I. NUMÉRATION 1. NOTIONS PRÉLIMINAIRES
128. On entend par fraction ordinaire une ou plusieurs parties de l'unité partagée en un nombre quelconque de parties égales.
Si Ton suppose, par exemple, qu'un objet ayant été partagé en 8 parties égales, on ait à considérer, soit une seule, soit plusieurs de ces parties réunies, 5 par exemple, on aura 5 huitièmes de l'objet dont il s'agit.
Il est évident que puisqu'il faudrait prendre les 8 huitièmes pour recomposer l'objet entier, les 5 huitièmes ne sont qu'ime portiony ou autrement dit qu'une fraction de l'objet.
129. On représente une fraction ordinaire à Vaide de deux nombres j écrits l'un sous Vautre et séparés par un trait horizontal.
On écrit au-dessous le nombre qui indique en combien de- parties égales l'unité a été partagée ; et au-dessus, celui qui exprime le nombre de ces parties égales que l'on considère réunies.
Le nombre inférieur s'appelle dénominateur(c[ai nomme), parce qu'il donne son nom à chacune des parties égales de l'unité ; et le nombre supérieur s'appelle nww^raieur (compteur)^ parce qu'il exprime le nombre de ces parties réunies.
Le numérateur et le dénominateur se nomment Ias deu^ termes de la fraction.
FRACTIONS, ei
Les fraGtions ordinaires a^appellent aussi fractions à deux termes.
Dans l'exemple précédent^ on écrira donc : f , qui eslj comme on voit, plus simple que 5 huitièmes. De même, si Ton voulait exprimer qu'on a partagé l'unité en 1 5 parties égales, et que l'on considère 7 der ces parties réunies, on écrirait 1^, expression plus sijoaple que 7 quinzièmes.
La véritable unité dans ces nombres est {, ^ de l'unité principale qup l'on considère.
iSO. On énonce une fraction ordinaire en én<mçan( Sabord UnumiraUur et ensuUe le dénominatmr au(fuel on ajoute la terminaison ième.
Ainsi I s'énonce huit neuvièmes^
i^ seize vi^igt- septièmes^
fH trois cent quarante-sept cinq-
cent'Soixante-neuvièmes.
U n'y a d'exception à la dernière partie de cette règle que pour les dénominateurs 2, 3, 4, qui s'énoncent demi, tiers, quart.
iSi. Quand il s'agit d'écrire une fraction énoncée, on suit le même ordre : on écrit d'abord le numérateur et au-dessous le dénominateur.
132, Il suit de la nature même d^ fractions qi:^ :
Le deux fractions qui ont le même dénominatmr^ la plus grande est celle qui a leplus grand numérateur.^
En effet, la fraction §, par exemple, est plus grande que |, de même que & est plus grand que 3.
133* De deux fractions qui ont le mime numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénommateur. ^ En effet, ^, par exemple, est plus grand que | ; car if de runité est plus grand que ^ de la même unité : ^ exprime donc une portion de l'unité plus grande que celle qui est exprimée par f .
134. La division conduit naturellement aux fractions ordinaires, et réciproquement les fraisons servent k eomr pléter le quotient, quand la division donne un r^to*
et Fniicmc^fSé
Bteii» ^ Umquêia ^t^^on donnû un tm^ m ^-
pîète le quotient en écrivant à sa droite une frçM^i^ âf^i*'
dénominateur* ..
PÉWfjNSTftATiQJS^ ïîn fff^tf 8û^t ^ divine;' â7 par $,
oii, âtrtrement dit, à partages 89 ea 8 partieè égales*
Le quotiefit, à moins d'une tmité ppè«, éit 4, el il rettt encore 5 à partager en 8 partie» égate».
Je suppose pour fixer Iqs idées, çju'il s'agisse de partager 5 pooimés entre 8 enfants. Une manièfç gimplé de fairç (?Q part^g^. seyait de partager chaque pomnde en 8 partie^ égales, §t d'ei^ donner nne partie à chaque enfant. Pour chaque pomme ainsi partagée, chaque enfant recevra d^o 1 huitième de pcmime, et puisqu'il yt^b popames, obaque enfant reôeyr^i qq tout 6 huitiàfilfs ie pQpua^ qu'on écrit §-«
Ce vaisonneme&t prouve ea lâërna \mp Q8tt le. huitième de 5 utittëB est la même chose que le^ | d^^e MiUe Unit4
Le quotient complet sera doao i À';f.
Les quottests complets daoâ: ba deux «zemples du a"" iM seront dono : 4d -^ ^^ ^^ ^-
i5tt. On peut indiquir ladivmçn d^ dçti^ novk^^f en lu écrivant sous Içi fçnm d'une frocHon ordimm, 4ofU le dividende eât le pumir^têut^ el k 4iy^imir le ^^nominatèur.
Ainsi, la division de a48 par hl pfi^t s'indiquer p«r ^ ; an effet, (Jivisfr £48 par 57, e'çst pftPtftgfP pW W ^7 parues égaler ; autrement dit, g'«4 tîj^^tç^i^ 1|l 57^ partie <& 848 ; or, d'après le raiçpBQement préçéd§p,t) ]^ iv p?irtie de 348 unités, c'est la même chose que le| ^ 4e l'unité.
iZQ. Toute ezpvessiûH fraatiûQuaire dfM^s.UqiieUe le fittairateuT est plus petit que le 4épo4ÛA&t9uri ^§( plu^ petite cp&e ruaiti «t ea JUûmme ït%tài^ Jt^WH^t^i 4i(f«
wBkuwmê» n
Kl. Totiia cxpveasiqn fraGti«uwm da«i ItqnfiUi U numérateur est égal au dëntminate^r, eat ig^U i lunité.
t9&. Toute expression fFac|iQiiQ4irQ i%i\n If^qml^fk l^ numérateur est p}us graïui que le déupinio^tçur, e^t plus grande ({ue Vnniti et se nomioe nombre /ro^ltonno^f- Ondit alors qu'elle contient des miùrs^ e'est^l^ire 4es uni^^ nilés entières.
159. RÈGLE. -*t. Pour exfrûire to $nti§r$ $^Hn}if 4^ns un nombre fractionnaire^ en dipi^ 1$ numèra\îv^ for k tténominaUur.
En effet, la fraction ^ exprime que Ton a partagé l'unité en 4 parties e'gaI^s, et queron prend 36 d« ee$^pariiel|..On a donc évidemment pins que Tunité et autant d'unités qu^ ^ est contenu de fois dans 36. Il faut donc diviser 36 par 4.
Même raispnneme^t pour l^e deu?^ autres nombres fractionnaires; eomme la division a àcmni un r^^te, j'a^.4û Compléter le quotient.
140. RÈGLE. — Réciproquement, pour réduire 4e$ ên^ tiers accompagnés d'um fraction^ le tout en fraction, on multiplie le dénominc^teur par l'entier j à ce produU on ajouie le numérateur^ et l'on donne pour dénominateur à te résultat lé dénominateur de la frçioiion»
En effçt, soit 5 ^ à réduire en fraction. Puisque Tuniti %^^. supposée partagée on 7 parties égales, qu'elle vatit 7 eeptièmes, les 5 unités yaudroQt 5 fois 7 septièmes ou 35 septièmes et % eeptièmee- feront en tout 97 septièmes, qu'on écrit ^^,
141. Théorème. — Une fraùtiôn ne change pas de va*leur quand on multiplie ou qu'on divise à la fois ses deux termes par un même nombre*
DÉMONSTEATION. -- Soit la fraotipn |. Si je multiplie ses deux terméâ pàf £, j'obtiens |. Je dis que f a précisé^ ment, sous une autre ferme, la même vaîeuit qUe |. Sn effet, f exprime que Pon prend 3 parties de l'unité i^r- Ugée 0|t 4 jpartiee égales* Mais si l'en ptvtage.de nenveau
64 E^UOnONB.
obacime de ces 3 partirai en 2 parties égiles, on aura 6 Doùvelles parties de Tuoité qtri sera elle-même partagée en 8 parties égales; Donc f représente exactement lamème portion de Tunité, la même fraiation que f.
De même la fraction f^ après qu'on a divisé à h fois ses deux termes par 3, devient § qui représente la même portion de l'unité. En effet, je peux concevmr que les 9 parties dont se compose Funité aient été réunies 3 à 3, et alors 6 de ces anciennes parties n'en formeront plus que 2 nouvelles, dont il ne faudra plus que 3 pour reeon-^ stituer Tunité ; donc § = f •
142. Deux fractions qui ont la même valeur, sous une forme différente, so^t dites (quivakntes.
140. Une fraction proprement dite devient pha grande ou plus petite quand on augmente ou qu'on diminue les deux termes d'un même nombre.
En effet, soit la fraction f. Si j'ajoute 4 au numérateur et au dénominateur, j'aurai la fraction •^. Or, il manquait à |, pour recomposer Punité, î, tandis qu'il ne m?inque à ^ que -^, et comme «îV est plus petit que j, /, est plus petit que |; donc -^ est une portion de l'miité plus ^ande que jw
Pareillement, si je retranche 3 au numérateur et au dénominateur de la fraction f , j'aurai |, à qui il manque | pour recomposer l'unité, tandis qu'à | il ne manquait que f ; donc { est plus pe^t que}.
144. Ceci n'est vrai que pour les fractions proprement dites, car on nombre fractionnaire dliminue ou augmente selon que l'on augmente ou diminue les deux tenues d'un même nombre. En effet, |, dont on augmente les deux termes de 3, devient -^ qui surpasse l'unité de |, tandis que J la surpasse de |, et si Vod. diminue les deux termes de 3, on a ^ = 2, qui surpasse l'unité de 1.
145. Quant aux fractions dont les deux termes sont le même nombre, elles ne changent que de valeur et représentent toujours l'unité t=î=î, etc.
146. Théorème. — On rend une fraction quelconque un certain nombre de fois plus grande, quand on muUvplie son numérateur par ce nombre sans toucher au dènomina" tey,r ou bien quand on divise son dénominateur par ce mime nombre scms toucher au nuKUrateur.
aatfMONsnuTKMi. ~Soit la fraction ^.&i je multiplie son
numérateur par un nombre entier queloonque, 4 par exemple, j'obtiendrai ^, qui est évidemment 4 fois plus grand que ^ ; de mèma que 12 est 4 fois plus grand que 3.
Si je divise au contraire son dénominateur par 4, j'aurai f ; mais je peux mettre la fraction f sous la forme ^^ en multipliant ses deux termes par 4^ et |} est évidemment 4 fois plus grand que ^ ; donc |, qui est équivalent à ^, sera aussi 4 fois plus grand que ^.
147. Théorème. — On rend une fraction un certain nombre de fois plus petite^ quand on divise son numérateur par ce nombre sans toucher au dénominateur^ ou bien quand on multiplie son dénominateur par ce nombre sans toucher au numérateur,
DéMONSTRATiON. — L'élève fera le raisonnement, qui n'offre aucune difficultéi d'après ce qui précède.
Questionnaire.
QQ*entend-oa par ane fraction ordinaire? (128)
Comment rep ré i et jt e -t-oa une fraction ordinaire? (129)
Qu'exprime le dénominateur d'une fraction? (129)
Qu'exprime le numérateur? (129)
Gomment énonce-t-on une fraction ordinaire? (130)
Comment écrit-on une fraction ordinaire énoncée? (131)
De deux ou plusieurs fractions qui ont le même dénominateur ^ dra nu* mérateurs différents, quelle est la plus grande ? (132)
De deux ou plusieurs fractions qui ont le même numérateur et des dénominateurs différents, quelle est la plus petiU?(i33)
Gommen t peut-o n compléter le quotie nt de deux nombres entiers à Taide des fractions ordinaires? il 34)
Gomment pout-on indiquer la division de deux nombres ? (f3S)
Qu*entend-on par. une fraction proprement dite? (136)
Par un nombre fraotionnàire ? (iS8)
Comment fait on pour extraire les entiers renfermés dans un nombre ffactionnaire? (139)
Comment fait-on pour réduire des entiers accompagnés d'une fraction, le tout en fraction? (140)
Démontrer qu'une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre ? (141)
Qu'entend-on par des fractions équivalentes' (142)
Une fraction dont on augmente tes deux termes d'un même nombre conserve-t-elle sa valeur ou dlmi* nue-t-elle?(l43)
Démontrer qu'une fraction dont on multiplie le numérateur sans toucher au dénominateur, ou bien dont on divise le dénominateur sans toucher au numérateur, devient autant de fois plus grande? (146)
Gomment fait-on pour rendre nne.fraetion autant de fois plus petite qu'on le veut? (147)
Exercices (VII).
i). Exprimer qu'on a partagé un objet en 2ô parties égales et qu'on a pris 17 de ces parties.
S). Exprimer qu'on a partagé un objet ètt 14^ paaîtiès égàltîô et 4u*«i pmnA 85 <U cts partie».
8). Énoncer 1» frwitions aiivan|e$ : i> i, f, H» W» "ftW^
4^ Écrire les fractions : trois qtiarûy sept dix-huitièmes^ vïo^i' n^ni ijuafante-septièmes j cent sis. deux-cent-inngtièmes^ trois mille (jHaraAte et un sepl-milk-néuf-cenl-dix-septièfnes.
%). Tsiite les cBfisions àuivarites et compléter le ejtiotlent : tt : &; 324 : 7; 4&9 : U; 6956 : 34& ; 3(4738 :'4aa7*
6). Quel est le tiecii deîS, ^^ cinquième d^ ^? J6cri¥e* IdèomlîceT foi^ pjus petit que 3.
7) . Extraire les entiers des nombres fractionnaires suivants :
% HécNiire les entiars et ba Cc^olioas^ k teut eu letctisDs^ àuuf les expressions suivantes :
%i^ 3i, bh 18Î, %9l 81 1, I74i 13H, 25H, I48i«. I&). Combien y a-t-il de quarts dans 11 entiers?
10). Combien y a-t-il de septièmes dans 29 entiers ?
11). Combien y a-t-il de tr^te^cinquièmes dans 173 entiers?
12). Combien ^ a-t-il de demis dans 12 î entiers?
13). Combles y a-trii de ciaquièmes dans 17 f entiers?
14). Combien y a-t^U de vingtième* dans 148 i^ énttomf
15). On. a partagé un objet en 15 parties égales et l'on a pris 7 de ces parties; une autre fois on a partage le même objet en 16, parties égales et Ton a. pris 6 de c^ parties. La seconde (ration esUfli^ plifji pelite ou plus- grande que Tautre?
16). Rendre 5 Ibis plus grand 4.
'17). Rendre 7 fois plus petit {.
tS). BLendre ta fois plus grand |.
19). Quel est le nonâbre 3 ibis plus grand ($06 ^?
iO).Quei66t le nombre h Ibis plus petit que -fig?
ti). Quel est le nombre 7 fois plus grand que f?
