Extraction de là racine crBiguE dans le cas ou

CETTE RACINE N*A QUE DEUX CJ»FFRBS. PrOpOSOUS - UOUS

d'extraire la racine cubique dp 121 67.

Informons-noup d'abord du nombre de chiffres qu'il y aura à la racine Si cette racine était 10, son cube serait ^000, quantité moindre que \e nomY^T^ ;^Ttcy^çi^^. '^y ^^ était 100, sorcuhe serait iOOOOOO, q]aanX\\fe ^\\sa iotv.^ o^^

le nombre proposé. La racine cherchée est donc comprise entre iO et iOO, et par conséquent est formée de deu^i chiffres, l'un pour les dizaines, l'autre pour tes unités. Son, cube est alors composé des quatre parties mentionnées dans le précédent paragraphe. Or le cube de»tli9atnes donne nécessairement des mille, car 10 X 10 X 10 valent 1000. C'est donc dans les mille du nombre proposé que se' trouve le cube des dizaines de la racine. Mais ce cube peut ne pas y être seul, iL peut être accompagné d'un certain nombre de mille provenant de l'ensemble des trois autres parties du cube.

Le plus grand cube contenu dànsiS est 8, dont la racine est 2. Le chiffre 2 est nécessairement le chiffre des dizaines de la racine. Établissons, en effet, que ce chiffre p'est ni trop fort ni tt^op faible, tl n'est pas trop faîblé, car, si on l'augmentait d'une unités on aurait à là racine 3 dizaines dont le cube est 27 mille, quantité plus grande (jue le nombre proposé. H n'est pas trop fort^ car, si on le ithririnuait d'une unité, on aurait au plus 19 pour la racine entière, quantité insuffisante, puisque déjà 20 élevé au cube est insuffisant pour Reproduire le nombre proposé.

D'unb manière générale : Le plus arand cube contenu dans les nUle du nombre proposé est précisément le cube des dizaines de h racine j et la racine cuoique de ce plus grand cube est k chijfife des dizaines de la racine.

Le chiffre de^dizaines de la racine est donc 2, dont le cube est 8. En retranchant 8 de i% on a pour reste 4. A la suite du chiffre 4f pn abaisse la tranche suivante. Le nombre 4167 contié^ les trois autres parties du cube , savoir : trois fois le cahé des dizaines par les unités, trois fois les dizaines: par le nirré des unités et te cube des unités. De ces trois partie^,.ia première est la plus forte; (V'est elle seule que nous p^nidrons pour le moment en considération. ' ;

Le carré de 10 est i 00, par coi*i^qent trois fois le carré des dizaines par les unités nepeuvw^t donner que des centaines. C'est donc dans les 41 cenvines de 4i67 que se trouve cette partie du cube, mais pe^.^tre avec des centaines provenant des deux autres parti» du cube. On est ainsi conduit à séparer par un point les à^ derniers chiffres du reste 4167 pour ne coi[i&\àfec« o^^^^i^V ^^^^î^îkssr»;^ Le oarré des dizaineô esl 4vUo\^ iovsi ^«• ^^*^ ^^ ^>asssr

180 NOUVELLE ABITSM^TIQUE.

nés donne 42. Si nous divisons 4i par trois fois le carré des dizaines ou par i2, le quotient sera le chiffre des unités ou un chiffre trop fort à cause des centaines provenant des deux autres parties du cube. Le quotient est 3. Le chiffre des unités ne peut être que 3 ou un chiffre- plus faibie.

On pourrait reconnaître si en effet 3 est le chiffre des unités en composant les trois parties du cube qui restent encore et en les additionnant. La somme doit pouvoir se soustraire de 4167. En suivant cette marche, on aurait :

Trois fois le carré des dizaines par les unités = 1200X3= 3600

Trois fois les dizaines par le carré des unités =: 60x9 = 540

Cube des unités= ;,...; 27

La somme des trois parties est bien égale à 4167 ; le chiffre des unités est donc 3, et la racine cherchée est S3.

Mais, au lieu de suivre cette marche, il est plus siniple, pour essayer le chiffre des unités, de faire immédiatement le cube de 23. Le chiffre essayé pour les unités est'bon si la soustraction peut se faire; dans le cas contraire'/! est trop fort, et Ton fait un second essai en diminuant le chiffre d'une unité, jusqu'à ce que la soustraction paisse s*opéper. Dans le cas actuel, le chiffre fourni pa? la division est bon, car le cube de 23 reproduit le noiFit)re donné 1M67.

4. Cas ou la pagine a plus de deux chiffres. Soit à extraire la racin'^cubique du nombre 162771336.

RACFNG GUBiQOe,

In trancliè {!u oombre, .

Cube de 5..

l'c et S« traaehes. .

Cube de 54. •

|re, S* et 8* tranohes.« Cube de 54 G..

Par un raisonnement semblable à celui du paragraphe précédent^ on verrait que la racine a trois chiffres ; un pour les centaines, un pour les dizaines, un pour les unités; ou bien, comme;les centaines valent des dizaines : deux chiffres pour les dizaines et un chiffre pour les unités. — Le cube des dizaines ne peut être contenu que dans les mille du nombre proposé. Il faut donc séparer les trûi^ derniers chiffres par un point. — Le plus grand cube contenu dans les mille du nombre est le cube des dizaines de, la i^cine, et la racine cubique de ce plus grand cube dpnne l^^si deux chiures des dizaines de la racine. Il faut donc extr^re la racine cubique du nombre 16i771. On retombe aimi dans ie cas où la racine n*a que deux chiffres. Par conspuent, d'après la règle déjà trouvée, il faut séparer par un ^oint les trois derniers chiffres et extraire la racine cubiqubde la tranche qui reste, c'est-à-dire .de 162.

Le plus grand cubenontenu dans 1C2 est 125, dont la racine est 5. Hetranchau 435 de i6-2, on a 37 pour reste. A la suite de ce reste , agissons la tranche suivante ; ce qui nous donne le nombre «771 ^ séparons les deux derniers chiffres par un point, -gisons le carré du chiffre obtenu 5; ce carré est 25, donl^^ ipjpje est 75. Divisons 377 par 75. Le quotient est 5, quic^umit le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort.

Ce chiffre est trop fort si le cube à<^^ dépasse le nombre 162771 fourni par les deux prerjt^j.gg tranches du nombre. C'est effectivement ce oui aliCv ^^j. jg ^^jj^ ^g 55 est 166375, On le diminue donc duiim^jt^ et l'on essaye le chiffre 4.

Le cube de 54 est 157464, qui peut se s,,straire du

a SI NOUYBLLI ARITHMÉTIQUE.

nombre formé par les deux premières tranches; 4 est donc bien le second chiffre de la racine.

Le cube de 54 étant soustrait du nombre formé par les deux premièï'es tranches, il reste 5307. A la suite de ce nombre, on descend la tranche suivante. Le nombre 5307336 contient les trois dernières parties du cube, parmi lesquelles nous considérerons uniquement, comme ayant la plus grande valeur, le triple produit du carré des dizaines par les unités. Faisons le carré des 54 dizaines, qui est 29i6 et triplons le résultat, ce qui donne 8748. Le produit de trois fois ce carré des dizaines par les unités ne peut donner que des centaines, parce que le carré de 40 est 100. C'est donc dans les centaines de 5307336 que se trouve ce produit. On est ainsi conduit à séparer par un point les deux derniers chiffres et à diviser le nombre res* tant 53073 par 8748. Le quotient sera le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort, à cause des centaines provenant des deux dernières parties du cube.

Le quotient est 6. Ce chiffre sera bien celui des unités si le cube de 546 peut se retrancher du nombre proposé, ou de l'ensemble des trois tranches. Dans le cas contraire il serait trop fort, et il faudrait essayer le chiffre itomédiatement inférieur. Dans le cas actuel, le chiffre à convient, car le cube de 546 se retranche du nombre proposé et donne pour reste 0.

5. RÈGLE. De cette discussion résulte ^ règle suivante : Pour extraire la racine cubique d'un nof^ > on dimt dabord ce nombre en tranches de trois ^^iff^s à partir de h droite. La dernière tranche à gauchepcut ne comprendre que deux ou un seul chiffre. Le nombrr^^ chiffres de ta racine est égal au nombre de tranches du v^'^àre propose.

On cherche le plus grand ^?^ contenu dans^ la première tranche à gauche. La racine- ^^^9^^ de ce plus grand cube est le premier chiffre de la ro'^^ ^" nombre.

•" On soustrait le cube ^ ^^ premier chiffre de la première tranche, et à la droite^^ ^^^^ ^ abaisse la tranche suivante. On sépare par un p^^^^^^ deux derniers chiffres du nombre ainsi obtenu, et U^^^re restant est divisé par trois fois le carré du premie'r'^W^ ^^ ^« racine.

Le quotient '^^^^ ^^^ ^^ second chiffre de la racine ou m

chêff^ fy^op ^^^' " ^^^ ^^^P fort si le cube des deux premiers

eAiffres (ùr ^ ^o^cine dépasse le nombre fotmé par les deux

RACi» . CUBIQUB. tt9

premières tranches du nombre proposé. On le dimmue alors d'une unité, puis d'une autre si c est nécessaire , ju9qu*à ce que la soustraction puisse se faire.

A la suite au reste ainsi obtenu, on abaissé la troisième tranche et l'on sépare les deux derniers chiffres par un point. Le nombre restant est divisé par trois fois le carré des deux chiffres déjà obtenus à la racine. Le quotient est le troisième chiffre de la racine ou un nombre trop fort. Il est trop fort si le cube des trois chiffres de la racine dépasse le nombre formé par les trois premières tranc/uis. On le diminue alors graduelle^ trient d'une unité jusqu'à ce que la soustraction puisse se faire. On continue de la sorte jusqu'à ce que toutes les tranches du nombre soient abaissées.

6. llACiNB CUBIQUE d'un NOMBRE DÉCIMAL. Le cube d'un nombre décimal a trois fois plus de décimales que ce nombre lui-même, répété trois fois comme facteur. La ra* cine a donc le tiers des décimales du nombre proposé. Par conséquent la première condition à observer pour extraire la racine cubinue a un nombre décimal, est que ce nombre ait 3 ou 6 0// décimales, enfin un nombre de aédmales exactement multipUdei, Si ùb nombre ne satisfait jjus à cette condition, on cimipUie le nombre voulu de décimales au moyen de zéros que l'on écft à la droite du nombre. On extrait ensuite la racine cubique a^ nù7nbre sans faire attention à la virgule, puis on sépare à la i-icine le tiers des décimales qu'il y a dans le nombre proposé, ,

Soit k extraire la-.acine cubique du nombre 3,497i. On écrit deux zéros à lu droite du nombre pour qu'il y ait 6 décimales; puis l'on ^xtrait la racine cubique du nombre 3497100.

La racine cubique du n»^bre proposé est donc i ,51 à un centième près.

ir« trauehe du nombre...

Cube de i • • •

il* et 2« trtncbei...

Cube de 15.«>

I'*, i« ei 3* trtnobei...

Cube de IDl*..

tt75