CHAPITRE VIII

IVombres décimaux.

IGINE DES FRACTIONS DÉCIMALES. On 86 propOSe, par

î, d'évaluer la longueur d'une table. On porte Tulongueur, le mètre, sur la dimension à mesurer le fois qu'elle peut y être contenue. On trouve que 3 est contenu 3 fois dans la longueur de la table

reste moindre que le mètre. Comment évaluer ce )n divise le mètre en dix parties égales appelées , et Ton cherche combien de fois une de ces parties enue dans le reste. Si elle y est contenue 4 fois, lue la longueur de la table est de 3 mètres et les de mètre, il peut se faire qu'avec i dixième de mètre pour

il y ait encore un reste. Alors le dixième de mètre \ tour divisé en dix parties égales, qui prennent le centièmes, parce qu'une de ces parties est contenue

dans Tunité principale, le mètre. En effet, si le st divisé en 10 parties égales ou dixièmes, et que dixième soit subdivisé en dix parties égales, il y a lent dans le mètre 10 fois 10 ou 100 de ces der irties.

e centième de mètre pour mesure, il peut encore lie le reste de la longueur de la table ne cuisse s'évec exactitude et laisse un excédant moindre que me: On est donc conduit à faire pour le centième î ce que Ton a déjà fait poiir le dixième de mètre e mètre, c'est-à-dire à subdiviser ce centième en 3s égales, qui, étant contenues chacune 10 fois OOO fois dans le mètre, prennent, pour ce motif, le nilliemes de mètre.

conduit pareillement, pour obtenir dans la mea longueur tel degré de précision que l'on veut,

le millième de mètre en 10 parties égales^ c^ui^ lienues chacune 10 fois 1000 ou ^QfâS^ l'àvs. ^^sî&

le mètre, prennent le nom de (Hx-iniUièmes. Le dix-milliôme, à son tour, se subdivise en 10 cent- millièmes ; et le (NMit-millième en M) millionièmes, etc.

-. Division de l'unité principale en cuites secondaires DE 10 EN 10 fois plus PETITES. Ce ([uc nous venons de dire de l'unité de longueur, le mètre, s'applique à toute espèce d'unité, quelle que soit sa nature. Toute anité se divise en 10 parties égales ou dixihnes. Le dixième se divise en 10 parties égales appelées centièmes. Le centième se divise en 10 parties égales appelées millièmes. Le millième se divise en 10 parties égales appelées dix-millièmes^ etc., etc. L*uuité vaut ainsi 10 dixièmes, ou 100 centièmes, oa 1000 millièmes, ou 10000 dix- millièmes, etc., etc.

Le dixième est 10 fois moindre que l'unité, le centième est 10 fois moindre que le dixième, le millième est 10 fois moindre que le centième, etc.

3. Rang que doit occuper chaque subdivision dans l'écriture NUMÉRIQUE. Nous avons vu que la numération écrite est basée sur ce principe, savoir : qu'un chiffre placé à la droite d'un autre exprime des unités d'un ordre 40 fois moindre. C'est ainsi qu'après les mille viennent, adroite, les centaines, qui valent 10 fois moins; qu'après les centaines viennent les dizaines, qui valent 10 fois moins. Ce principe est parfaitement applicable aux diverses unités secondaires provenant des subdivisions de l'unité principale. Ainsi les dixièmes, 10 fois moindres que l'unité, doivent s'écrire à la droite du chitfre des unités. Les centièmes, dix fois moindres que les dixièmes, doivent s'écrire à la droite du chiffre des dixièmes ; les millièmes, dix fois moindres que les centièmes, doivent s'écrire à la droite du chiffre des centièmes, etc., eic.

Pour indiquer où cùmmencent les subdivisions de Vuniii principale^ on met une virgule après le chiffre des mités simples.

Le premier chiffre à droite de cette virgule représente les dixièmes, le second représente les centièmes, le troisième représente les millièmes, le quatrième représente les dix-millièmes, etc.

Ainsi le nombre 4-, 6 se lit : 4 unités et 6 dixiènaes. Le nombre 3,07 se lit : 3 unités et 7 centièmes. Le nombre 2,008 se lit : 2 unités et 8 millièmes.

Si le nombre ne cmtient pas d'unités simpfes^ on met

un zéro en avant de la virgule. Ainsi le nombre 0,3 se lit : 3 dixièmes ; le nombre 0,009 se lit : 9 millièmes.

On appelle nombre décimal tout nombre composé de deux parties : Tune, à gauche de la virgule, exprimant désunîtes, et l'autre, à droite, exprimant des subdivisions deTunité de 10 en 10 fois plus petites. La partie à gauche de la virgule est ce qu'on nomme la partie entière ^ parce

Qu'elle exprime des unités entières, des unités non subivisées ; la partie à droite de la virgule s'appelle la partie décimale^ parce qu'elle représente des suodivisions de Tanité de 10 en 10 fois moindres. Cette dernière partie s'appelle encore fraction décimale. Le mot fraction dérive d'un mot signifiant diviser, partager. On appelle fraction VM ou plusieurs parties de l'unité divisée en parties égales. Si la division se fait en iO parties, en 100, en 1000, etc., la fraction est qualifiée de décimale^ parce qu'elle est basée sur le diviseur 10. .

Quand un nombre décimal ne contient .pas de partie entière, c'est-à-dire lorsqu'il a zéro à la gauche de la virgule, on le nomme fraction décimale.

4. Lecture d'un nombre décimal. Soit le nombre décinaal 3,43. En se rappelant que le premier chiffre après la virgule représente des dixièmes et le second des centièmes, on lira ce nombre : 3 unités, 4 dixièmes et 5 centièmes. Mais on peut, comme il suit, abréger la lecture : 1 dixième vaut 10 centièmes ; 4. dixièmes valent donc 40 centièmes, qui, avec les 5 centièmes suivants, font 45 centièmes. Le nombre peut donc se lire : 3 unités, 45 centièmes.

Soit encore le nombre 2,324. On pourrait le lire : 2 unilés, 3 dixièmes, 2 centièmes et 4 millièmes. Mais 'es 3 dixièmes valent 30 centièmes, qui valent à leur tour 300 millièmes. De même les 2 centièmes valent 20 millièmes. On peut donc, plus rapidement, lire le nombre : 2 unités 324 millièmes. Un raisonnement pareil nous montrerait ^ue 4,026 se lit : 4 unités, 26 millièmes ; que 0,0523 se ht : 523 dix-millièmes.

5. RÈGLE. De ces divers exemples résulte la règle que voici : Pour lire un nombre décimal, on énonce d'abord la partie entière. On Ut ensuite la partie décimale de la même manière quun nombre ordinaire; et^ à (a suite de \. éaouet. wv. û/ûu/e DIXIÈMES s'il ny a quun seul cfiiffre après la wçj^Xft

"•'» '■{JUr'ZlLZ: A.l.T'IXETTQCE.

■•i:?'T«rHî:> : / '• " ""/w*. ^iiLLi's^zis i'-S ^ en a trois, dix-

■. «" -« : * iiiitL**. "i" Z2ill:èmes.

. ♦"' ♦"* i-i-aiilliêmes.

. «"t^' "»-2- ZL-lloflièmes.

■' .u-.>- ^^ v- i-r c'.'-u:"^ :>t .'iiocr'f fz ii5a:;e. Soit le .^. .::i- .,r X». :■..;•;■...>.:•. c «-'>*•: L'?-:^:-'i5 vileatSCOcen-

■.. ^. ;',.-■ .■ .^ :" -.■\-:>::ii';< ?;:~L:i"-i f-r-nt 3i7 cen- .». -i^. ■ .:•:.' • ■• j, >.- H'i. :-*Li«.' î<f l:?e : 3iî7 cen-

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v- * X ..V t ,»>.^.-. -r .*x!i:: -tiers F'::s.^u il s'agitde

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KOMBRES DECIMAUX. 85

le nombre proposé n'en fournit que deux. Il faut alors faire précéder d'un zéro ces deux chifiPres pour atteindre le rang des millièmes ou le troisième. On écrit donc 2,041 . Soit enfin 56 millionièmes. 11 n'y a pas de partie entière. Nous écrirons donc avant la virgule. En outre, les millionièmes exigent six chiffres, et, comme le nombre proposé n'en fournit que deux, nous ferons précéder ces deux chiffres de quatre zéros. On écrit donc 0»000056.

S'il est énoncé en une seule fois, on écrit le nombre tel qu'il est énoncé, sans se préoccuper de sa nature décimale ;puis, à portir de la droite, on sépare par une virgule un seul chiffre 9 U s'agit de dixièmes, deux s il s'agit de centièmes, trois s'il ^'agit de millièmes, etc.

Soit à écrire 327 centièmes. On écrit 327 comme s'il était question d'unités simples ; mais, comme il s'agit de centièmes, on sépare deux chiffres par une virgule à partir de la droite, et l'on a 3,27.

Soit encore 1407 millièmes. On écrit 1407 et l'on sépare les trois derniers chifTres par une virgule ; ce qui donne 1,407.

Soit enfin 148 dix-millièmes. — On écrit 148, et comme il s'agit de dix-millièmes, il faut à partir de la droite séparer 4 décimales par une virgule. Le nombre n'ayant que trois chiffres, on écrit un zéro à droite, puis une virgule et enfin un zéro qui tient la place des unités absentes. On a ainsi 0,0148.

7. Des ZÉROS ÉCRITS a la droite d'un nombre décimal n'en CHANGENT PAS LA VALEUR. En efïet, 4 dixièmes, par exemple, ^ent40 centièmes, ou 400 millièmes, ou 4000 dix-millièmes. On peut donc écrire indifféremment 0,4 ou 0,40 <>u 0,400 ou 0,4000, etc., car ces nombres ont môme valeur. D'une manière générale : si l'on écrit un zéro, deux, ^ois à la droite d'un nombre décimal, on lui fait exprimer les unités d'un ordre 10 fois, 100 fois, 1000 fois plus petit, dais en compensation ces unités sont en nombre 10 fois, 00 fois, 4000 fois plus grand ; la valeur ne change donc m.

Il résulte de là que, si un nombre décimal est terminé par b zéros, il est inutile d'en tenir compte. Ainsi 1,400 se lit : nnitéet4dixièmes, ou, plus simplement, 14 dixièmes. 8. Multiplication d'un nombre DÉcmA.L ïk^ \0^ \c\c^^ WO, elc. Pour rendre un nombre décimal V^ fu\s> V^^ \^^^>

mî NDUYKLLE ARITHMÉTIQUE.

1(H)(> /\n\^ plus fort, il suffit d'avancer la virgule d'un rang^ de il''H,i\ ilr trois rrrs Itt droite, enfin d'autant de rangs qu'il y a t/r zrnts tittn^ It* multiplicateur.

Si dans le nombre 3,4.*)tî on avance la virgule de deux r.inî;s vers la ilroile, on obtient 3-15,6. Il faut établir que ce M'eonvl nombre est KM.) lois plus fort que le premier. Com- IMions, en eiïet, ebillVe par chiflre, les deux nombres

3,tj0 et 345^6.

l>aiK le premier, le ehillre 3 exprime des unités; dans le xeeonJ, «I exprime des centaines, dont la valeur est i 00 ojn -ilnN ù>iU'. l^aiis le premier, le chiflre 4 exprime des .ii\'i\iieN . dans le M-eond, il exprime des dizaines, dont la ^.i.xtii .xi \(\) 'OIS |»ius forte. Dans le premier, le chiffre 5 ■^i'UMu- dix .eniiiMiie^: dans le second, il exprime des -•«i«^, iiMi a \.ileiir e^t *00 fois plus forte. Enfin, dans ■ 'M iî.^'. e .îiiilVe d exprime des millièmes, etdansle •' * «v..:. ; /vjii Mlle de>i dixièmes, dont la valeur est 100 fois ■■• i'..i-. V itNi, îur !e déplacement de la virgule de deux .'^ w . X .1 îj ,»iie, .îuinue chitlre sijîuiticatif du premier u'-iuix .me \aicur 100 t'ois plus forte. Le nombre •-* iiUK' de\enu 100 t'ois plus fort, ou bien a ... :■:■.■»• M, ir.O.

^ • ■' •.ii.ii|»i!ei •^, U" par 10? on avance la virgule "* ' «^ » hoiie kI "m a i-4,r», nombre 10 fois plus

^ • '•' ""■'ipiic. ->, fcoTtî par lOtH)? on avance la vi^ * • • • »iis^ 'ciN \i droite et l'on a 437,2, nombre ' * ^ '■ * •••* *♦•*• i>«e e loiubi-e proposé.

■-••l'i'.'.e» .».'i2fc ;»ar lui 0000 ? il faudrait avan-

* " -^^..i' io Vi\ •.iiij;s xei's la droite, et le nombii

' ' ; ■' ' .^ iuv* 'U)ix .iuifres à sa partie décimale. Mai

••^N'i iu- xlAvi iiv des /.eros à la droite de ce nom

V Vm* I *'/!'^*'' * *^ *'*^"^*'^ ■* ^**^ ehaii^ut Ucis la valeur. Écri

VUviU \^*iVi îi^^ *^ ^ ^* 'ïoiiiluo, sans ehaiijcer de valeur, de

Ck ■ ^^'' ^*'^*^*^^'"**"^ '»*'^i!^ :jouvous avancer la vil

>t> *^u»^.v^l !u>ux .i\oii,N :»uur '.e ;-é sut ta t demandé

li ^'<\li numiy .reciiiv -a \irîiuie à la suite d

^<UiU^ mA4.H4u î! IV .1 !.us de partie décimale

>^*\*^ V^MJWkw v.Mvvù«L \x»s. W, lUO, 1000, el<

rant sur sa droite, par une virgule, autant de chiffres quil y a de zéros dans le diviseur. Si dans le nombre 357 on sépare sur la droite deux chiffres par une virgule, on a 3,57, nombre 100 fois plus faible que le nombre proposé. La compar aisoB, chiffre à chiffre, des deux nombres le démontre.

Dans le premier, le chiffre 3 exprime des centaines ; dans le second, le môme chiflfre 3 exprime des unités, dont la valeur est iOO fois moindre. Le chiffre 5, dans le premier nombre, exprime des dizaines; dans le second, il exprime des dixièmes, dont la valeur est 100 fois moindre. Le chiffre 7, dans le premier nombre, exprime des unités ; dans le second, il exprime des centièmes, dont la valeur est 100 fois moindre. Ainsi, par TefFet de la virgule séparant les deux derniers chiflfres, chacun des chiffres significatifs du premier nombre ne représente plus que des unités 100 fois moindres. Le nombre en entier est donc rendu 100 fois moindre, ou bien a été divisé par iOO.

S'il faut diviser 428 par 10, on sépare un chiffre par une virgule et Ton a 42,8, nombre 10 fois moindre que le nombre proposé.

S'il faut diviser 5403 par 1000, on sépare trois chiffres et Ton a 5,403, nombre 1000 fois moindre que le nombre proposé, et ainsi de suite.

Une difficulté peut se présenter. Soit à diviser 47 par 10000. Il faudrait séparer quatre chiffres par une virgule, et le nombre proposé n*en a que deux. Mais rien ne s'oppose à ce que l'on écrive des zéros à la gauche de ce nombre entier, car ces zéros n'apportent aucun changement à la valeur du nombre. Écrivons donc 00047 qui a même valeur que 47, et séparons quatre chiffres, nous aurons 0,0047 pour le résultat demandé.

10. Division d'un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc. Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc., on avance la viraule d'autant de rangs vers la gauche quil y a dezéros dans le diviseur. Si dans le nombre 342,7, on avance la virgule de deux rangs vers la gauche, on a 3,427, nombre 100 fois moindre que le nombre proposé. En effet, chaque chiffre- significatif représente des unités 100 fois

s 8 NOCTELLE i^aiTHMETIOUE.

moindres .me âans «i 'Teoiier 'loniûre. «Jn le démoatre- :':iit niir MU riiioaneiueui i-n loiu ;îembiaLiie au précèdent.

Snit i .L'iiare '0 Oi:? .aoiimre .e nombre i.i. li taul iv;iDL'or a ir.:uie .'lUi .aui; "ers a -cauciie. âi comm^ iiors li iv L .LUS ii'iiuiies. .a «.-t-L'ii 'in lefo à ieur place. ■ 'n .L ainsi 0. to.

-":^*il :i V L 'ils hissez le . hjii'r es ;)our [pouvoir reculer la "irjiuie a'un loru^re -uilisant Le i'uul^s. .»n rH.Tit des zéros .1 -,'aucne. r^oii .l .liviser tl.T ;3ar llHJU. li raut avancer la vu'îruie ie rois 'aui:s "ers a -cauche. On ^erit donc on -:ero pour '.e iroisièiue ."luir'.iui manque, ^ei ;in second pour '.es îiuiLes absenies. )n i «le !a -orie : J,'J41T.

AtSlUK.

1. L'iinue iie divise '^n 'U P'ar'iesf.-tf:ue9 appelées .lixièmes. Le diiièffiC •ïp sunaiviâe >hi •» -?artie-i^ v^iiaios luneiee» oeiiciùmtis. Le centitsme ^ subdivise :»Q ".11 :iarnea jsr.ies ippeitr^t» iLiLièdies. etc., etc.

'.. L'inite vaut àom: !(• aùième», <u uu rirn iièiuts, ou iUUU millièmes, •Il '.MNiO di\-mil.;èiiieâ« "i '.(>hiitiu ceiii-uillièiueâ. etc.. i^ic.

». D:ins .*'rntiii'e îîumepi'iue, m nuinue />!ir iue virçulp oiicommen* "l'îit :es subdivisions :e .' unie. Ejû ^n'iui^'P ■:!iidh3 i imice de la virpi^ :f»pn»sPîiie a^ aiui-mea, e -sf cuna ue* :LMiiiètues. e :n)isième des millemes. -^rr. On .icpPile loraun» lécs'iiai om nombre ou s*» trouvent aes iubili visions ie .' nù-e le o •*••. <• :bi* plus pi^nte».

j. ♦ lixiëmes ^-aient tOi» .uiil:èraes, " zeir.ièiM'S raient 2*) millièffles; î tiini^mes. :: tîMiiiemes r ^ imllièmes se i^esit donc : ilb millièmes

.1. On iir un iom: re iwiimai ".omme s'il 'l'y -vait pu de virgule, eti \ ;a ftnitt» .le /-inona*. m lit : lixièraes s'il :i'.v :i uiun seul chiflFre ai-rèi la vir^nlp. tMinifmps s il / -în a ae'ix. millième* sîi y «m a trois, etc.

'•. Oii;*nd (\n écrit in nombm iècimai, L :aui ivoirsuin qu'ii y aitnp sr^ul cînffpe i la partie décimale a'ii s'aKit de Uxièmes; deux s'il s'agit (l«i cenn»»Tnpa ; rrojs s'il s'aucii de millièmes, eic.

T. I>«i z*fros ''criis ^ la aroite -l'un aombre décimal n'en changent pis

In V')l'*nr.

f< Pinr rendra nn nombre décimal 10 foi», HM fois* lOrO fois plas fort', on avance la viranl»*. vers la droite d'auiaut ue rangs qu'U y a de /''prv> Hans le mnltiplicatenp.

î> Pour diviser on n<'»mhpe «entier par 10, HM), 1000, etc., on sépare sor I ï dmire. par une viriçoie, a«itant de chiffres qu'U y a de xéros dans le

(1t viviir

l'i Pour 6\9\^r un nombre d.icimal par 10, 10i\ lOOO, etc., on avanco M virgnle ver» la gauche d'autant de rangs qu'il y a de xéros dans le divf«eiif.

EXERCICES SDR LA NUMÉRATION DES NOMBRES DÉCllfAUX.

Lire les nombres suivants et les écrire en lettres :

f ÎTÎ. 0,0147 274. 0,252 276. 6,0754

Exprimer en chiffres les nombres suivants :.

277. Deux unités, vingt-quatre centièmes. * * Douze unités, soixante-huit millièmeb^

Sepl unités, quatre dixièmes.

Vingt-trois unités, cent vingt-un millièmes.

Dix-sept unités, quatorze centièmes.