Enfin, on abrège encore l'opération
«ti disant : le tixilmt d^ 8 est 1 pour 6, et il festô â. Péiôfb 1 âu-dessôus de 8 et Je convertis les 2 unités de reste ëîi îfr unités de Tôrdré suivant, 20 et 9 que le ditideûde eu contient font 24. Continuant la division, je dis de même : le sixième de 29 e$t 4 pour 24 et il reste 6 ; j*écris 4 à k dj'oîte de 1, et convertissant de même les 5 unités de reste eu unités de Pordre suivant, le sixième de 54 est 9 exae*teinent.
De cette manière le dividende et lé divigetit* sont dis* posés selon la règle ; mais le quotient se trouté écrit auàeSsoiis du dividende.
i06. 0uand le diviseur çst 2, 3, 4, on dît qu'on prend la moitié, lé tiers, le quart. Quand le diviseur est un autre chiffre, 5, 7, 8, 9^ on dit quotii prend le cinquième, le septième, le nuftième, le neuvième.
2, Division dans laquelle le diviseur a plus d^uil i^îSf^.
iOT. Règle générale . — Pdtir divùtr deuss nombres entiers quelconques Pun par Vautre, on écrit le diviseur à îa di^oile du dividende dont on lé sépare pur un trûit vertical^ et Von souligne U divisent par un trait horizontal, pour k séparer du quotient qu'an écrit au-dessous.
Cela fiiitj on sépare par un point, sur lu gauche du dicidendCy autant de chiffres qu'il y en a dans le dwiséur, ou un de plus, si le nombre résultant est plus petit que h diviseur; ce qui donne le premier dividende partiel.
On divise ce premier dividende partiel par h dh}iseuA^i (Le quotient s'obtient eu: divisant le pi?emîôr ôu les deiî* premiers chifiTpes dn dividendo partiel par le premier chiffre du diviseur. On n^ pfettd que le premier e^fite , lorsque le dividende partiel a la même non^t^rie de chiffres que le diviseur, les deux preiniers s'il y a un chiffre de plus.)
On écrit le chiffre oitenu à la place indiqu40 pour le quotient; on multiplie le diviseur par ce chiffre^nVon soustrait le produit da dividende partiel.
A la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende^ ce qui donne un second dividende partiel sur lequel un opère comme sur U ptemiéf*.
On continue ainsi Vopérat/kihjusqiif'à ce qu^on ait abaîsèé sfuçcessivement tous les chiffres éu^iiende, en ùya/i\t Soin^ à chaque division pairtielk, d'écrire le qu&tient è la di'&éHt eu demiet chiffre obtenu.
La suite de tous ces chiffres est précisément le quotieftt cherché.
108. lie chiffre écrit au quotient est trop fort, sî le îf)tôduît du diviseur par ce chiffre est plus grand que le dividende partiel sttr lequel ou opète. DaflS 6e cas, on ïe diminuera d'une unité jusqu'à ce que la soustraction puisse se faire.
lA tiiifi» du quotiORt esttK^ £Éiblfi, 9i>la feato (k lA a^ufitvi«liaA
est j^^ gran^ gu» le ^vi&çuç ou égal au diviseur.
"Le cliinre du quotient ne devrait jamais être trop Mbîe, si Ton opérait ainsi qu'il est indiqué précédemment. Cependant la crainte
d'écrire un chiffre trop fort au quotient fait écrire quelquefois un chiffre trop faible.
109. S'il arrive qu'après avoir abaissé Je chiffre suivant du dividende à la droite du reste, on obtienne un dividende partiel moindre que le diviseur, on écrit au quotient, on abaisse le chiffre suivant du dividende, et Ton continue la division avec ce nouveau dividende partiel.
iiO. Exemple et démonstration. — Soit à diviser 33856 par 64.
. J'écris le dividende 33856, et à sa droite sur la même ligne le diviseur 64 ; je les sépare par un trait vertical et je tire une ligne horizontale au-dessous du diviseur pour le séparer du quotient que j'écrirai au-dessous.
AY6C simplificatioa.
D s'agit de trouver un nonabre qui., multiplié par le diviseur 64, reproduise le dividende 33856. Le dividende est donc formé de 64 nombres égaux au quotient, et par conséquent ce quotient est la 64*" partie du dividende. La question revient donc à partager 33856 en 64 parties égales.
Or, le dividende ne contient ni assez de dizaines de mille, ni n^ême assez de mille pour que je puisse les partager en 64 parties égales. Mais je pourrais partager 338 centaines en 64 parties égales ; car cela revient à partager également 338 objets entre 64 personnes. Afin de faire ce partage, j'observe que pour que chaque personne reçût un seul objet, il suffirait de 64 objets à partager; pour que chacune en reçût 2, 3..., il faudrait qu'il y jen eût 2 fois, 3 fois..*
autant.
Je trouverai donc par des essais successifs comtîen chaque personne pourra recevoir d'objets, en multipliant 64 par 1, 2, 3, etc., jusqu'à ce que je trouve un produit tout au plus égal à 338. Or, j'abrégerai ce tâtonnement en cherchant quel est le nombre qui, multipliant le premier chiffre, 6, à gauche du diviseur, donne pour produit le nombre 33, c'est-à-dire en divisant les deux premiers chiffres, 33, du dividende partiel par le premier chiffre du diviseur. Je dirai donc : le 6« de 33 est 5 ; j'écris 5 au quotient; puis, multipliant tout le diviseur 64 par ce chiffre, j'obtiens pour produit 320, que je porte sous le dividende partiel 338, et je fais la soustraction, qui donne 18 pour reste.
Cette manière de parler est plus abrégée et surtout plus conforme à la définition adoptée ci-dessus que la manière suivante^ consacrée par Tusftge : En 33 combien de fois 6?
Je conclus de là que chaque personne aura reçu 5 objets et que j'aurai distribué en tout 320 objets, dont il restera encore 18.
En revenant à la véritable question, je puis affirmer que le quotient cherché contiendra 5 centaines.
Les 18 centaines qui restent valent 180 dizaines, et 5 que le dividende en contient font J 85 dizaines, qu'il s'agit pareillement de partager en 64 parties égales.
On voit que cela revient à abaisser à droite du reste 18 le chiffre suivaiit, 5, du dividende total.
Opérant sur ce second dividende partiel comme sur le premier, je dis : lé 6* de 18 est 3; mais avant d'écrire ce chiffre au quotieût, j'observe qu'en multipliant 4 par 3 j'aurais 1 de retenue, et ensuite 3 fois 6 feraient 18, et 1 de retenue 19. Le chiffre 3 est donc trop fort, je le diminue d'uûe unité et je n'écris que 2 an quotient, à la droite du chiftre déjà obtenu.
Je multiplie le diviseur par 2, ce qui donne 128, et je le soustrais du dividende partiel , ce^ qui donne 57 pour reste.
Le quotient contiendra donc 2 dizaines. Or, les 5t di-
Btent à U tàgli «pâéetb, :tt j*àKiens f§ut qwUint }â» ^r j'éprif au^â^swiis dtt pvàAédÏNll) ,t|. p^t^r reite 02^^ ^ ^ çapeh^ j'ab»iss9 encQrf l» çbiffcp syiyaat ^, pe ifjuj donne 30^4 (jue je divise par 64, ce qui donne pour quotient 47, que j'écris âu-dêssous du précédent, et pour reste tlôl6; â là gauche de ce resté j'abaisse infift la dernier chiflVd du dividende^ et divisant S0ût6 pav 64, j'olXi^ii^ ppuz quotUn^ 469 et peur rtste 0.
||funt0f)fnt ï\ n'y ^ g lu? qu'^ additionner tous ces quotients partiels poï^r o})tenir le (quotient véritable 5!J9.
On pourra eoniparei* cette opération avec l'opération prescrite par la riglé générale.
Au flurplui, «i rea atiil à divi^Ar S4Q66 p4r 2, 60^6 p«^r 3» ^t dao^ 4'lijftr|s ^x^mi^lf^ que }'o^ ppurr^it a^sf me|:^t trouver, ij §§ra}t indiffer|ni ^e çoi^m^ncgr l'opération par où l'on voudrait. »
2' Usagp de la division.
|IC. ta division s'emploie dans un très-gfând nom* bre de questions, parmi lesquelles on doit ï*emarqudr les suivai^tes :
t*» Partager un nombre entier en un nombre dofini dd parties égales ;
â^ Chercher eoinbien de fois un nombre entier oontient un autre nombre entier plus! petit ;
d"" Hendre un nombre donné antant de foia pl^s petit qu'il est indiqué par un nombre entier J
l^"" Connaissant le prix de plusieurs objets, calculer le prix d*un seul ;
5' Connaissant le prix de plusieurs objets et le prix d'un seul, déterminer le nombre d'ot^'ets.
Dans toutes ces questions, en eiTet, le raisonnement ramène à la défîniliou générale et fait connaître quel est le nombre qui doit être pris pour dividende.
Pour la deuxième question, par exemple, on raisonnera ainsi : Si je connaissais combien de fois le plus petit nombre est contenu dans le plus grand, en multipliant le plus petit pombre par le nombre de fois trouvé, je devrais reproduire le plus grand nombre,
Pour la quatrième : Si je connaissais le pri^i d'tm seul objet, en le multipliant par U nombre d*ebjels, je devrai* retrouver le prix tot^.
MGÈÊBsm vsmwm. t\
Pair o^tis^neat, c'dst toujours chfcchflr un nombre qui, multiplié par un (it^ cUux xtombrea dânftési ir«prodiÂs^ TautTe.
1 iT. RBWÀRQtrK. ««Dûiu toute di^i^ion li Von ftugwentQ le dividende saûfi taaohecau diviseur, le (}u^UeiH 4e la 910% velle dlirision devicpit plus grand.
Xn effet^ le nombrcià parlager étant pli^ graadi cha<2\me déS paHies e^priai4efi pa? le quotient iQca pims graade..
Si, an contraire, on augmente le divieenr sans toueber ati dividende, le qUotiest devient pins petit*
En effet, le nombire des parties que 1 on doit £ftire dever nant plus grand, chacune des parties deviendra plue petite.
ii8. Si done on rend le dividende i hin^ 3 fois« qtc, plus grand sans toucher au diviseur, le quotient devi^94r^
2 fois, 3 fois, etc., plus grand.
Si on rend le diviseur â fois, 3 fois pli^a grand east^ touelier au divid^de, le quotient devien^a d foi^i i ioi^ plus petit.
119. Le contmre aura lieu si l'on ^iinii^ueiti le dividende sans toucher au diviseur, ou le diviseur s^ns touch«ar au divid8n4p; d^u9 le prei^iier cas le qiiotiejnt devient plus petit, et dans le seqond il augmente,
