DIVISION DES NOMBRES BÉCIHAUX

En divisant 72, partie entière du dividende, par 23, le ]UOtient est 3 et le reste 3. Ces 3 unités avec les 4 dixièmes lu dividende valent 34 dixièmes, nombre que Ton obtient m abaissant le 4 à la suite du reste 3. Il s'agit maintenant de diviser 34 dixièmes par 23, c'est-à-dire de partager 34 dixièmes en 23 parties égales. Le quotient représente donc des dixièmes et par conséquent doit être écrit au premier rang après'la virgule mise à la suite du chiffre des anités. Le chiffre obtenu est 1. Soustraction faite, il reste il dixièmes, qui valent 110 centièmes. Ces 110 centièmes ajoutés aux 5 centièmes du dividende donnent 115 centièmes, nombre que Ton obtient en abaissant le chiffre 5 à la suite du reste. On a de la sorte 115 centièmes à partager en 23 parties égales. Le quotient représente donc des centièmes et par conséquent le chiffre 5, valeur de ce quotient^ doit être écrit au second rang après la virgule.

5. Cas ou le divis1£ur a moins de décimales que le dividende. On demande le quotient de 41,875 par 6,7. — Rendons* le diviseur 10 fois plus grand en effaçant la virgule. Pour que le quotient ne change pas de valeur, il faut rendre aussi le dividende 10 fois plus grand, c'est-à-dire avancer la virgule d'un rang vers la droite. On a de la sorte 418,75 àdiviser par 67, ce qui rentre dans le cas précédent.

Donc : Quand le diviseur a moins de décimales que le dividende, on efface sa virgule et l'on avance celle au dividende Sautant de rangs vers la droite quil y avait de décimales dam ^diviseur. La division se fait alors comme il vient d'être dit,

.6. Cas ou le *di viseur est un nombre entier d'un seul cniPPRE. Dans ce cas, le plus simple de tous, la division est (Mduite comme celle des nombres entiers, seulement on met ww virgule après le chiffre fourni par les unités du dividende.

Proposons-nous de diviser 94,728 par 4.

Le quart de 9^ est 2 et reste 1 . Le quart de 14 est 3, et J'este 2. (On écrit une virgule à la suite du chiffre 3 fourni parles unités du dividende, et la division se continue de la ïïjôrne manière.) 2 unités de retenue et 7 dixièmes font 27 feèmes, dont le quart est 6, et reste 3. Le quart de 32 est ^« Enfin le quart de 8 est 2.

104 nouyellb arithhetique.

7. Quand le dîyiseur est moindre que l'unité, lb quotient EST PLUS grand QUE LE DIVIDENDE. Soit à diviser 4 par 0,425. En opérant comme il vient d'être dit, on est amené à diviser 4000 par 125. Le quotient est 32. '

La division de 4 par 0,125 donne donc 32 pour quotient, nombre plus grand que le dividende 4. Un quotient plus fort que le dividende nous cause au début un certain étonnement, parce que, au mot de division, nous attachons d'ordinaire l'idée de diminution. Mais il est très- facile dese rendre compte de ce fait en apparence singulier. La division recherche combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Si le diviseur ^st égal à l'unité, ce diviseur est contenu dans le dividende un nombre de fois égal précisément à ce dividende. Si le diviseur est plus petit que l'unité, il doit être contenu dans le dividende un plus grand nombre de fois et par conséquent le quotient doit être plus grand que le dividende.

On peut raisonner encore ainsi. Le dividende est un produit dont le quotient est le multiplicande et dont le diviseur est le multiplicateur. Or nous avons reconnu que, lorsque le multiplicateur (diviseur) est plus petitque l'unité, le produit (dividende) est moindre que le multiplicande (quotient). A un diviseur moindre que l'unité corresponc donc un quotient plus grand que le dividende.

8. Remarque. Si l'on divise 7 par 0,125, le quotient serj plus fort que le dividende, puisque le diviseur est plus peli que l'unité. Combien de fois sera-t-il plus fort ? — Si 1< diviseur était égal à l'unité, le dividende 7 le contiendrai 7 fois. Si le diviseur était égal à la moitié de l'unité, 1' dividende le contiendrait un nombre de fois double ou i' fois. S'il était égal au tiers, au quart, etc., de l'unité, 1 dividende le contiendrait le triple, le quadruple de fois ou 21 fois, 28 fois. En général, si le diviseur est contenuu certain nombre de fois dans l'unité^ le quotient est égal à c même nombre de fois le dividende.

Mais 0,125 est contenu 8 fois juste dans l'unité. Le que tient de 7 par 0,i25 vaut donc 8 fois 7 ou 56. Ainsi, divise

DITISION DES NOMBRES DÉCIMAUX. i05

m nombre par 0,5, c^est le^nultiplierpar2; le diviser par 0,25, c'est le multiplier par A ; le diviser par 0,1 :2ô c'est le multiplier par 8. Celle observation a son utililé dans le calcul mental.

9. Évaluation d'un quotient en décimales. Nous avons reconnu que la division des nombres entiers donne trèsfréquemment un reste, dont nous n'avons pas tenu compte jusqu'ici. Les fractions décimales permettent de poursuivre la division sur ce reste. C'est ce qu'on appelle évaluer un quotient en décimales. En voici un exemple. Divisons 3 14 par 125.

2,0 li

Après avoir trouvé 2 au quotient, il reste 64. Le dividende n'a pas de chiffres à abaisser, le reste est moindre que le diviseur ; la division est donc terminée, si l'on veut se borner à la partie entière du quotient. Il n'en est plus ée même si l'on se propose d'évaluer en «décimales la suite du quotient. Remarquons que le reste 64 est égal à 64 unités, qui valent chacune 10 -dixièmes, et en tout B40 dixièmes. On écrit donc un zéro à la droite du reste, €t ce reste se trouve ainsi converti en dixièmes. Il faut maintenant diviser 640 dixièmes par 1^5. Le quotient évidemment sera des dixièmes. On écrit donc une virgule à la droite du chiffre 2 du quotient pour placer au rang convenable le chiffre des dixièmes que Ton va trouver. Le Îaotient de 610 par 425 est 5, que l'on écrit au rang des ixièmes; et il reste 15. Le reste est 15 dixièmes, qui valent 150 centièmes. On obtient ce nombre de centièmes en écrivant un zéro à la droite du reste 15. Puis on divise 450 par 125. Le quotient 1 est écrit au rang des centièmes, et il reste 25 centièmes, que l'on réduit en millièmes en écrivant un zéro à leur droite. Enfin les 250 millièmes sont divisés par 125, et le quotient 2 est écrit au rang des millièmes.

10. Règle. Du raisonnement qui précède résulte la Jègle que voici pour évaluer un quotient en décimales :

On met une virgule à la droite de la partie entière du quotient vt l'on ^vrit un zéro à la droite du reste pour le convertir en diuihnes. ()n obtient ainsi un dividende partiel qui fournit au quotient le chiffre des dixièmes, — A la droite au nouveau reste y s'il y en a^ on écrit encore un zéro pour le convertir en centièmes. Le dividende partiel ainsi obtenu fournit le chiffre des centièmes du quotient, — S'il y a encore m resti\ on écrit à sa droite un zéro pour le convertir en miliièwes et avoir le dividende partiel qui doit fournir au quotient k chiffre des millièmes. — On continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à un reste nul^ ou du moins jusquà ce que le quotient ait le nombre de décimales voulu par la question proposée,

11. Division d*un nombre entier par un nomrre entibi l'LUS GRAND. Si l'on avait "à partager 3 francs entre 8 personnes, il faudrait diviser 3 par 8. L'évaluation d'un quotient en décimales nous permet de faire cette division.

On dit : En 3 combien de fois 8 ? fois. On écrit donc au rang des unités du quotient, et l'on place une virgule après ce 0. Les 3 unités qui restent valent 30 dixièmes, nombre que l'on obtient en écrivant un zéro à la droite du 3. Si 1 on partage 30 dixièmes entre huit personnes, la part de chacune est de 3 que l'on écrit au rang des dixièmes du quotient ; et' il reste 6 dixièmes à partager. Ces 6 dixièmes sont convertis en centièmes au moyen d'un zéro écrit à la droite du 6. Cela fait, on divise 60 par 8. Le quotient 7 centièmes est écrit au rang des centièmes du quotient. Il reste encore 4 centièmes à partager. On les réduit en millièmes en écrivant un zéro à leur droite et Ton divise 40 par 8. Le quotient 5 est écrit au rang des millièmes du quotient. La part de chaque personne est donc les 0,375 d'un franc. Ou plus généralement 0,375 est le quotient de 3 divisé par8. En effet, en multipliant^0,375 par 8, on obtient 3.