RECHERCHE DU QUOTIENT COMPLET OU APPROCHÉ AU MOYEN DES DÉCIMALES

224. Lorsque la division de deux nombres entiers donne un reste, on peut compléter le quotient à l'aide des fractions décimales, ainsi qu'il suit :

Soit à diviser 35 par 4.

Après avoir obtenu pour quotient 8 et pour reste 3, je réduis les 3 unités en dixièmes, ce qui se fait en écrivant un zéro à la droite de 3 ; en effet, puisque Tunité vant 10 dixièmes, 3 unités vaudront 30 dixièmes. Je divise 30 dixièmes par 4, ce qui donne 7 dixièmes, "que j'écris au quotient k la droite du chiffre des unités que je sépare par la virgule décimale. Je réduis de même les 2 dixièmes de reste en centièmes, en écrivant un zéro à la droite de 2, et divisant 20 centièmes par 4, j'obtiens 5 centièmes pour quotient et pour reste ; le quotient complet est par conséquent 8,75.

225. Il arrive souvent que la division continuée en décimales ne réussit pas ; dans ce cas, le quotient ne peut s'exprimer par un nombre décimal fini, mais on peut l'obtenir avec tel degré d'approximation qu'on voudra.

Soit, par exemple, à diviser 42 par 13.

La division ne se termine pas et donne lîeU à* un quoA

98 I^AdtlONS.

tient datrs le^jurf les ehiifres 230679 se produisent continuellement et périodiquement dans le même ordre.

Et remarquez qu'il doit en être toujours ainsi ; car les restes, dans toute division, étant tou|ours plus petits que le diviseur, on ne peut obtenir pour reste que 1, ou 2, ou 3... ou 19, et par conséquent, dès qu'un de ces restes reparaît dans la division, le» mêmes chiffre» domnt se reproduire au quotient. Ainsi dans Pexemple préeé^fent, dès que le reste 3, qui s'est déjà présenté une fois, se reproduit dans la division, les mêmes chiffres 230769 se reproduisent au quotient. Dans ce cas, on obtient ce qu'on appelle une fraction décimale périodique ; là période est la suite des. chiffres qui se reproduisent dans le même ordre.

lorsque, le dividende et le diviseur étant premiers entre eux^ le diviseur est un nombre premier autre que 2 et 5, le nombre des chiffres de la période esttei^urs ua éRviseur exact du diviiscar diminué de î. Daaa CQt exempte, iê nombre des chiffres âftls période e^ S qm di>vise exactement 12 égal àl3>— 1,

Lorsque, le dividende et le diviseur étant premiers entre eux,l© diviseur ne contient que les facteurs 2 et 5, la division donne tpujeurs lieu à un quotient fini, dans lequel il y a autant de chiffres décimaux que celui des deux facteurs 2 ou & est contenu le plus de fbis dans le dirâ»ur.

S!M>. Sî Tcfn s'arrête au premier, deuxième, troisième, etc., chiffre, on aura un quotient de plus en plus approché du véritable ; ainsi 3,2 ; ^,23; 3^,2307, etc., sont exacts à moins d'un dixième, d'un centième, d'un dix-miMèmc près, etc.

Si Ton voulait avoir le quotient à moins d'un dix-millième près, on forcerait le dernier chiffre 7 ; et l*on prendrait 3,2308 ; en effet, en prenant pour quotient 3,2307, on commettrait en moins une erreur qui serait plus grande que celle qu'on commettrait en plus en augmentant le quotient de 1 dix-millième.

En général, lorsque le chiffre décimal qui suit celui attquel on veut s'arrêter est plus grand que 5, on augmente le dernier chiffre d'une unité; si c'çsL un h ou m chiffre Xllus petit que 5, on n* altère point le dernier chiffre.

FRACTiONÔ. •• • •• • J9

(Juéstîoûiîàîre. '•.-.•••.:..• T ••* •'*•

lorsque la division donne un reste, : Lorsque le chiflfre décimal auauel on comment fait-on pour compléter le s'arrête est suivi d'un chiffre dus

i^t^^i^lT-^^ I ^.. , »«nrf^«i.4^ie,tfé(rtutiondoit-

Et si la division par les décimales ne ' on prendre? (226)

finit point, que «mNI fett*?(aw) \ Qu'^at^nd^» j^ fr^-Uon décimale Qu entend-on par un quotient exact à périodique ? (225) moins de 0,1, 0.01, 0,001 près î(226) De quoi se compose la périodô? C^5)

i). CûQiplétQf k quoUeiU; ^ l'aida do» décimal^Sy dan* im M$\m^ suivantes : 3 : 4; 3^7 : 8 ; 49 : 16 v n4r: 24 ; 448 : 32 ; 360 : 48: 1296 : 64v 5493:125; 7963^:625. , , «*^

Effectuer les divisions suivantes et corx\ipUtet le (fdôûent.

^ a4«5T5d4©; 145063 : d>300 ; W3»l WW^ mÊèm^tTSmSi

4). Trouver à 0,1 près le quotient de la division de 64 par 7.

ia*. 0,0000001 ^47 534.

Problèmes sur la recherche du qnotient complet on approché au moyen des décimales (X).

1). Quel est le nombre 8 fois plus petit que 36 ?

ai, QfiMinm^^ Smt^ mtilt^r' pM ^pow ftÂ^e $0?

^ Psula^ger 360 fr. entre 16 personnes,

4). tJn jardinier fleuriste a payé 104 fr. pour SO pieds d^egtantier; à combien revient chaque pied d'églantier?

6). Oh ftpaiyé IS^fr. pouir 5ô0^bôu«e91«»; â eoia&M refilât lé bouteUIet

6). Vïh vitrier a posé 640 carreaux pour 512 fr . ; à oomMeB févieut le carreau?

7). A 180 fr. les 100 bouteilles, combien coûte la bouteille?

8). Un bottier a reçu pour une commande de 750 paires de souliers la somme de 4350 ft*. ; à combien rétîeôt la paîré cfe sôt^At

9). 48 balles de coton de Cayenne se sont vendues- 34tO'(ir.$ kùom^ bien revient la balle de coton?

ItUÔ : : •': • • FRACTIONS.

S n. CALCUL DES NOMBRES DÉCIMAUX.