Diviser 8 r par 7 r
50rVEXLE ABTTHMETIQUZ.
p; :s grjnJ. Il est le plus grand commun diviseur entre 12 i-t l»s. 0?i Qf»p^Ue donc piuf grand commun diviseuf entité t/r»'-:' nô?rt^:às, 'U nombre le plus grand qui les divise exacte^ ment tun et Vautre.
2. Prixcipes. La recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres est basée sur les principes suivants :
1* 5i* deux nori\h)'es sont divisibles chacun par un attire nombre, leur $omme l'est aussi. Considérons les deux nombres 16 et ±\. tous les deux divisibles par 8. Le premier vaut 2 fois 8, le second vaut 3 fois 8. Leur somme vaut donc 2 fois 8, plus 3 fois 8, c'est-à-dire 5 fois 8. Celle somme se compose alors d'un multiple exact de 8, et paf conséquent est divisible par 8.
2* Si deux nombres sont divisibles chacun par tm, autre nombre, leur différence l'est aussi. Considérons les doux nombres 72 et 27, divisibles l'un et l'autre par 9. Le premier vaut 8 fois 9, le second vaut 3 fois 9. Leur différence vaut donc 8 fois 9, moins 3 fois 9, ou bien 5 fois 9. Cette différence se compose alors d'un multiple exact de 9 et par conséquent est elle-même divisible par 9.
3® Si un nombre est divisible par un autre nombre, tout multiple du premier l'est aussi. Considérons le nombre 21, qui est divisible par 7 avec 3 pour quotient. Si nous multiplions 21 par un nombre quelconque, par G par exemple, le dividende sera rendu 6 fois plus fort, et par conséquent le quotient deviendra 6 fois plus fort, c'est-à-dire sera égal à 3 multiplié par 6. Le quotient sera donc encore un nombre entier, en d'autres termes le produit de 21 par f) sera encore exactement divisible par 7.
3. IlEGHERCHE DU PLUS GBAND COMMUN DIVISEUR EIfTRB DEUX NOMBRES. MARCHE DE l'OPÉRATION.
Soit à trouver le plus grand commun diviseur entre les deux nombres 1035 et 184. On dispose l'opération de la manière suivante : . .
il5
PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. 2fi7
, On. divise le plus grand nombre 1035 par le plus peitit lf>4. le quotient 5 est écrit au-dessus du diviseur-et l4j reste 115 au-dessous du dividende.
On divise le diviseur 181 par le reste i 15, que l'on écrit à sa droite. Le quotient 1 est écrit au-dessus du diviseur el le resité G9 au-dessoiis du dividende.
On divise le premier reste 115 par le second reste 69
Îue Ton écrit à sa droite. Le quotient 1 est écrit au-dessus u diviseur et le reste 46 au-dessous du dividende. On divise le second reste 69 par le troisième reste 46* Le quotient I est écrit au-dessus du diviseur et le reste 23 au-aessous du dividende.
On divise le troisième reste 46 par le quatrième reste 23
3ue l'on écrit à sa droite. Le quotient 2 est écrit au-dessus u diviseur. Le reste est zéro.
L!opération est maintenant terminée, et 23 est le plus grand commun diviseur entre les deux nombres proposés. En résumé, l'on voit que cette opération revient à diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis le plus petit par le reste, puis ce reste par le second reste , puis le second reste par le troisième, et ainsi de suitc^ jusquà ce que l'on artnve à un reste nul. Le diviseur qui donne ce reste nul est le plus gvand commun diviseur entrée les nombres proposés.
4. Démonsti^ation. Le plus grand commun diviseur entre 1035 et 184 ne peut évidemment être plus grand que 184, mais il pourrait lui ôtre égal. Gela arriverait si 184 divi^it exactement 1035, car déjà 184 est divisible par luirmême. On est donc conduit à essayer la division de 1035 par 184. Le quotient est 5 avec un reste 115.
Si l'on multiplie le quotient par le diviseur et qu'au
Sroduit on ajoute le reste^ on doit reproduire le diviende. On a ainsi :
1C35 = 5 X lai^-.+ llS.
Mais tout nombre qui divise 1035 et 184 et par suite 5 X 184, (S'^ principe) (\i\i$e aussi 115, différence entre 1035 et 5 X 184 (-i" principe). Réciproquement tout nombre qui divise M5 et 181 et par suite 5 X 184, divise
3S8 NOUVELLE AHTTHMÉTIOCE.
question est donc ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre i 84 et 115.
On retombe ainsi dans le premier cas, et l'on est conduit à essayer la division de 184 par iio. La diTision ne «'effectue pas exactement; il y a un reste 69. En répétant le môme raisonnement que ci-dessus/on verrait que le plus . grand commun diviseur entre i 15 et 69 est le même qu'entre 484 et M5 et par suite qu'entre 1035 et 184.
En continuant ces divisions de chaque reste parlerçsle suivant, on arrive à 23 avec un reste nul. 23 est donc lo plus grand commun diviseur entre 46 et 23, et par consé^ quent entre 69 et 46, entre 115 et 69, entre 184 et 115, entre les deux nombres proposés 1035 et 184.
5. Nombres premiers entre eux. Cherchons le plus grand commun diviseur entre 51 et 16.
Divisant 51 par 16, on a 3 au quotient avec le reste 3. Divisant 16 par le reste 3, on a 5 au quotient avec le reste 1. Divisant le reste 3 par le reste 1, on a 3 au quotient avec le reste 0. Le plus grand commun diviseur entre les deux nombres proposés est donc 1. Les nombres qui n'ont (f autre commun diviseur que l'unité sont dits nombres premiers entre eux. Les nombres 51 et 16 sont premiers entre eux. Ils ne sont divisibles à la fois par aucun nombre entier si ce n'est l'unité.
