Détermination du temps. Quel temps faut-il à 1^600 fr
200 NOUVELLE ARITflHSTIQUE.
powr rapporter 240 francs au 3 0/0 ? Comme on ignore si le temps cherché sera un nombre d'années, ou de mois, ou de jours, il convient de prendre le jour pour unité. On réduira ensuite, s'il y a lieu, le nombre de jours en mois ttL divisant par 30, et le nombre de mois en années en divisant par 12. On écrit donc :
iOO' 3' 360J 15600 240 X
Il tfaut 360 jours (360 au dividende) pour rapporter 3 francs ; pour rapporter 4 franc, il faut 3 fois moins de temps (3 au diviseur) ; et pour rapporter 240 francs au lieu de i franc, il faut 240 fois plus de temps (240 au divi^ dende).
Tel serait le temps nécessaire pour rapporter 240 francs, si le capital était de 100 francs. Si le capital était de i franc seulement, il faudrait 100 fois plus de temps pour rapporter le môme intérêt (iOOau dividende); et si, au lieu d'être de 1 franCj le capital est de 15600 francs, il lui faudra 15600 fois moms de temps pour rapporter l'intérêt proposé (15600 au diviseur).
Le résultat est 184 jours. La division de ce nombre par 30 donne 6 mois et 4 jours.
Si le problème ci-dessus est résolu par la méthode indiquée au paragraphe 5, chap. xxi, on dit, après avoir écrit 360 au dividende : Si l'intérêt augmente, le nombre de jours nécessaire au rapport de cet intérêt augmente aussi. 240 au dividende et 3 au diviseur. Si le capital augmente, le nombre de jours nécessaire pour produire un intérêt diminue. 15600 au diviseur et i 00 au dividende. Le résultat ainsi trouvé est le même que ci-dessus.
5. DÉTERMINATION DU TAUX. Lc taux n'étant que l'intérêt du capital 100 francs, déterminer le taux, c'est tout simplement calculer l'intérêt de 100 francs pendant un an.
i^ A quel taux ont été placés 1260 francs qui en un an ont produit 63 francs ? La partie connue du problème est 1260 francs rapportant 63 francs en un an. La partie de l'inconnue est 100 francs rapportent x francs, x étant le , taux ciercbé. On écrit Aouc:
INTÉRÊT* 20i
iOO X.
En raisonnant absolument comme au paragraphe 2, on trouve :
63Xi00 .
Le taux est donc le 5 0/0.
Dans la Question suivante le temps intervient. 2** A quel taux ont été placés 1420 francs qui en 18 mois ont rapporté 106 francs 50 ?
Le taux étant l'intérêt du capital 100 pour la durée de un an, on écrit 12 mois sous les 18 mois de la partie connue du problème. On raisonne alors comme au paragraphe 2 et Ton troute :
Le taux est donc le 5 0/0.
6. Intérêts composés. L'intérêt est dit simple^ lorsque le capital conserve sa valeur primitive pendant tout le temps cju'il reste placé. Ainsi 1200 francs placés pendant 3 ans à intérêts simples constituent un capital invariable qui rapporte la troisième année précisément ce qu'il a rapporté la seconde, et ce qu'il a rapporté la première. Si le taux est le 5 0/0, ce capital produit 60 francs la première année, 60 francs la seconde et 60 francs la troisième.
Imaginons qu'au bout de la première année, l'intérêt 60 fr. s'adjoigne au capital 1200 fr. et que le tout porte intérêt. Nous aurons ainsi un nouveau capital 1260 fr. qui
iwrtera intérêt pendant la seconde année. Cet intérêt de seconde année adjoint au capital 1260 formera un troisième capital qui portera intérêt pendant la troisième année. On dit alors que l'intérêt est composé. Une somme est donc placée à intérêts composés lorsque, a année en année y le capital s* accroît des intérêts échus de sorte que l'ensemble porte intérêt tannée suivante.
ÎOî NOUVELLE ARITHMÉTIQUE.
di
taire. Nous nous bornerons donc à indiquer par moyen pénible on arrive à la solution de la queslioala plus simple quand on ne peut disposer d'autres méthodes, inoonip;irablement plus rapides.
Que rapportent \ 2000 francs placés à intérêts composés ou 3 pendant X ans ?
Lo capital de la première année est 12000 francs qui. au 5 0, rapportent en un an 6U0 francs.
La seconde année le capital est donc 12600 francs. On calcule rinlérèt de ce capital pour un an au 5 0/0. Le résultat est (J30 francs. Ajoutons ces t>30 francs au capital liiOOOet nous aurons 13230 pour le capital de l'année suivante.
La troisième année le capital est «3230, qui rapportent lUU francs 50 en un an. A la fin de celte troisième année, le capital est donc 13230 augmenté de 661 francs 50 ou bien i:U^)t.5i.>.
La quatrième année, le capital 13891'',50 rapporte 694 francs 575. do sorte qu'à la fin delà quatrième année le capital primitirest devenu l3S91.o0 augmenté de 694 francs 575. cVst-à diro 1458d francs ii7N.
l.cs inlèni'^ts compensés pendant 4 ans constituent la ffîfmuce onXTx* co nombre et le capital primitif 12000,ets*élèvout Ainsi A 25Si> francs 075.
l es intert^ts simples de la même somme s'élèveraient à
On Arrive p!us rapidement au résultat de la manière
l^ns*;uo liV> fr,%nos ni^porient 5 fraDCs d'iotérèl dans un ,^î^. I îVy,!,^ rApp.^riclùUiVîL moins ou fr. 05. Par \SM^M\jucnt îe Os^^v^ul I frAnc «ievitnî en un an, en portant uUtMxM I miv iVS i cî le cipiLal iàXiO francs devient l;NVM t\Nji I :Va«o i^> ^mî Ivieiï
ÏW ;i^)m[>^^)^« wjvv^ïi^vûs jou- A îe capital tel qu'il est
W kwi» ^^^^^ U {Mt>Att^^?y^ «iri<^;\ c'est-i-dire le nombrt
*X Jx^ ï^àt im wù;wci::i^3ïtf^in î^areil an précédent
vmiM» <)U^ <>^ o^^':ul A <âer>(â:u an boni de la se-
INTKHÊT. 2 OS
cande année Ax i,05, ou bien en remplaçant A par sa valeur
Ce capital de la troisième année représentons-le par B. Au bout de la troisième année il est devenu en portant intérêt B X 1,05, ou bien en remplaçant B par sa valeur
Ce nombre est le capital au commencement de la quatrième année. Nous le représentons par G. En portant intérêt, il est devenu au bout de la quatrième année G X i>05, ou en remplaçant G par sa valeur
Le nombre auquel nous sommes maintenant arrivés, représente ce qu'est devenu le capital primitif en portant intérêts composés pendant 4 ans. En généralisant, on déduit de cet exemple la règle suivante :
P&ur trouver ce que déviant un capital à intérêts composés pendant un certain nombre d'années^ à l'unité on q/oute l'in^ tiret de i franc pendant un an ; on multiplie le nombre ainsi ùfftenu autant de fois par lui-même quil y a d'années ; enfin le capital est multiplié par le résultat.
Si nous effectuons le calcul, nous avons pour produit des quatre facteurs égaux, le nombre
dont le produit par 12000 est
résultat conforme au précédent.
RÉSUMÉ
1 . Vintérét est la rétribation à laquelle le prêteur a droit en sus du rembourseoK'ni de la somme prêtée. La somme portant intérêt est le capital; Tintérêt de lOO francs pour un an est le taux,
^ 3. Dans une règ'e d'intérêt, on peut avoir à déterminer: 1* Tintérôt»
l* le capital; S* le tempat A^ le taux.
SOff NOUVELLE ARlTfilftTiQUE.
déduction est estimée à tant poar 100 francs d'achat. En voici un exemple.
On achète pour 246 francs^ mais le vendeur fait une remife de 4 0/0. Que doit-on payer?
iW 4'
Si pour 100 francs la remise est de 4 fr., pour un i franc elle sera 400 fois moindre, et pour 246 francs elle sera 246 fois plus forte. La remise est ainsi de 9 francs 94. L'acheteur doit donc payer 246 francs moins 9 fr. 84 on bien 236 francs 16.
4. Courtage. Commission. C'est ce ^ue reçoit, pour prix de ses services, la personne qui sert d^ intermédiaire entré le vendeur et l'acheteur. Le droit de courtage est calculé à tant pour 100 francs du prix de la marchandise. Exemple :
Un courtier reçoit 0,25 0/0 du prix de la vente. Que lui revient4lpour une vente dont la valeur est de 4650 /r. ?
0,2.HX 4650 ^•^ 100 ,
Le courtier reçoit franc 25 pour 100 francs de vente. Pour un franc, il recevra 100. fois moins ; et pour 4650 fr.» il recevra 4650 fois plus. Réponse : 11 francs 62.
5. Prime d'assurance. C'est ce que Von paye annuellement à une compagnie d'assurances qui s'engage à vous indemniser de la perte amenée par un sinistre.
Une maison de la valeur de 1 2600 francs est assurée cmUre l'incendie à raison de 0,45 par 1000 francs. Quelle est la prime d'assurance ?
La prime est de 5',67.
