LIVRE PREHIEIL
M^r^'^'mfmmrwirm
$ I. PROBLÈMES RÉSOLUS A L'AIDE DES QUATRE RÈGLES. 1. PEOJBf^fllfSS 5UR DES QUESTIONS GÉNËRAUS.
2iS0, Dans tout problème d'arithmétique^ Yénonci r«i* ferme de|i sombres comius et des nombres inconnus.
Résoudre un problème, c'est déterminer les nombres inconnus à Vaide d'opérations laites sur les nombres connus.
551. Tous les problèmes que Ton peut proposer sur les nombres se réduisent toujours à une ou plusieurs des opérations fondamentales qui viennent d'être exposées. Mais il ne suffit pas de savoir faire ces opérations^ il faut avant tout distinguer dans chaque cas particulier quellefi opérations on doit effectuer pour obtenir la solution du problèmte.
552. Les problèmes proposés jusqu*ici ne dounaient lieu qu'à une ou deux opérations indiquées par l'élUMicé lui-même; mais lorsque le problème exige un plus grand nombre d'opération^i^ il faut examiner attentivement l'énonce et raispnner sur les nombres connuf et incoonus, afin de re^nnaîlre quelles sont les opérations qu'on doit eff^tuer ^ çQjQ(uu6^t eUeç doivent se lier les uues am; autres.
Exemples.
555. Problème 1. Quel est le nombre dont la |y le^et le { réunis font 39?
Solution, i + 4 + i = {|-
je puis donc simplifier l'énoncé et dire quel est le nombre dont les {f font 39 ?
Si les fl du nombre inconnu font 39, -^ sera 13 fois plus petit que 39 ou ^, et les H ou le nombre lui-même seroiit 12 fois plus grands queff; f§ X 12 = aiLi^ = 36.
Avant de faire le calcul, on pourrait remarquer que â| = 3^ dès lors le résultat était tout trouvé : 3X12=36.
354. Problème 2. 30 ouvriers ont fait 135 mètres d'un certain ouvrage, combien 43 ouvriers de la même force en feraient-ils?
Soi^UTiON. Puisque30 ouvriers ont fait 135 mètres,! seul ouvrier en ferait 30 fois moins ou ^^ et 43 ouvriers 43 fois plus que ^ ou -^-^ = 193"'*S50.
555. Problème 3. 5 kilogrammes d'une marchandise ont coûté 7 fr. 50 cent., combien coûteront 28 kilogrammes?
Solution. Puisque 5 kilogrammes coûtent 7 fr. 50 c, 1 seul kilogramme coûtera 5 fois moins, ou ^^ et 28 kilogrammes 28 fois plus que 2^ ou -lîM><îÉJi ==2 42 fr.
Problème 4. On a payé 120 francs pour 8 mètres de drap, combien aurait-on de mètres du même drap pour 75 francs?
Solution. Puisque pour 120 fr. on a eu 8 mètres, pour 1 fr. on aurait 120 fois moins, ou •^, et pour 75 fr. on aura 75 fois plus ou ô^^= 5 mètres.
556. Problème 5. 10 ouvriers ont mis 24 jours pour faire un certain ouvrage, combien faudrait-il d'ouvriers pour laire le même ouvrage en 40 jours ?
Solution. Puisqu'il faut 24 jours à 10 ouvriers pour faire l'ouvrage, pour l'achever en 1 jour il faudrait 24 fois plus d'ouvriers ou 10X24 ; et pour le faire en 40 jours, 40 fois moins d'ouvriers, ou i-û|Ji= 6.
5ft7. Pkobl軣 6. âO mètres d'étoffe à^de large ont coûté 48 francs, à combien reviendraient 12 mètres d'étoffe de la même qualité, mais qui auraient | de large?
Solution. Si 25 mètres à f" de large ont coûté 48 fr., 1 mètre à f coûtera 25 fois moins ou || f.; 1 mètre à ^ coûtera 2 fois moins ou -^^y 1 mètre à | ou 1 mètre de large, 3 fois plus ou |f§|; 1 mètre à f coûtera les J du prix précédent ou |g^ï ~ | ; enfin, 12 mètres à f coûteront 12 fois
plus ou ^^m^.
On achèvera les calculs en supprimant le facteur 8 commun au numérateur et au dénominateur , ce qui donne g^a^f> 2 == û^a==,^ ==: 25 fr. 92 cent.
On obtiendra promptement le résultat en observant que ^c= 648X2^ = 648Xt^ = ^ = 25 fr.92 cent.
Ce qui revient à multiplier 648 par 4 et à séparer deux chiffres décimaux sur la droite du produit.
558. Problème 7. Deux ouvriers travaillent au même ouvrage : le premier pourrait le faire en 15 jours et le second en 18 ; combien de temps mettront-ils pour l'achever, en travaillant ensemble?
Solution. Puisque les 2 ouvriers travaillant seuls pourraient achever Touvrage en 15 jours et en 18 jours, en 1 jour le premier ne fait que -^ et le second que -^ de Touvrage ; à eux deux ils en feront en 1 jour ife + iV ^=== ^ > puisqu'ils font les ^^ de l'ouvrage en 1 jour, ils en feront 24xr ^ ^3 ^^^ moins de temps, ou ^, et les |^ en 270 fois plus de temps, ou i^^^ = 8J 2'', en supposant la journée de travail de 11 heures.
559. Problème 8. Trois fontaines coulent ensemble dans un bassin : la première le rempilait seule en 18 heures, la deuxième en 20 heures, et la troisième en 24 heures; dans combien d'heures le bassin • sera- 1- il rempli ?
Solution. Les fontaines rempliraient séparément en 1 heure, ^, ^, ^ du bassin, et par conséquent en 1 heure à elles trois elles rempliraient li + îîy 4" ir? ^^ bassin.
Je réduis ces trois fractions au même dénominateur 360,
ce qui donne po«r la somme ^ ; par «mséquent, puiscpàes remplLeat le« ^ du ba«m an l heure ".UeB
rempliront 3^ en ^"^ï et les
llf UT6S '^^ ~ •
Si l'onvoulait réduire la fraciioa ^ d'bwire « wnutes, on n'aurait qu'à prendre les H d* «0 nanutes, ce qa
°0n p^ait de même réduire »| de minute e» seeondM.
560 Problème 9. Les deux aiguilla d ww mwtïfj marquent midi, à queUe heure se rew5oaîïeron.t^lles i<wir la première fois et combien de foie dw» 1? heures 2
Solution. L'aiguille des roinutM allant plus nte que celle des heures , ne rencontrer* celU-ci qu'apr^ awir fait une fois le tour du eadrw, ï^us U disbwce cpje 1 ai- Mille des heures aura parcourue. Elle a dow «0 diwioBS du cadran de retard sur l'aiguilla des heures ; maw coma» l'aiguille des miaute» parcourt en 1 heur» 60 dxvïsiona pondant que l'aiguille des heures n'a» parcourt que 5, «U* gagne sur eelle-ci 55 divisions en une heure. Elle m^ donc une seule division en f, d'heure et Jas 60 dtvwioM
en i» d'heure = 1 heure ^^t; il «e'" ^°^'^ ^ "'^t ^ ™" nutes fr. Les aiguilles se rencontreront 1 1 fois en n heures;
carl2'':|?=«|^=n-
S61. Problème 10. Pour 270 fr. o» a a(îbete m «ertau» nombre de mètres de drap ; on en aurait eu % de plw» pour 3ft6 fr.; combien de mètres a4ron Mihtt^s ^ guel «^
le prix du mètre î i • j
Solution. 306'' — 270" = 36" repréwntent le prix d» s mètres; par conséquent le mètre coûtera ^;^ 1^ et le nombre de mètres est ^= 15.
ses. Problème 11. Trouver deux nombres d«it la somme soit 61 et la différence 13.
Solution. Je suppose pour un moment que les deux nombres cherchés soient égaux entre eux et à la moitié de 51, c" est-à-dire ^. Gomme la différence entre ces S nombres serait au lieu de là, ce »e sont paq les nomlwes damuidéa; «Mis«lia9M ^4pie j'fttena à l'«i.|)eiir l'ijoutMr à
A?JPÎJCATK)ÎIS ARÏTOMJ&naUBS. 171
Tautie, d^9ei^ 1 4e cUffiértoce ^^gn ]m nombres aiasi modifiés ; donc pour que la différence soit 13, il faudi*a retrancher ^e Tun ^ paur l'ajouter au second.
Le plus grand nombre sera donc ^^ + -^^=^^^^3 ==32, et Je plus pelit ^ — i^ = ^^ = 19.
De là cette règle générale :
Règle. Connaissant la somme et la différence de deux nombres inconnus^ on trouve le plus grand en ajoutant à la demi-somme donnée la demi-différence aussi donnée^ et le plus petit en retramckant de la demi-somme la demidifférence.
363. Problème 12. On a payé 69 fr. pour 25 bouteilles, de vin de deux qualités différentes, à 2 fr. 40 c. et à 3 fr.; combien a-t-on aeheti de bouteilles de chaque e^ce ?
SoLyTiûH. A 3 fr. la bouteille. Les 25 bouteiiUes seraient revenues à 75 fr., c'est-à-dire à 6 fr. de plus que le véritable prix d'achat ; mais chaque bouteille de 2 fr. 40 c. substituée à une bouteille de 3 fr. diminue la dépense de 3fr 2'',40 = O'^eO; il faudra donc substituer ^j^ == 10 bouteilles à 2 fr. 40 c. On a donc acheté 10 bouteilles de la première qualité et 15 de la seconde.
364. Problême 13. Trouver deux nombres entiers dont le produit soit 84 et la somme 19.
SoLCtKm, Je cherche les diviseurs de 84 ainsi qu'il suit : 84 est divisible par 2 puisqu'il est terminé par un chiffre pair, et en prenant la moitié de 84 pour avoir le facteur correspondant, je trouve 42, et par conséquent 2 et 42 pour les deux facteurs correspondants.
84 est divible par 3, puisque la somme 12 de ses chiffres est un nombre divisible par 3 ; j'obtiens donc pour facteurs correspondants :
3 et 28
Et en continuant ainsi, j'obtiens pour les autres faeteusre eprrôspoiiâants :
4 et 21
« At l{k
7 fit li
172 APPLICATIONS ARITHMÉTTÛOES.
7+12 = 19; les deux nombres cherchés sont donc 7
565. Problème 14. Trouver trois nombres entiers dont a somme soit 19 e^ le produit 84.
Solution. Je cherche les diviseurs de 84 en prenant les acteurs correspondants 2 à 2 comme dans l'exemple précédent, et je décompose chacun des facteurs en 2 autres, ainsi qu'il suit :
2 et 42 donnent 2. 2. 21. 2. 3. 14. 2. 6. 7.
3 et 28 3. 2. 14. 3. 4. 7.
4 et 21 4. 3. 7. 2. 2. 21.
6 et 14 2. 3. 14. 6. 2. 7.
7 et 12 7. 2. 6. 7. 3. 4.
Les nombres demandés sont2,3etl4; car 2-j-3-|-14=19.
36G. Problème 15. Un tailleur a acheté 2 coupons de drap de qualités différentes ; pour le coupon de drap de première qualité qui coûte 7 fr. de plus par mètre, il a payé 345 fr.; pour le coupon de deuxième qualité qui a 23 mètres de plus, il a payé 368 fr. Combien chaque coupon contient-il de mètres et quel est le prix du mètre de chaque coupon?
Solution. Je cherche les facteurs correspondants de 345 et 368, et je trouve pour 345 3 et 115
5 et 69
15 et 23
Pour 368 2 et 184
4 et 92 8 et 46
Les nombres 15 et 23, 8 et 46 satisfont à Ténoncé, le tailleur a donc acheté 23 mètres de drap à 15 fr., et 46 mètres de drap de qualité inférieure à 8.
567. Ce petit nombre de problèmes suffit pour donner une idée de la méthode, qui a pour base le simple raisonnement. Il sera facile de l'appliquer à toutes les questions de la vie ordinaire et particulièTement aux opérations com«
merciales et industridles qui sont Torigine et le but essentiel de Tarithmétique.
