’autre à la gauche du point lumineux. Si

(1) Descartes, dans le 8* discours de sa Dioptriqüe, a résolu par'la syntbèse le problème que nous traitons ici par l’analyse, li s’appuie sur ie théorème suivant, qu'il démontre fort simplement par la géométrie ^ .

' Si pür un point d’ une ellipse ou d’une hyperbole pn lui mèite une normale et un rayon vecteur, les sinus des angles que cette normale fait apee le rayon vecteur et avec • le grand asse ou taxe transverse sont entre eux eommè la distance des deux foyers est à cet axe. . ,

Il résulte de ce théorème que, si le rapport de la distance des foyers à Taxe est égale à i’indice de réfraction, le rayon léfracté sera parallèle à l’axe, quaud lè rayon iacident sera \u\ rayon vecteur. ‘ -

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PAR LK CALCCt. IRFIRITÉSIUA.R-

l’on suppose les deux sommets réels de la courbe placés h'ia droite de ce point, jan doit prendre le signe inférieur.' ' *

■ Observons mmntenant que , si des rayons de lumière partis du foyer gauche d’une de nos hyperboles vie.nuent tomber sur Ig. branche gauche , ils ne pourront se réfracter parallèlement à l’axe trans-' verse': car, la normale en un point quèlconqué de cette brandie* coupant l’axe à la gauche du foyerirayonriànt, le prolongement du rayon réfracté devra rencontrer l’axe entre ce foyer et le pied de la 'norrhal# Concevons donc que la branche gauche soit supprimée, et quf: les raVotis émis par son foyer ‘Viennent frapper la convexité de la branche droite; la réfraction les rendra tous parallèles à l’axe transr- . Verse. • ■ y .. »

Réciproquement, si des rayons parcourent d’abord le plus réfringent dés deux milieux parallèle- •ment à l’axe transvers, e de notre hyperbole* et vont' frapper la concavité de sa branche droite, ils se croiseront tous, après leur passage- dans l’autre milieu, au foyer situé dans là branche gauche.

2“ Examinons le cas de 7^<1. L’équation (A) pourra s’écrire ainsi , ’ , ^

— /^)(ar-f-a)^qi2/c(x-[-o) — c^=0,

d’où l'on conclut que lè lieu des points d’incidence est une des ellipses aemhlabhs pour lesquelles le rapport des axes ; le demi-jwramètre — de.