Il suit de là que si le dividende devient 2 fois
3 fois^ etc., plus petit, sans que le diviseur soit changé, le quotient deviendra 2 fois, 3 fcis, etc., plus petit.
Si, au contraire^ le diviseur devient 2 ibis, 3 fois, etc.,
S lus petit, Sans que le dividende soit changé, le quotient e viendra 2 fois, 3 fois, etc., plus grand,
121. Théorème. — • Le quotieni de deux nomir$a ne change pas, si l'on multiplie ou si Von divise à ki fois le dividende et le diviseur par le même mmbre*
DÉM0N5TRATI0N. —Solt à diviser, par eiemple, 182 par 26.
Quel que soit 1q quotient de ces deux nombres, H Je multiplie le dividende 182 par i|n nombre quelconque, 9 par exemple, sans toucher au diviseur, It nouveau dividende 1638 étant 9 fois plus grand, le quotient de ^ette se^ éomde division $era 9 fois dIus £frand.
5à NOMBRES ENTIERS;
Maintenant si, au lieu de diviger tô38 par 26, je prends pour diviseur un nombre 9 fois plus grand que 26, c'està-dire si je le multiplie par 9 sans toucher au dividende, ce qui donne 234, le quotient de cette troisième division sera 9 fois plus petit que celui de la seconde.
Par conséquent, le quotient de 1638 par 234 devant être 9 fois plus petit qu'un nombre 9 fois plus grand que le quotient d« 182 par 26, sera précisém^t^gal à ce dernier quotient ; ce qu'il fallait démontrer.
On raisonnerait d'une manière analogue, dans le cas où l'on diviserait le dividende et le diviseur par un môme nombre.
122. Ge principe fournit le moyen de simplifier. la division dans le cas où le dividende et le diviseur sont tous les deux terminés par des zéros.
RÈOLS. — Lorsque le dividende et le diviseur smt terminés par des zéros y on supprime sur la droite de ehcucun d'eux le même nombre de zéros, autant que dans celui qui en a le moinsy et Von procède à V opération sur les dewc nombres résulta/rUs.
Exemple et démonstration. — Soit à diviser
par 1600^
Je supprime deux zéros dans les deux nombres et je divise 480 par 16, ce gui donne 30 pour quotient.
En effet, en supprimant dans le dividende et le diviseur deux zéros, je divise à la fois les deux nombres par 100; par conséquent, d'après le principe précédent, le quotient ne sera pas cbangé.
123. Lorsque la division donne un reste, ce reste indique qu il n'est pas possible de partager exactement le dividende en arxtant de parties égales qu'il y a d unités dans, le diviseur. On dit alors que le diviseur ne divise pas exactement le dividende, ou que le diviseur n'est pas un diviseur exact du dividende.
Il n'y a donc pas, dans ce cas, de nombt'e. entier qui,
multiplié par le dÎTisaur, reproduise le dividende. Le quotient obtenu diffère du véritable quotient cherché de moins d'une unité. On dit qu'il est exact à moins d'une unité près.
Soit, par exemple, 348 à diviser par 7.
L'opération donne au quotient 49 et pour reste 5. La division ne se fait pas exactement. Le qûolient véritable, c'est-à-dire le nombre qui, multiplié par 7, donne pour produit 348, est compris entre 49 et 50, et par conséquent 49 est le quotient, à moins d'une unité près.
Si l'on retranchait 5 de 348, on obtiendrait 343 qui serait divisible exactement par 7, et le quotient exact serait 49.
De même en divisant 39419 par 579, on obtient pour quotient , à moins d'une unité près , 68 , et pour reste 47.
Le quotient 68 n'est donc pas non plus complet ; on verra bientôt comment on doit compléter le quotient.
3° Preuve de la division.
124. Règle. — lit preuve de la division se fait en multipliant le diviseur par le quotient ou réciproquement le quo^ tient par le diviseur.
Si la division n'a point donné de reste, le produit doit être égal au dividende.
S'il y a un reste, il faut qu'en ajoutant le reste au produit du quotient et du diviseur, la somme soit égale au dividende.
128. Autre règle. — Onpeut faire Qussi lapreuvepar une nouvelle division dans laquelle on prendra pour diviseur le quotient. Le nouveau quotient doit être précisément l'ancien diviseur, et le reste sera le même, si la première division en a donné un .plus petit que le quotient.
Problèmes de récapitulation sur les ({uatre ôpétations
des nombres entiers (V).
1). Une école était divisée en trois classes contenant : la petite, 69 élèves ; la moyenne, 48; la grande, 53 ; il en est sorti 12 de la petite, 8 de la moyenne, et il en est rentré 7 dans la grande. Combien y i-t-il d'élèves dans l'école et dans chaque classe?
2). On a partagé 360 fr. entre trois personnes, de manière que la première a eu I30fr.; h deuidême, 20 fr. de moins que la première. Quelle a été la part de la troisième ?
3). Un élève chargé de faire une addition a trouvé pour la' somme 34597. Le maître, après avoir examiné l'opération, lui dit : Vous vous êtes trompé : à la première colonne à droite, vous avez compté 1 de trop ; à la deuxième colonne , vous avez oublié de porter '2 de retenue; à la troisième, vous avez compté 2 de moins et à la quatrième vous avez compté 3 de plus qu'il ne fallait. Quel devait ' être le résultat et quelle est la différence entre le résultat trouvé par l'élève fit le résultat véritable ?
, 4). J'ai payé sur un billet de 1000 fr. une note de tailleur de 348 fr., une note de bottier de 75 fr., et j'ai payé pour mon loyer 375 fr. Combien reste-t-il de ce billet?
S). Une famille dépense annuellement 1548 fr. pour nourriture, 526 fr. pour habillement, 740 fr. pour logement, 325 fr. pour menues dépenses. Combien dépense-t-elle en tout?
6) . Une marchandise a coûté 2528 fr. Combien faut-il la revendre pour y gagner 350 fr. en donnant 50 fr. de commission ? '
7). Clovis, qui fut le fondateur de la monarchie française, monta sur le trône en 481, à l'âge de IS ans, et mourut en 511 : 1" à quel âge est-il mort? 2* quelle est la date de la naissance de Clovis? 3" combien d'années, en 1845, s'étaient- elles écoulées depuis son avènement au trône?
8) . Un entrepreneur a présenté son mémoire montant à 48536 fr., ■ sur lequel on a fait une réduction de 3748 fr. Combien a-t-il reçu?
9). Un banquier doit recevoir 13930 fr. en trois payements, dont le premier est de 5700 fr. et le deuxième de 4320. Quel sera le troisième ?
10). Un régiment se compose de quatre bataillons dont un de dépôt; le premier bataillon compte 728 hommes, le deuxième 712, le troisième 697, et le bataillon de dépôt 345. Combien d'hommes ce régiment a-t-il ?
11) Une route est plantée, des deux côtés, d'arbres placés à la distance de 10 pas. Combien y a-t-il d'arbres sur une longueur de 720 pas?
12). Un banquier a reçu dans le premier trimestre, 15936 fr.; dans le deuxième, 31940; dans le troisième, 27674; dans le quatrième,
DE RÉGAPITUIATION. 57
43769 ; il a déboursé dans toute l'aimée 96843 fr. Combien lui restet-il s'il avait en caisse 24375 fr.?
13). On a multiplié entre eux deux nombres entiers, dont le multiplicande était 63, et on a trouvé pour produit 3339 ; mais on a pris un h pour un 3 au chiffre des unités du multiplicateur. Quel doit être le produit véritable?
14) . Une voiture-omnibus de 16 places fait 14 voyages par jour. Combien transporte-t-elle de voyageurs, dans ime année commune de 365 jours, en supposant qu'elle soit toujours au complet ?
iS). Une succession a été ainsi partagée: Un premier héritier a reçu 14000 fr.; un second, 8(0 fr. de moins; un troisième 500 fr. de moins que le deuxième ; de plus, 3600 fr. ont été légués aux hôpi- ^ taux et 1200 fr. distribués aux pauvres. Quel est le montant de la succession ?
16). Un marchand a reçu 14 douzaines d^oranges dans deux caisses dont l'une contient 24 oranges de plus que l'autre. Combien y a-t-il d*oranges dans chaque caisse ?
17). Anciennement un vaisseau de premier rang était armé de 110 canons; un vaisseau de deuxième rang, de 84; une frégate, de 50. Quel était le nombre total de canons d'une escadre composée de 3 vaisseaux du premier rang, de 8 du deuxième, et de 6 frégates?
18). Un marchand de comestibles a vendu 5 douzaines de perdrix à 2 fr. la pièce et 3 douzaines de faisans; la vente des faisans a dépassé de 60 fr. celle des perdrix. A quel prix a-t-il vendu chaque faisan?
19). Uéquipage d'un vaisseau de premier rang était de 970 hommes; celui d'un vaisseau de deuxième rang, de 890 hommes; celui d'une frégate , de 450 hommes. Quelle était en hommes la force d'une escadre composée de 2 vaisseaux du premier rang, de 5 vaisseaux du deuxième et de 4 frégates?
20). J'ai acheté une maison 53490 fr. ; j'y ai fait pour 14768 fr. de réparations, et je voudrais la revendre en gagnant 6000 fr. A quel prix dois-je la revendre ?
SI). Un père laisse en mourant 36500 fr. à partager entre ses trois enfants; le premier a eu pour sa part 12450 fr. ; le deuxième, 350 fr. de moins que le premier. Combien le troisième a-t-il eu pour sa paît?
22). Deux négociants ont fait une société et ont mis en commun une somme de 25400 fr. ; le premier a mis à lui seul 18730 U-i Combien de plus que le second ?
23). Un marchand de vin fait un échange avec im autre d'une pidce de vin de Bordeaux qui coûte 1 35 fr. contre une pièce de vin de Bourgogne, et il reçoit 75 fr. de retour. Quel est le prix de la pièce de Bourgogne?
24). Un négociant a. acheté 348 balles de ceton d'une première espèce et 165 d'une seooorjieî il en a vendu 147 de la première.. Com-
58 î^ldËti&MËl
biè en #-t4l its6^ de là lèfioftiM) «Il iL9 ibi r«èto plt» en ttut qiit
309 pièces?
25). Trois personnes s* «ont paHajé tin héi'ltagft! là pl-émière à eu le double de là deuxl&toe, là dèutl^e lé triple de U trôlsièrtd qui a eu î50 fr. Quel est le montant de l'héritage?
26). Avec 540 fr. de plus que ce tjue j'ai, je pourrais payer lÔDO fr. que j'ai bnipruntés, ' et il mé resterait encore Û fr. Coiilbierl al-jef
27).' Si j'avais le double de ce que j'ai et 38 fbahcs de pUis, je pourrais acheter un meuble dont on mé detnatide 456 fr. Combien ai-je?
28). Combien f à-t-il dé plumet en tout dans ^8 paquet» dont 28 de 25 plumes chacun, et les autres, de 30 plumes?
29). Deux troupes de 43 et de 57 ouvriers ont travaillé à un ouvrage: les premiers pendant 15 jours, les seconds pendant 18 jours. Combien de journées d ouvriers f
30). Un marchand de vin a acheté 36 pièces de bordeaux k 125 fr. la pjtèçe et 48 de mâcoa' à ^ fr. Combien paycra-t-il en tout?
91)« Un négociant a reçu 4^ barriques de suif qu'il a payéoi 26854 fr, j en les revendant àveQ }xn bénéfice de 2315 fr.^ combien a-t-il gagné sur chaque barrique et à qiiel prix l'a-t-il revendue?
32). Un entrepreneur a payé 1581 fr. à deux troupes d'ovivriers pour 573 jours de travail, dont 138 à raison de 2 fr. pour la première troupe. Quel est le prix de la journée de chaque ouvrier de la deuxième troupe ?
33). Une pièce de bordeaux dé 300 bouteilles a coûté 900 fr; une autre de maçon vieux de 280 bouteilles a coûté 560 fr. Èombien la bouteille de bordeaux coÛte-t-elle de plus que celle de mâcon?
34). On a payé 1188 fr. à trois ouvriers qui ont travaillé, le pre- . mler 153 jôUrS, là deuxième 14S et le troisième Ô5. Quel ekï le prix de là jburnée de chaque ouvrier ?
35). Un vitrier a reçu 1968 fr. pour le prix des carreaux dé 123 croisées dont Chacune a 8 carreaux, Quel est îe prix de chaque carreau ?
86) . Un marchand a acheté 29 sacs de café au prix de 35 tr. le saC pour 15, et 36 fr. pour les autres. Combien doit-il payer en
tom?
W). Là ville de Rome, en 1843, comptait 2598 anâ d'eli^tenôe. Quelle est la date de sa fondation ?
88). Deux marchands font un échange, le premier d6nne 40 bouteilles de vin à 3 fr» là bouteille, et le éecond 12 bôutelUeâ de M* queur avec 60 (t. de retour* A quel prix revient là bouteille de liqueur ?
88). En 1843, il est n4 à Paris 80616 enfants; et il cet aiért 2796X periennes. Quel est l'excès des nàissàucee sur les décos Y
40) . On a payé 540 fr. une pièce de vin de 280 bouteilles. Combien gagnera-t-on à vendre le vin en détail au prix de 3 fr. la bouteille, si l'achat du verre a coûté 3l fr.f ç
41). Un volume in-8'" a 480 pages; combien aurait-il de feuilles s'il était imprimé en in-12, le nombre de lignes par page et de lettres par ligne restant le mê&e ? ■ ^ '
42). Une personne qui a un revenu de 3285 fr. veut mettre de côté % fr. par jour. Combien peut-elle dépenser par jour, l'année étant comptée de 365 jours ?
48). Un marchand ^ acheté IÇ pièo« 4'etw*d«-vie à 108 fr. , U fn vend 12 4 Î06 fr. A quel prix doil-il revendre lès 6 autres pour ûe pas perdre?
44j. Un négociant a payi \%\% \i. pcrut Tachât de 20 balles de coton à trois prix différents, savoir: 4 balles à 65 fr., 7 balles à 68. A combien revient chacune dea autres?
45.) Deux personnes ont à elles deux 30 fr.; si la première avait 3 fr, de plus, et U seconde 1 fr. de moins, elles auraient la même somme. Combien chacune a-t-elle ?
16). Un instituteur reçoit ^tO fr. ^ii mole de la rétribution de séi 135 élèves, dont 50 de la petite classe payant 3 fr. et 45 de lamôytûSrtl payant 4 fr. Cota bien paye chaque élève de la grande clatse?
47). On a employé des brocheurs et. des brocheuses pour brocher 540 exemplaires ; les hommes ont broché deux fois plus que leà femmes. Cotibiièn les uns et le^ âutleà ont-lis broché d'exemplaires?
48). Un bottlei* a vendu pour \VA flr. t^ paires de bettes, ém\ t\ à 16 fr. la piire. Quel est le ^riz db chMcm» é^% autreit
49). Un chapelier achète en fabrique 36 cbapeaux qu'il revend 576 fr. en gagnant 4 fr. sur chaque chapeau. Combien les a-t-il payés la pièce ?
50). Un épicier a payé 392 fr. pour 8 barriques de suif; 41 lèS a MVei»lu(is avtdc un bé&éAOe de 56 fr. A qU«i prii t-441 revendu QbtqiM Jmrriquo ?
