B^UCTION &Ë& FRACTIONS AU MÊME DÉNOMINATEUR
148u La réduction des fractions au même déno^^ùnateur est uhe opération qui a pour but de changer les fractions proposées en dautr$$^ frmclÀons équivalentes H qui <»ient toutes le même dénk>'miiïateur,
149, RÈGLE. — Pour réduire deux fractions au même dénominateur^ on mutiipUe les deux fermes de la première par h dèfvominateur de kt s^^nde et les deux termes de k^ seconde par le dénominateur de la première.
PRACÏÎONS. #7
GiSifOmafF^fiÇiU Soient let gUuji^ Cri^etioa^ | ^ Je multiplie les deux terme» de la premitea ps^r 7 et les deux t^mejs de. la seconde par ^ ce qui donne |^ . |^
Chacune de ces fractions est équivalente à celle qui lui correspond; car j'ai multiplié les deu^ termes de di^u^o ée9 fractions propoism* p«r un màme nombre (n** 141), et te dénominateur sera nécessairement le înèarc , parce q\re le produit de deux facteurs ne changé pas quel que soit Tardf e dans lequel on les prenne
iSO. RÈGLE GÉNÊRALir. ^ Fout rêduîte des fraetionè, en nombre quelconque^ au même dénominateur^ on multipii&ksdma> iermss 4$ ehaque praMionpQ/fk'pfM>d»U^€ffmr m^ d69 dènomina^un de touteê ks outrM,
Bémonstratiom. Soit propo&é (}a réduire, ay« mènj^e d^ nosGÛaattiK lee fraetiona
PfO UâjQ. UM i»^^ JUM
îtîO» 21(i0> îîltl» îîfTÏ? 2T*5
Commeiiçant par la première à gauche, |é fiiîfir le produit des dénominateurs des quatre autre^^ 3 X 5 >< 8 X 9 = 1080, et je multiplie pas ce B<9m]»se^ h^ deux termea ie te fraetioift bui' laquelle j'opère, oe qui éonse ^f|^
Passant à la seconde, je fais le produit des déûoHiittâteurs des quatre autres, 2X5X8X9 = 720, et je multiplie par ce nombre le$ deux termes de la frâclîbn sur laquelle f opère, ce qui donne |fjg.
De même pour la troisième, dont- je multiplie le^ deux termes par2X3X8x9=i 432, ee qui donne |f|g.
Je multiplie de même les deux termes de la quatrième par 2 X 3 X 6 X 9 = Ô70, ce qui donne |^.
El enfin, multipliant les deux termes die la cinquième par 2X3X6X8== 240^ j'obtiens f.
Je n'ai pas changé la valeur des fractions proposées, puisque j'kî multiplié les deux termes de chacune par un même nombre, et le dénominateur des nouvelles fractions»
devait élre le même pour toutes, pfuisqu^il est formé du produit des mêmes facteurs.
IBl. Théorème. -- Te produit d'autant de facteurs que Von toudta ne change pas dans qudque ordre qu*on les multiplie.
Il suffit de démontrer que si cette proposition est vraie pour an nombre quelconque de facteurs, elle sera aussi vraie si l'on prend un facteur de plus. Je suppose donc que cette proposition ait été démontrée pour quatre facteurs, par exemple, 2, 3, 5, 7. Je dis qu'elle sera aussi vraie pour cinq facteurs, boit 9 c^ nouveau Cstcteur. Pour former le produit 2X3X5X7x9, il faudrait multiplier 2 par 3 ; puis le produit obtenu par 5 ; ce nouveau produit ^r 7, et enfin ce dernier produit par 9, c'est-à-dire multiplier successivement par ces facteurs dans Tordre où ils sont écrits.
Or je dis que je puis faire occuper à chacunde ces facteurs, au dernier par exemple, la place que je voudrai: en effet, lorsque j'aurai formé le produit des trois premiers facteurs, j'aurai encore àmidtipiier2x3X& par 7 d'abord et ensuite le produit |:>ar 9, ou, ce qui revient au même, par 7X9, produit de ces daux facteurs (n® 8S) ; or 7x9=9X7. Je pourrrai donc écrire le produit ainsi quM suit : 2X3X5x9X7.
De même 5 x 9 =9 x 5 ; je pourrai donc écrire 2 X 3 X9 X .S X7, et comme 3x9=9x3, j'aurai aussi 2X9x3x5x7, et enfin, à cause de 2x9 = 9X2, j'aurai pour exprimer le produit 9 x 2 X 3 x 5 X7 ; d'où l'on voit oue le facteur 9 a occupé successivement toutes les places dans le produit indiqué. Et comme on pourrait en faire autant pour chacun des autres facteurs, le théorème est démontré pour cinq facteurs.
Donc, si la proposition est vraie pour un nombre quelconque de fecteurs, elle est vra^ie aussi pour un facteur de plus.
Or cette proposition a été démontrée pour deux facteurs ; donc
elle est vraie pour trois, et par concéquent pour quatre, cinq
pour autant de facteurs qu'on voudra.
152. La réduction des fractions au même dénominateur permet d'apprécier leur grandeur relative; ce qui serait souvent très-difficile sans cette opération, qui du reste est indispensable dans le calcul des fractions, ainsi qu'on le verra plus tard,
155. Il y a une infinité de nombres qui peuvent servir de dénominateur commun à plvMeurs fractions proposées.
Pour le démontrer, soit proposé de résoudre la question suivante.
Changer la fraction } en une autre équivalente et dont le dénominateur soit 20.
On ne peut efaanger la fraction f en nne antre fraction équivalente qu'en multipliant ou divisant ses deux termes par un même nombre, et comme la fraction nouvelle doit avoir pour dénominateur 20, qui est plus grand que 4, il faut avoir recours à la multiplication.
Or, je connaîtrai le nombre qai doit multiplier les deux termes de la fraction, en divisant 20, dénominateur f»roposé, par 4, dénominateur de la fraction donnée. Ce nom^ bre est donc 5, et la fraction nouvelle ^.
On voit parla que la question, en général, pourra toujours être résolue, pourvu que le nouveau dénominateur soit divisible exactement par le dénominateur de la fraction proposée.
154. Si l'on avait à convertir la fraction ^ en une autre dont le dénominateur fût 12, il faudrait procéder par la division, et pour savoir par quel nombre il faudrait diviser les deux termes, on diviserait 36 par 12, ce qui donnerait 3. Divisant les deux termes, par 3, on aurait -j^. 11 y aurait donc en général deux conditions pour que la question pût être résolue : l" que le dénominateur de la fraction fût divisible exactement par le dénominateur proposé ; 2* et le quotient de cette division étant obtenu, que le numérateur de la fraction fût divisible exactement par ce quotient.
155. Lorsqu'il s'agit de réduire des fractions au même dénêminateur, il n'y a qu*à choisir, k volonté, un nombre qui soit divisible exactement par chacun des dénominateurs et k opérer, comme dans le n® 155, sur chacune des fractions proposées.
Exemple et disposition de calcul :
30 20 15 12 5 3 Fractions proposées | | f f A M
M iû 45 4S MM ?Û tfU ttU 60 60 ou
Avec un peu d'habitude du calcul on reconnaît que le Dombre 60 est divisible exactement par chacun des dénominateurs. On récrit en tète des fractions ; puis un peu. au-dessus du numérateur de chacune d'elles, on écrit le nombre par lequel on doit multiplier ses deux termes, et
70 FR\r.riôNa.
aU'^teMi^us de dM^pie fr^clioo^ ik fra6lJa« nouvelle qui kii oot'i'espoxMk
iëB. An lieu du nombre 60, on pourrait premke four déuouHs^teuf eomnmn % foie^ 3 ioi^» ^.^ <aÂitaut de fois qu'on voudrait le nombre f^. U y a doue «me infiaiié de nombres qu'on pourrait prendre peujr le d^jwninatenr comapdiiB. On Terra, n*" t84, eoi&ment on dé^rxpijie, dan« toos tes oa», k phis peitit nombr'B qui ^ut servir de dénominateur commun i uulàsii di9 fraetioBs quie Ton v^^udra.
Ouestionnaire.
Qu'estnce que la réduction des fractions an ihèntè defttmrifratetir? '(148 V
Comment réduit-on deux fractions au même dénominateur ? (149)
Dites Ift rè:|k 'générale pourrédiiireau»
dénominateuh ? (150) Sttf quèlb |>rliiotf>ét Ottti rSAnoflMi
est-elle fondée? (i5i) La réduction des fractions au même dé-
Hûaùoateur ne peut-elle se faire ^oe
tant de fractions <{u'on veut an noême J 4 une seule manière? (i 53^ 1 55, 1 56)
Exercices (VIII).
1). ïtéduire au Da§me dénomittatetir les fraction» :
7» »? S> ia f i> 3J î>5 î» 3> 5' 7' t). déduite «u mêone 4éaammateur les fractions suivantes, en prenant un dénominateur à volonté ;
|>fv* 3» liai k>î}6*hH)iiy 25 2> L iiij Mf il-
3). Ranger par ordre de grandeur croissante les fractions, c'està-dire en commençant par la plus petite et finissant par là *fins grande :
4). Ranger par ordre de grandeur décroissante letlNuttims^ 5J 2» 8> To» l*î> 40> fïïj fîi' 3. SIMPLIFICATION DES FRACTIONS.
157. Simplifier une fraction^ c'est la changer en v/ne autre fraction équivalente, mais dont les termes soient Wioins grands y afin de se faite unt idée ptus nette de la portion d'iiâiité qu^eUe représente.
1116. Le seul moyen qui puisse être employé, c'est la division des deux termes par un même nombre, oboisi & volonté, pourvu qu'il divise entêtement ces deux termes.
AiôM la fraction f| peut êire remplacée par la fhic-
tipn .^ qw i'oa obtient en divisait pr 3 sqs deux terïaç$;t On voU^^^r wt ei^^pl^ qu'il est utile d'avoir des 05 d? , thodft» exjiédiUv^ peu^r jreconnaîtce si le numérateur ot Je dénomip^nr d'wie frmxfîonsonfc divisibles p^r un mègiQ .
n-ombre, , ,
1^9. 14 recherche des cara(^ère$ d« divisilalUté e^t fojtvdé^ s^r \»* définitions et principes suivants ;
Dfil'imTîô^. ■— 0ù appefte ditiseur etad on sîmplemetit^tWreàV*^ d'un nombre, tout nombre qui lé divis« etJadO^mKA. kitm S èst^jf!»setMT <i« 2^ "ei cdvwie 2 1 -f^ent itre ocfsidM ««aime I0 pnxkiit 4« ^Atyis9ur 3 fit 4u ifuotieot % «n ^t «neoK tjot & «st /•dll9t4f ^6u 9M»n m«âfip3A 4q St, qifl % son tenir est ^ mî^kiiple de 3.
1#^. Un nombtfe fieiit a^oir |diiBt«inn divisenra. AIbà 00 t pouc ii* YiSBur», 1, 9, d, i, 6, ^ W, 12, 1^ 38, 30 elt 60.
fBl. On appelle nombre prtfttief abnim en ^eni^mmi nùff^km premwTj tout nmoArd qpni nlsat di^sibl» ^fos par lai^iaéfDe et pur : Tunilé. Tels sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.
144« PftiNCi^^ I* r* T(mt «i9ifi&flp fui 4wi9e £$/ik<ftmMm$ Orne q% p^sieurs autres nombres , divise exactement leur somme.
En effet, chacun de ces nombres vaut un certain nombre àè tois le diviseur : leur soipme vaudra donc ce même dîtise'tif un tooâil^ de fois «z]^tné 'pètt lu t^fmtie de îbvA les què^^ts.
Ainsi, 24, 36, 60 étant divisibles chacun par 12, leur semaine 130 e#taiun 4i^tsi^e|Mnr i%f Qt le^q^tiMii 1^ est égal à.M.iO«iai8^ dç»,94otient» 2, 3, 6, , l . •
163. PRiiNciPB JI. — Tout nombre qui divise un autre nombre divise , tous les multiples ^e ce nombre ^ et à plus forte raison tous "lels mwîtiples des ihiàtiples.
En effet, un multiple quelconque de oé Mml^^ n'Qftt Jiulto ^dse que la somme de plusieurs nombre» ^gMX «V pi*opf#4»
Ai^si 5 diym^t XQ divise exactement ?0^ ?Cl, 720| etc.^ et par conséquent aussi 500, 3000, 7200, etc.
164. Tout nombre est divisibk pA^/2 lorsque son derni^ chiffre à droite est m des chiffres PAiRS| 0, 3, A, 6, 8»,
Tels sont 346, 5860, 15934, etc.
On les appelle pairs j>arce qu'on peut lee parls^r m deux parties pareilles ^ égalôs.
D£iiQMSVRAtj[()N* ^ %neiïHi 346 mmo *f â. Oir «<M est «a .miK^ie de 10, qui est lui-mèw multiple ^ 3; donc il est divisible p^ % (principe II); de plus 6 est divisible par 2; donc la spmçie 340 +€ ou 346 (principe I) sera divisible par 2.
tC5.Les aulres chiffres 1,3, 5, 7^ 9 sont appelés iMPAiRà
(non pairs), ainsi qae les nombres qui sont terminés à leur droite par un de ces chifires, tels que 53, 497, 3495, etc.
166. Tout nombre est divisible par 3, lorsque la somme de ses chiffres additionnés comme des unités simples est un nombre divisible par 3.
Tels sont : 315, 4971, 63150, etc., car 3 + 1 + 5 = 9, qm est divisible par 3;4 + 9-f7-fl=21, 6 + 3+1+5 +0= 15, divisibles par 3.
Démonstration. — En effet, «ne unité de chaque ordre est un multiple de 9 phis 1; car 10=9+1, 100 = 99 4-1, 1000=9994-1; donc un noml>re quelconque d'unités de chaque ordre est un multiple de 9 plus ce même nombre : or les nombres d'unités de chaque ordre sont représentés par les chiffres, donc un nombre quelconque est un multiple de 9 et par conséquent de 3, plus la somme de ses chiffres. Si donc la somme de ces chiffres est divisible par 3, le nombre sera divisible par 3.
167. Tout nombre est divisible par 5, lorsqu'il est ter-miné à sa droite par ou par 5.
Tels sont : 45, 350, 5400, etc.
DÉMONSTRATION. — Car tout nombre est un multiple de 10> plus son dernier chiffre.
168. ToiU nombre est divisible par 9, lorsque la somme de ses chiffres additionnés comme des unités simples est un nombre divisible par 9.
Tels sont : 54, 315, 64908, etc.; en effet,6 + 4+9+0 + 8=27 divisible par 9.
Même démonstration qu^au n* 161.
169. A ces caractères de divisibilité on peut ajouter les suivants :
Tout nombre est divisible par 4, lorsque ses deux derniers chiffres à droiie formant un nombre divisible par 4.
Car tout nombre est un multiple de 100, qui est divisible par 4, plus le nombre formé par ses deux derniers chiffres, 148= 100 4- 48.
Tels sont: 148, 1324,67916, etc.
170. Tout nombre est divisible par 6, lorsqu'il est pair et que la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Tels sont : 48, 126, 3258, etc.
Car ce nombre pair étant divisé par 3, qui est impair, donnera né* cessairement pour quotient un nombre pair.
i7i^ Tout nombre est divisible par 8, lorsque ses trois derniers chiffres à droite forment un nombre divisible par 8.
Car tout nombre est un multiple de 1000, qui est divisible par 8,plus le nombre formé par ses trois derniers chiffres.
172. Tout nombre est divisible par 10, JOO, 1000, etc., lorsqu'il est terminé à sa droite par 1 , 2, 3, etc., zéros.
173. Les caractères de divkibîMté fournissent le moyen de décomposer un nombre donné en 2, 3, etc., facteurs.
Soit, par exemple, le nombre 48 à décon4K>ser en &es facteurs.
P Ce nombre étant divisible par 2, j'aurai pour facteurs correspondants 2.24.
2* Ce nombre ^ant divisible par 3, j'aurai pour facteurs correspondants3.16.
S** 48 étant divisible par 4, j'ai pour facteurs correspondants 4.12.
4* 48 étant divisible par 6, j'ai pour facteurs corrrespondants 6.8.
Pour décomposer 48 en trois facteurs, je décompose 24 (1**) en deux nouveaux foctenrs cwrespondants, ce qui donne :
4.6; et en les prenant avec le facteur 2, j^aurai d'abord cette première décomposition en trois facteurs :
J*en fais autant pour le facteur 16 (2'*), qui donne 2.8; 4.4, et par conséquent j'aurai pour seconde décomposition :
Opérant de même sur le facteur 12 (3**), qui donne 2.6; 3.4; j'aurai pour troisième décomposition :
Opérant enfin de même sur le facteur 8 (4*), qui donne 2.4 ; j'aurai pour quatrième décompoâtion :
On vott qu'il n'y a que quatre décompositions différentes en trois Jeteurs, savoir :
7* Fm<2Tii»*e*
Si l'oa youM^ obienif la 4éco«\pp^Ui«n ^ ^çpta^A^tlftfVBj. im Recomposerait de nouveau les fafcteurs 12, Ç^ §^ 4-611 de^W »J^trj5^ çtroa nfe prendrait que les facteurs dlfîéretits.
1 74. Poitr simplifier une fraction, on divise ses dem termes put unfnime noTribre^ que l'on rèççnnaîtt ^ après les caractères de divisibÙitèy devoir les diviser exactement, et fàn réitère cette opérmion dutafii ^u'il est possible de le faire.
S(^ k fr^^n ^. h dMm hm ien UttmM par ^0, ce qui donne 4f •
Les tïèux termes deltelte nouvelle friuitioti étant àivî4bles par 8, je les dîvîse par ce nombre et j'obtiens f ^
Cette fraction^ d^ià èet-^coupplM ^kmipkt ^e Ul ^roposée, peut être encore simplifiée, puisque stl9 deui terme* soût df^Mcs ^àt 3.
0|)érànt cette division, j'obtiens | qui j^xpriow, m ^S^t d'une manière beau<30^ plus skn^le Ift mewm {Mtftioa ^de l'unité représentée par la fradiofi proposée.
175. Lorsqu'une fraction a -été simplifiée autant qu'il est possible, on d^t qu'elle est réduit^ à sa plus simple expression, et là fraction qu^on obtient 5*«^«Ue ^riduÇ" tible.
Ainsi la fraction précédente 4ff§ est réduite à sa plus simple expression sous la foriôe |^ qui est irréductible.
17tt. On serait certain de réduire une fraoûon à s^ pji^s simple expression, si l'on comaaifisait le plus grand nombre qui pût diviser exactement soê deux termes et qu'on appelli pour oet^ «ikrdii te fdus gHmâ eommm rfïtf^i^t^ ^ deux termes de la fraction.
177. La recherche du plus grand icommun diviseur est basée sur les défiaitions et les pônci|ies suifant^
Définitions. On appelle diviseur commim de deox nombre», icmi nombre qui divise exactement Tun et loutre.
Al^y les 4>0«^rai 48 «t 166 tant pour Mruewn : le preÉiier 1, %, S , 4, 6, 8, 12, IÇ, 24, 48; le deuxième, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10> 12,- 1*, se, 30, 60.
Les diviseurs communs à l'un et à l'autre sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; 12 est le plus grand de tous ; il est MT conséquent le plus grand commun diviseur de 48 et 60.
divise auÈsi leur différence.
En effet, chacua de ces nombres valant un certaîû nonAte de fols le àMsèur, ^t (flfférénee tiradra èo mômft c^vhè^r lôi iïôtofeh:6 -de fois «xfBimé pnr la (tilféeeao^ imt tr^otéeuti.
Ainsi, 60 ^'^ 4UQt divkÂUQf par 6, leur différei^ X% «st »^si divisible par 6; et le quotient 2 est égal à la différence des quotients TO et 8.
dk^ le rmtê 4ê imt 4i0id(M>
En effet, le reste de la division de deux nombres n'est an^M dtÊ&êé que la différence entre le ^lus gnaà de ^ei nombres, qui a servi de (kvîdeiiés^ et le pMâ«it flu laoQiMi pair H y ^ è ici ilt ém hm ^/timaaf c'est^'^^dn^ bu araltipte de es Ronbrè.
AiimSSi el ^h étant diviiiUesfaF n, m Téb dvtim ie^^ns .giMBiA par le plus petit, on obtiendra po«r qMtiâttt 3, «ttpoor mit 38 ^ est ainsi tffvisièle par 13.
180. Rifij.]?, — Pour trouver îe plm grand commun diviêewr if^t émm n(mJbre$p im4wUe U pfm grcmd pttr k pîus petit. 'Si la éimsUan se ffxU é^saclèmmt^ifti^ 1$ flhm petit nombre qui est le plus grand commun diviseut.
Si cette première division donne un reste^ on divise h plus peiii immbr€ pm «9 resie, Si la division réussit, «i reste ^t te p^s gtkml cèrmnwi ttwismir*
Si cette seconde division donne encore un feût^ on dM^ le prmder reste par le second^ et ainsi de suite^ jusqu*a ci que la division ss fasse eomMmmL
tJS Ém-nkir éMsmir fmphfé M k ptet grmUl wmswdm dfo^ur dh^çhé,
JiPKîfPLB. — Soit proposé de chercher lé plus grand commua diviveiir^iUi^ IWà ?t 37U
J« disptme ies iktox aawèMis omnost p<mp la iituàm^ puis j^ Ifre une î%ne hotizontalè âu-tteSfcus 4iBà éeux nombres pour séparer Iç diviseur du quotient que j'écnraî au*^ssus, ce qui permettra de réunir d^s un même ta* MefttL toutes 4eB dirâiwiis «UMeMyett^ ainn qu'on la voit ei-dedéous : >
k "il -n I iih'fc
FRACTIONS. TJ
240 est dit U plus petU mvîtipîe des deux noxnbres 60 et 48-
188. Règle. — Pour trouver le plus petit multiple de plusieurs nombres donnés^ on cherche le plus petit multiple des deux premiers ; puis le plus petit multiple entre ce premier plus petit multiple et le troisiime nomi>re, et ainsi de suite jusqu'au demder nombre proposé. Le dernier moindre multiple trouvé est h plus petit nonibre divisible à la fois par tous les nombres proposés.
La démonstration n'offre aucune difiiculté d'après ce qui précède.
184. RéducHor.\ des fractions au plus petit dénominateur. Soit à réduire les fractions suivantes au même dénominateur «qui soit le f^us petit possible,
»> ïo' itï» liVo»
Je cherche le plus grand commun diviseur entre 8 et 20, qui est 4. Je divise 8 par 4, ce qui donne 2, et je multiplie 20 par 2, ce qui donne 40^ qui est le moindre multiple de 8 et 20.
Je cherche le plus grand c(»nmun diviseur entre 40 et 193, lequel est 8; 40 divisé par 8 donne 5 pour quotient; 5 fois 192 donne 960, moindre multiple de 8, 20 et 192.
Cherchant de même le plus grand commun diviseur entre 960 et 1440, je trouve 430 ; 960 divisé par 480 donne pour quotient 2 ; 2 fois 1440=2880 est le plus petit dénominMeur cherché auquel on réduira, d'après la méthode du.xk» 176, les fractions proposées. Voici le tableau ducateul
Fractions proposées I, ^, fj|, •^.
Fractiousréduites ^, |||g, ÎJ§^, ^.
188. Lorsque dans la recherche du plus grand commun diviseur le dernier diviseur est 1 , on en conclut que les deux nombres proposés n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité.
On dit alors que les deux nombres sont premiers entre eux.
186. RÈGLE. — Pour réduire une fraction à sa plus simple expression^ on divise ses deux termes par leur pltés grand commun diviseur.
Soit la fraction i%^. Jé^cherche le plus grand commun diviseur qui est 163; divisant les deux termes par 163, j'obtiens |, fraction irréductible.
187. Enfin^ lorsque la fraction ne peut être simplifiiez qu'elle est irréductible^ on peut en obtenir une valeur ap-^
t>. Mâiiif« à teUf fliM ^mple expression lé» fraeââns
*• Ma g4iv^ g^gff é^2?»t i7î> fdîi» STwîJ TTTlb 45&Ô8*
4), Entre quelles h*actioDs sont comprises
