PiOBLilttES aÉSOLHS

chacune d’elles est une' quantité afbitraire c. Ou déduit successivement de ces valeurs ; ' ■

le

«=ïT72v ^=P^” =

Le double si{jne::^du terme 2/<r(jr-|-a) s’expliquè- ,rait comme plus haut. On -adoptera le signe supé^, rieur, si l’on veut que le centre de la cour^ soit à la droite du point lumineuxi ' •• v

Les normales à l’ellipse ont des .directions telles ,

, que, de tous les rayons partis dé son foyer gauche, ceux que reçoit la portion de courbe qiji ' est à la • droite de l’ordonnée passant par ce foyer sont les seuls qui puissent se réfracter parallèlement au {jrand axe. Il est de plus évident. qu’il n’y. a que ceux qui tombent sur un des points de la demi-éllipse située à la droite du petit axe qui sortent réellement de là " courbe dans la direction demandée. • ..

Réciproquement, si des rayons de lumière, marchant d’abord dans le moins réfringent des deux mi- . lieux, viennent frapper. parallèlement au grand axe la convexité d’une demi-ellipse construite avec les données précédentes, ils se coupent tous, après leur réfraction au foyer situé dans l’autre moitié de la courbe. ^ •

3" Il reste le cas de P=z\ ou de /=:dz1 , c’est-à-: dire le cas où la lumière ne change. pas' de milieu.

, PAR LE CALCÜL IRPIEITÉSIMAL. 149

Les angles I et R devenant alors égaux, il faut sup- . poser, pour que l’équation (A) conserve encore quel- *

. qùe sens en optique, que ces angles soient pris de ' deux côtés différents par rapports à la normale: cela revient à faire /= — \. La réfraction se trans- ‘ forme ainsi en réflexion. L’équation (A) se réduisant à

- y‘^dz‘lc{x-\-a) — c^O,

on voit que le point lumineux est le foyer d’une pa-. / rabole qui réfléchit tous* les rayons parallèlement à ’ .

son axe , propriété connue que l’on devait retrouver ‘ Aci. C

■ Actuellement passons à la recherche de la condition nécessaire pour que les rayons réfractés se ren- ' . contrent tous en un même point de l’axe, ou, autre- ^

ment, déterminons la courfie dont les causti(pies , '

par réfraction se réduisent à un seul point , à leur jKiint de rebroussement. Il faut pour cela que la va- . leur de x' écrite plus haut soit constante; il faut ' qu’elle soit nulle , si nous prenons pour origine des ■ coordonnées le point de concours des rayons ré- ‘fractés ou de leurs prolongements. Soit donc .r'=0, ' • >

ou • ’ '

.Cette équation donne

{x-\-a)dx-^ydy l(xdx-\-ydy)

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d’où l’on tire par l’intéfjration , en appelant c one" constante arbitraire , ' . •

[/ [xJ^uy-\-y^ et sont les distjmces du point .

d’incidence au point lumineux .et au point de concours des rayons réfractés. Nommons ces distances, les longveurs des rayons incident et réfracte^ j"\\ en résultera l’énoncé suivant :

Les courbes réfringentes qui réunissent en un seul ‘■point les rayons de lumière simple émanés àtissi d" un seul point sont telles que la longueur, du rctyoti incident^ et celle du rayon réfracté multipliée par Vindice de réfraction , forment une différence ou une somme constante. .

Ces courbes , connues sous le nom ovales de Descartes (1), sont en général du quatrième degré. On peut dire qu’elles ont deux foyers d’une nature particulière, et qu’elles sont pour la réfraction ce que les sections coniques sont pour la réflexion.

. Soient -j- y‘- =/•, et |/x^ipp=r'; - ' •

il vient . • ’

Cette équatioi. . ‘.ntre r et r' servira à construire ces’ courbes par points Il sera' facile d’en découvrir

(1) Voyez le second livre de la Géométrie de Descartes. .Voyez aussi le Traité de la lumière d’Huyghens, cliap. VI. Çje&ovates ont été nommées lignes aplanétiques par M. Quételet , qui a fait sur ces courbes des recherches iutéressauiés ( Supplément au Traité de la lumière de M. Herschel).

PAB. LE CALCDL 1^F1B1TÉSIH1L. 151

, la formé, et les propriétés par l’emploi des coordonnées rectan{julaires ou polaires. En supposant successivement ..

en même temps que /> ou < 1 , on embrassera les . • cas principaux qui s’offrent à la discussion. Je laisse de côté ces détails purement mathématiques poui* ^ m’arrêter seulement sur l’hypothèse de c=:0, qui

rentre dans le cas de c^< a*. , .

Lorsque c=0, (B) devient .

OU

Soit d’abord ; cette équation est celle d’une circonférence de cercle dont le rayon est , et* dont le centre est sur l’axe des x positifs à une distance jrzi foyer de réfraction et à une distance ~ Pa

du point lumineux marquée par g '

Il suit de là 1“ que le point lumineux est hors de la , circonférence, 2° que le foyer de réfraction est intérieur au cercle et situé entre le point lumineux et le centre, 3° que le rayon du cercle est moyen projwrtionnel entre les distance? de son centre aux deux foyers conjugués, ^ ’

Si l’on conçoit qu’un rayon émis par le point lu- ' mineux tombe siu' la convexité du cercle, on verra

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' 1Ô2 PHOBLàUES RÉSOL'DS ' , . \ • *

sans peine que le rayon réfracté qui lui corresponxl ' ^ ou son prolongement ne saurait passer par l’origine. Mais si le même rayon incident, sans dévier, atteint ,1a concavité du cercle et s’y réfracte, le prolongement du rayon réfracté coupera l’axe à l’origine, et • • ce point sera un foyer virtuel. Donc si par le point ' , lumineux on mène deux tangentes au cercle, la plus grande des deux portions de circonférence limitées • par les points de contact sera le lieu des points d’incidence qui satisfont à la question. Un calcul très • • simple montre qué la corde commune aux deux arcs . . . se confond avec l’axe des y. Mais |X)ur que l’arc pos- . térieur puisse exercer la propriété réfringente dont / il s’agit, l’arc antérieur doit évidemment être supprimé.

Soit maintenant /<1 . Sans nouveau calcul, il est clair que nos deûx foyers conjugués vont échanger leurs rôles. L’origine devenant le point lumineux,

• . - parmi les rayons qu’elle émet dans le milieu le plus . . réfringent, ceux qui frappent l’arc de cercle situé à la droite de l’axe des y ont |Jour foyer virtuel de réfraction le point regardé d’abord comme lumineux.

Enfin soit /^=1 , ou /=: — 1 ; l’équation (C) se ré-

' duit à x= — équation d’une droite perpendiculaire sur le milieu de la ligne qui joint le point lumineux et l’origine. Dans ce résultat, qui s’exjdique par le changement de la réfraction en réflexion , on ' ^ reconnaît la propriété fondamentale du miroir plan.

• • ' La même hypothèse introduite dans l’équation , (B) dopne ^ .

PAK LE CALCUL IMPIElTESiaAL.

OU

L’équation enti’c r et 7 ^ caractérise une ellipse ou une hyperbole qui a pour foyers les deux points. désignés ci-dessus par ce 01001. L’équation entre x et y ‘ apprend qu’on trouve l’une ou l’autre de ces .courbes suivant qu’on a c^>a^ ou ç^<a^ et qu’en outre une parabole répond au cas où ch=a^. On voit donc /que les trois courbes du. second degré sont comprises, comme cas particulier, dans les ovales de Descartes, ce qui confirme l’analogie , indiquée plus haut. '

Maintenant soit proposée cette question :

Des rayons de lûmière simple parallèles, ou partis d’un fnéme point , ou tendant:vers un même point se propayent dans un milieu [tel que l’air^,et, après avoir traversé un milieu plus réfringent [tel que le verre), repassent dans le premier milieu. Quelles doivent être les surfaces d’incidence et d’émergence du milieu intermédiaire pour que tous les rayons 'émergents concourent en un même point, ou scinhlent émaner d’un même point , ou enfin deviennent, parallèles? On connaît l’indice de réfractioii relatif aux deux milieux et à l’espèce de lumière simple dont il s'agiit ' -

Ce problème est susceptible d’un grand nombre ■ ■.

iSU PROBLÈMES RÉSOLUS PAR LE CALCUL IRFIRITÉSIHAL.

de solutions,' qui peuvent toutes, se déduire des résultats de l'analyse précédente. Pour trouver celles qui sont les plus élémentaires, il suffît de combiner deux à deux des surfaces de plans, de sphères, d’hyperbolo'ides ou d’ellipsoïdes de révolution. Nous conseillons à nos lecteurs cette recherche, qui est à La fois curieuse et facile ; et, pour reconnaître ensuite s’ils sont arrivés aux meilleurs assemblages de surfaces, ils feront bien de comparer leurs solutions à celles que Desciirtes expose dans le huitième discours de sa Dioptrique. Malbeurédsement ces ingénieuses constructions imaginées par Descartes n’ont pas encore été réalisées, parce que les artistes qui taillent le verre ne sont pas encore parvenus à lui donner une courbure exactement 'elliptique ou hyperbolique (1).î V .:v . - „ ^

’ (l)'On trouve pooriaat dans Y Enelycopédis méthodiqtie (Mathéuialiques, article Lentilles) la description d’une ntochine propre à tailler et à polir les lentilles paraboliques, . hyperboliques et elliptiques. Celtc macbinc a clé inventée' en Angleterre avant l’année 1785 . Il est probable que do nouveaux efforts tentés aujourd’hui sur le môme sujet ne seraient .pas iqfrucüiejix. avnr-tj.ïif-

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SECONDE p!a.ÊT 1E. v* . r>.^

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