RÉDUCTION AU PLUS PBTIT DÉNOMNATEUR COMMUN. La
règle générale qui précède conduit à des nombres considérables quand les fractions sont nombreuses. Dans bien des cas, on peut arriver à des expressions plus simples «n suivant la marche suivante.
Proposons-nous de réduire an môme dénominateui^ lés fractions : '
Cherchons un nombre^ fe plus petit possible , qui soit d la fois divisible par tous les dénominateurs. Ce nombre, évidemment y ne peut être plus petit que le plus grand des dénominateurs, mais il peut lui être égal, sinon il est égal à Vun de ses miUtiples.
Essayons donc 18. Ce nombre est divisible par tous. Jesi; dénommateurs 6, 2, 9, 18 et 3. 18 sera le dénominateur commun des fractions cherchées.
Divisons maintenant 18 par chacun des dénominateurs, et, pour reposer Tesprit, écrivons le quotient au-dessus (te la fraction correspondante.
Multiplions maintenant les deux termes de chaque fraction par le nombre placé en dessus, il viejidra :
jî5 9^ J^ 7 12
Les fractions primitives n'ont (pas changé de valeur, puisque Içs deux termes de chacune ont été multipliés par le môme nombre; de plus les fractions nouvelles ont entre elles môme dénominateur, et ce dénominateur commun est le plus simple que l'on puisse obtenir dans le cas où toutes les fractions primitives sont irréductibles.
Si Ton avait suivi la règle générale , on aurait trouvé pour dénominateur commun le nombre 5832.
Réduisons maintenant au môme dénominateur les fractions : '
.^Le .pjus fort dénominateur est bien divisible par 4, par â et par 6, mais il n'est pas divisible par 9. Essajpug^prs-lesjn^ultiples de 13. Le double de iâ ou St4 rfest pas divisible par 9, mais le triple de i2 ou 36, Test; Le dénominateur commun «era 36^
Divisons 36 par chacun des dénominateurs, et écrivons le quotient au-dessus de la fraction correspondante :
Multiplions maintenant les deux termes de chaque fractioBipar le nombre placé au-dessus .'
Sî te plus grand dénominateur n'est pas divisible par tous les autres, on cherche donc le plus simple de ses multiples qui satisfasse à cette condition. Le nombre ainsi déterminé est le plus petit dénominateur commim des fractions proposées , dans le cas où celles-ci sont toutes irréductibles.
On verra au chapitre XXX une méthode générale çoiir trouver entre plusieurs fractions le plus petit déhbmihâteur commun. -
6. RÉDUCTION DES ENTIERS EN FRACTION. Dans Certaines opérations, il convient d'écrire en une seule expression fractionnaire un nombre entier et Ja fraction qui l'accompagne. C'estce qu'on appelle réduire les entiers en fraction.
Soit le nombre 3 et -. Chaque^unité vaut 5 cinquièmes; •
3 imités valent donc 3 X 5 ou 15 cinquièmes. Si, à ces 15.
cinquièmes y on ajoute les 4 cmj'Wième^. représentés par la
fraction, on aura en tout 19 cinquièmes yX)ix bien -— , nom-
bre qui remplace a et -. ^
Pour réduire des entiers en fractions, on multiplie donc le
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nombre entier par le déïiominateur de ia fraction; au produit on afoute le numératettr, et pour dénonnmateur ton domi à la somme le détiominateufr même de la fraction. 7. Extraction des entiers contenus dans une bx^kes-
siON FRACTIONNAIRE. Le nombre -z- est plus grand que Tu-
■ nité, puisque le numérateur est plus grand que le dénominateur. On peut se demander combien de fois ce nombre vaut Tunité, ou, comme Ton dit encore, combien il contient d'entiers.
Remarquons que l'unité vaut 7 septièmes^ et que le nombre proposé contient 45 septièmes. L'expression fractionnaire contient donc autant de fois l'unité que le nombre 7 est contenu dans le nombre 45. Le résultat est 6
avec un reste égal à 3 septiètnes. Le nombre — vaut donc
6 unités et -. On en ferait la preuve en réduisant les entiers en fraction d'après la règle précédente. On reviendrait ainsi au nombre —.
Pour extraire les entiers contenus dans une expression fractionnaire, on divise donc le numérateur par te aénominatew. Le quotient donne les entiers. Quant au reste, il forme lé numérateur cTune nouvelle fraction ayant pour dénominateur celui de l'expression primitive,
8. RÉDUCTION d'une FRACTION ORDINAIRE EN FRACTION DÉ- CIMALE. Il a été établi qu'une fraction ordinaire peut. être considérée comme le quotient d'une division dont le numérateur est le dividende et dont le dénominateur est le diviseur. On réduit une fraction ordinaire en fraction décimale quand on la remplace par le quotient de la ditisicf» à laquelle elle correspond.
Proposons-nous de réduire la fraction - en fraction dé-
cimale. A cet effet, opérons d'après les règles ordinaireSj,Ja
division du numérateur ou dividende 3 parle dénominateur
ou diviseur H. Le quotient est 0,375. La fraction ordinaire
jj^P^ot cfoncétre remplacée pat YaltacNXovi^^ràsiaSR.^ ^^'15.
FRAcmosrs cmirni AUtBo* ; ss &
DopCy pmtr réduire une fraction ordinaire en fraction décimale^ onidivisele numérateur par le dénominateur , d'après les règles établies pour évaluer un quotient en décimales.
'9. Fractions dècimaies périodiques. Soit à réduire la
fraction -- en fraction décimale. En divisiaht le numérateur il '
i)àr le dénotniriateur, on a :
Sans poursuivre plus loin, on voit que les dividendes partiels 50 et 60 reviennent alternativement, ce qui donne au quotient les chiffres 4 et 5 à tour de rôle. Le reste n'étant jamais égal à zéro, la division ne peut se terminer, et le, quotient se compose du nombre 45 écrit à la droite de la virgule un nombre indéfini de fois.
On appelle fractions décimales périodiques celles dont les mêmes chiffres , reviennent périodiquement et d'une manière indéfinie. Les chiffres qui se répètent forment la période^ Dans Texemple ci-dessus, la période est 45. Si
Ton réduit en fraction décimale la fraction - , on obtient
0,428571428571 La période est alors de six chiffres :
On verra au chapitre XXX à quels caractères on reconnaît qu'une fraction ordinaire doit donner naissance à une
fraction décimale périodique.
