DES GRANDEURS PROPORTIONNELLES ET DES REGLES DE TROIS

MÉTHODE DE RÉDUCTION A l'UNITË.

568. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles quand, l'une devenant double, triple, quadruple, etc...^ l'autre devient en même temps double, triple, quadruple, etc.... Ainsi le prix d'une étoffe est proportionnel à sa longueur; car si la longueur devient double, triple, quadruple, etc., le prix de celte étoffe devient aussi double, triple, quadruple. On dit encore que ces deux grandeurs varient dans le même rapport, ou en raison directe l'une de l'autre.

569. On dit que deux grandeurs sont inversement pro^ portionnelles^ lorsque, l'une devenant 2, 3, 4, etc., fois plus grande, l'autre devient en même temps 2, 3, 4, etc., fois plus petite. Considérons, par exemple, deux feuilles de tôle de même épaisseur : si la longueur de la I" est 2, 3, 4 fois plus grande que la longueur de la 2% la largeur de la l** sera 2, 3, 4 fois plus petite que la largeur de la 2*. On dira alors qu'à égalité de poids et d'épaisseur là longueur d'une lame de tôle est inversement proportionnelle à sa largeur. On dit encore que ces grandeurs varient dans un rapport inverse, ou en raison inverse l'une de l'autre.

570. On appelle règle de trois un problème dans lequel, connaissant les valeurs de plusieurs grandeurs directement ou inversement proportionnelles les unes aux autres, on demande ce que devient Tune d'elles quand toutes les autres changent de valeur.

57i, On dit qu'une règle de trois est simple, lorsqu'on ne considère que deux grandeurs directement ou inversement proportionnelles ; elle est composée, lorsqu'on considère plus de deux grandeurs.

57S. Une règle de trois simple est directe, quand les deux

174 APPLKTAISONS^ AHlTSUânQUËS:

gnndeiufÉ que l'on y ootttidère sost &ttèisMmetït ^topôt'^ tionnelles; elle est inverse y quand l«s dota gtlEaidenré sent inversement proportionnelles.

Règle de trois simple.

575. Problème. On sait que 17 litres (Teau de mer pèsent 17*'**^, 442; quel est le poids de 58 lUres d^eau de mer?

Solution! Ce problème est une règle de trois simple directe. On le résout comme il suit :

Si 17 litres d'eau de mer pèsent 17'''^'^^442, 1 litre pèsera 1 7 fois moins, ou

Si 1 litre d'eau de mer pèse — -r^ — , 58 litres d*eau è» mer pèseront 58 fois plus, ou

On dispose ordinairement l'énoncé et les ràisonnemelxts de la manière suivante :

Nombre de litres. PoicU.

574. Problême. Deux terrains rectangulaires et de mêràe surface ont des longueurs respective'inenî égales à 102*,45 etàW 3«,20; le premier a une largeur de 56*,â5 ; qwelk sera la largeur du second?

Solution. Ce problème est une r^gle de trois simple inverse ; car il est évident qu'à égalité de surface un terrain rectangulaire est d^autstnt pltts long qtt'if est ûiofîis

tar^ev ^ qn^si k^ ligueur devieul' doublé, tiri}^, éle, ., la largeur deviendra deux fois moindre , trois^ Ms tiMiftdre^ etc.... Cela posé, ea résout la question de la manière suivante :

Si pour une longueur de 162°>,45 le teinr^n a une largcmr de 56^,25, pour ui^ longueur de 1*° il aurait one largeur égale à

si pour une longueur de 1 mètre le terrciu a ufld largeur égale à &6",25 X 162,45, pour une longueur de n3"*,23 il aura une largeur égale à

à un centimètre près par défaut.

On peut disposer Tém^ttcé, le« nwttMnw&tt dft to résultat de la manière suivante :

LoDgaear. Largeur,

Règle de trots eompoaée.

57t(. Problème, Une^ pièce de bois de sapin êquarrie a 3'",25 de longueur j 0™,22 de largeur et 0"*,12 d'épaisseur; son poids est égal à 42P"'*'*,23. Quelle sera la longueur (jtune pièce de bois de sapin dont la largeur serait 0*,t7, T épaisseur O'^'^IS et U poids 68^"**S56?

Solution . Ce problème est une règlô de trois composée, qne Tofn résout de la manière suivante •

Si pour v/ne largeur de 0~,22, une épaisseur de 0",12 et un poids de 42''"°»,23, la Idn^eur est égale à 3°,25, pour une largemind 0'',0l, ude^épaisseur de 0",I2 et un

176 APPLICATIONS ARITHMÉTIQOTÎS.

poids de k^^^'^jldy la longueur sera 22 fois plus grande, c'est-à-dire

Si pour une largeur de 0™,0I, une épaisseur de 0",12 et un poids de 42'^'''«,23, la longueur est égale à3",25X ^2, pour une largeur de 0",17, une épaisseur de 0"",12 et un poids de 42"*^,23, la longueur sera 17 fois plus petite, c'est-à-dire

Si pour une largeur de O",!?, une épaisseur de

0",12 et un poids de 42"**^,23, la longueur est égale à

0,22 3"*,25 X jrTïT, pour une largeur de 0",17, une épaisseur

de 0,01 et un poids de 42''"''',23, la longueur sera 12 fois plus grande^ c'est-à-dire

Si pour une largeur de O"*,!?, une épaisseur de 0",0l et un poids de 42'''''^,239 la longueur est égale à

3"*,25Xr-T^ X 12, pour une largeur de 0*,17, une épaisseur de 0"»,18 et un poids de 42''"°«,23 la longueur sera 28 fois plus petite, c'est-à-dire

Si pour une largeur de O^'^n, une épaisseur de C^^ie et un poids de 42*^^*^,23, la longueur est égale à

22 12 3", 25 X ^-rz X ~7g, pour une largeur de 0", 1 7 , une épaisseur de O'^jlS et un poids de O^'^'^Ol, la longueur sera 4223 fois plus petite, c'est-à-dire

Eafin^ si pour une loogueur de O'^yH^ une épaisseur de 0™,18 et un poids de 0''"**«,01, la longueur est égale à

0,22 0,12 1 ^"'^^-^077 ^Ô^ ^4223' P^^^ "°® largeur de 0«,17,

une épaisseur de 0", 18 et un poic^ de 68''"°», 56, la longueur sera 6856 fois plus grande, c'est-à-dire

n« «.. ^.0,22^^0,12^^68,56 ^ ^, 3».25Xô;yyXô;jgX5^3 = 4-,56,

à moins d'un centimètre près par défaut.

L'énoncé et les raisonnements peuvent se disposer ainsi :

Largeur. Épaiss. Poids. Longueur.

0,17 0,12 42,23 3,25 Xj^ r

22 12 0,17 0,18 4î,23 a.aSXj^Xrj^

22 12 1 0,17 0,18 0,01 3,25Xj^Xy^Xj^3

576 Autre exemple. On a doré une boule ayant une surface de l"*ï,62; l'épaisseur de la couche d^or étant

— le millimètre, le prix de la dorure a été de 4130'; on

veut faire dorer une boule ayant une surface de O'^^S'i, et

178 APM.I6ATI0NS AWTHMÉTlQOgS.

on ne veut dépenser que 2680'; quelh sera Fipaissewr de la couche (for f

SoLOTieii.

Surface 4e la prix ^ ^P^isMur

bottle. de l& dorure. de m eouche*

0,84 1 0,04X^Xp5 ^

Ainsi répaisseur de la couche d'or sera égale à rr^ôS ^^

millimètre^ on environ -rz de millimètre,

377. De ces exemples on déduit la pëgle praticpie 8uir vante, pour écrire de suite le résultat d'une règle de trois composée.

RÈGLE On écrit la 'oaleur de la quantité de mimé nature que V inconnue y puis on la multiplie successivement par le rapport des valeurs de chacune des autres grandeurs. Dans chacun de ces rapports^ la nouvelle valeur est au numérateur ou bien au dénominateur^ selon que |(| quantité dont il s'agit est directement ou bien inversement proportionnelle à la grandeur de même espèce que l'inconnue.

S78. La méthode précédente porte le nom de méthode de réduction à l'unité, parce que l'on fait subir à chacune des grandeurs qui accompagnent rinoonnue deuiL changements successifs ^ dans lesauels l'unité sert (^'intermédiaire. . ... ^ '

APPLICATIONS ARÎtmifiTÎQOÉS.

Ouestiônnidre.

Qu'entend-on par grandean proportionnelles? (368)

Qu'en leod-on par grandeurs inversement pr6poftidnn«II#«? (Sf9)

Qu'app^Ue-t»on règle de trois? (979)

Quand une règle de trois est-elle simple? (371)

Qnand une règle d6 trbit ett-elf« composée? (37 15

Quand une règle de trois simple estdie directe? (371)

Quand une règle de trois siniple estelle inverse ? (372)

Qeelle est la règle géfiërtle pour résoudre jes règles de trois? (377)

Problème sur Us ràgleg de trois (XXV bis),

tj. One étoffe d'une «t rtaine lonfueur eoûte 6 fr* ; combien coûter^ tina longueur 7 fois plus grande de |a jn^me étoffe?

2). L'huile contenue dans un vase pèse 4^s,7 ; combien pèsera l'huile contenue dans un vase 5 fois plus petit?

i). BAut fili da cuivrt ont !• milme p^ids 1 1« premier a un^ longueur de 62 mètres ; le second a, une section 6 fois plus petite que le premier; quelle est sa longueur?

4). Un fossé a l'jôS de largeur; si sa profondeur devient 3 fois plUg grande, quelle largeur faudra-t-il lui donner pour qu*ii eofttê le même prix?

9i), Un b^sin rectangulaire a une profondeur df l'^yOS; sa superficie est égale à 4"'' ,2809; quelle doit être la superficie d*un autre bassin de même capacité et dont la profondeur est 0*,85?

6). Un fossé de 415 mètres de longueur a coûté S91 franes; combien eoAtera un fossé de mèmi largeur, de môme profondeur et dont la longueur Fera 167 mètres?

7). il a fallu 24 jQUfs^U ouvriers travaillant 8 heures par jour pour creuser une tranchée de 480 mètres de longueur. Combien 15 ouvriers de môme force que les premiers, travaillant 7 heures par jour, em. ploieroDt*ils de jours à faire 1051 mètres du même ouvrage?

8). On tait que 48 ouvriers ont fait en 32 jours, tn travaillant 10 heures par jour, un canal de 800 mètres de longueur, 8 de largeur et 3 de profondeur; on demande quelle serait la longueur d'un canal de 9 mètres de largeur, 4 de profondeur que 60 ouvriers feraient en 40 jours en travaillant 9 heurs par jour?— On suppose que la dit fioulté du travail soit la mène et que les ouvriers soient de même force dans les deux cas.

%. jm L'INTÉRÊT SIMPLE.

579. On appelle intérêt le bénéfice qu'on retire d*une fomme prêtée^ qui prend alors le nom de capital.

L'intérêt se règle, d'après les conventions particulières ou légales, en prenant pour base le capital de 1 00 fr. L'inférët de |00 fr. est ce qu'on nomme le taux.

lôO APPLICATIONS ARTTHMÉTIQUBS.

Le taux légal est de 5 pour 100 par an et de 6 dans le commerce. Toute convention qui dépasse ce taux est défendue par la loi et rénutée muraire.

Il y a des taux inférieurs en usage, tels que 3, 4, 4 J pour cent, suivant les conditions réglées entre les parties contractantes.

Ainsi le taux de l'intérêt peut varier, mais le capital 100 francs, qui sert de base, est fixe et invariable. Aussi lorsqu'on dit, pour abréger, que l'intérêt 3, 4 ou 5, on entend que l'intérêt est de 3, 4 ou 5 pour cent, que l'on écrit souvent 0/0.

580. RÈGLE. Pour trouver f intérêt d'un capital quelconque pour un an à un taux donné, on multiplie le capital par le taux, et on divise le produit par 100.

DÉMONSTRATION. En effet, soit proposé de trouver rîntérêt de 6893 fr. à 5 pour 100 par an.

Puisque 100 fr. rapportent 5 fr. d'intérêt; 1 fr. rapportera f^; et 6893 fr. rapporteront fin? X 6893 = ^fi^^.

Effectuant les calculs, après avoir séparé deux cMflres décimaux sur la droite du produit, j'obtiens pour l'intérêt demandé 344'%65.

V intérêt à 5 pour 100 d'un capital quelconque s'obtierU en prenant le 20* du capital.

En effet, d'après la règle, il faut multiplier le capital par 5 et diviser le produit par 100, ce qui revient à prendre les jg^ du capital, ou, en simplifiant la fraction, le ^ du capital.

381 . RÈGLE. Pour trouver le capital, connaissant Fin^ térêtpour un an et le taux, on multiplie V intérêt par 100 et l'on divise le pi?duit par le taux,

DÉMONSTRATION. Eu effet, soit proposé de trouver le capital qui, placé à 4 pour 100, a rapporté en un an 760 fr. d'intérêt.

Puisque 4 fr. sont l'intérêt pour un an de 100 fr., 1 fr. le sera de iî^, et 7 60 fr.de li^X 7 60 = ^^2^^$^^ =19000 ^'.

Le capital demandé est 19 000 fr.

APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES I«l

Lorsque le taux est 5, il suffit de multiplier l'intérêt par 20.

582. RÈGLE. Pour trouver le taux, connaissant le cc^tal et V intérêt pour un an y on miUtiplie P intérêt par 100 et on divise le produit par le capital.

DÉMONSTRATION. En effet, soit proposé de trouver à quel taux a été placé un capital de 1670 fr. qui a rapporté 58'',45 d'intérêt en un an.

Puisque 1670 fr. ont rapporté 58^', 45 en un an, 1 fr. rapporterait ^^, et 100 fr. ^^\^l^^ = 3,50.

Le taux est 3,50 ou 3 |.

383. Cette règle sert à résoudre un très-grand nombre de questions dans lesquelles il s'agit de trouver le taux de Talent, soit gagné, soit perdu.

Problème. Une propriété qui a coûté 100000 fr. rapporte net, année conunune, 3500 fr.; à quel taux a-t-on placé son argent en achetant cette propriété?

Solution. 100000 fr. rapportent 3500 fr.; 100 fr., mille fois moindres, rapporteront |So« = ^ = 3,50 = 3 ^.

On a placé son argent à 3 -^ pour 100.

Problème. On a fait construire une maison qui a coûté en tout 140000 fr,, et dont la location rapporte chaque année 5880 fr.; à quel taux a-t-on placé son argent?

Solution. l'iOOOO fr. rapportent 5880 fr.; 100 fr. rapporteront ffg^ = 4 ^ .

On a placé son argent à 4 ^.

384. Souvent l'intérêt n'estpas demandé seulement pour une année, on peut le demander pour plusieurs années ou pour une portion de Tannée. De là la règle suivante:

RÈGLE. Pour trouver Vintèrét d'un capital pour un temps donnéj on multiplie Vintèrét d'wn an par le temps.

Si le temps donné est moindre qu'une année, on Tex* prime en jours.

Si, par exemple, l'intérêt était pour 123 jours, il faudrait multiplier l'intérêt d'un an par 123 et diviser le produit par 365 ; car 123J = i|| de Tannée* Dans ce cas, la règle générale devient :

l^% APPUGÀTIONS ARITHMÉTIQUES.

Ri9LE* P^wr trouver l'iniérk cCune somme peur un nombre de jours donnés^ [à un taux donné, on multiplie leca* pUoi -par k tauep^ puis ce premier produU par le nombre de jourSi et fan divise le produit totgl par 30500^

Dans le commerce, le taux légal éiani 6| et Tatmée oon* sidérée comme n'ayant que 360 jours, il suffît de multiplier le capital par le nombre de jours et diviser la pra« duit par 6000.

385. Pour compter le nombre de jours entre deux dates, on compte d'abord tous les mois comme s'ils n'ayaieitt que 30 jours ; mais on doit ajouter autant d'unités qu'il y a de mois intermédiaires de 31 . Ainsi du 1 5 juin au 28 septembre, je trouve 9 mois, intermédiaires ou 90 jours^ mais comme juillet et août sont des mois de 31 jours, je compte 8 jours de ^dus, ce qui fait 9â jours du 15 juin au 15 septèttibré; mais du 15 au S8 il y a 18 jours, il faut donc ajouter encore 13 à 92, ce qui donne 105 jours entre le 1 5 juin et le 38 septembre.

Les règles précédentes sont trop simples pour avoir besoin de démonstration.

580. Problème. Quel est le capital qui, placé à 5 pour lÔO par an, a produit en capital et intérêts au bout de 6 ans la somme de 6500 fr.?

100 fr. en un aïï produisent 5 fr. d'intérêt; en 6 ans ils produiront 5^'X 6 = 30^'; je dirai donc :

Puisque 130 fr. proviennent d'un capital de 100 fir.^ 1 fr. proviendrait de {^g/et 6500 fr. de ^$^ — 5000.

Le capital demandé est donc 5000 fr.

887, Froblèmb. Pour une somme de 48^0 fr., le débiteur a rendu à son créancier, au bout de 3 ans ^, um somme de 5820 fr. en capital et interdis ; à quel tnux av«it*il emprunté î

Je retranche 4850 fr. de 58âê &., et j« trouire 970 fr. pour les intérêts seuls pendant 3**^^3» 1^ ims; donc pendant ^ d'année, le capital a produit ^^^ a» 97 fr., et pen-> dant une année 97'' X 3 = 291 fr.

APPLIGÂTIOIfS ABITHMiTIQUES. 163

Connaissant le capital 4850 fr. et l'intérêt pour 1 an, 291 fr., on trouve facilement que le taux est 6. L'emprunt avait été fait à 6 pour 100.

888. Anciennement on se servait d'une autre ez|)ression f our ind^ quer le taux de l'argent : ainsi l'on disait prêter au denier 15, 20, 25 pour désigner le capital qui rapportait 1 fr. d'intérêt.

D'aprèâ cela prêter aa dèaier 20 dit à S pont iOO c'est exactement la même ^ose.

Cette simple définition permettra de résoudre toute» lis question d'intérêt d'après l'ancienne dénomination de denier.

Questionnaire.

Qu'enteod-on par l'intérêt de rargenit?

(379) Quel est llntérét légal? (379) Qu'entend-on par le taux de l'intérêt t

(379) Comment trouYe-t-on l'intérêt d'an ca<

pital, pour on an, à un taux donné?

Comment trouve-t-on rintérêt d'un capital pour un temps donné? (884)

Qu'enteUdalt-on par le denier dans las questions d'intérêt? (S88)

ProWmts n» l'intérêt simple (XXVI).

1). Qael est llntérât de 6805 fr. à 4 pour 100 par an?

2). Quelle est la somme fui a rapporté en un an 3600 fr. d'intérêt, à 4 i pour 100?

3) . Quelle est la somme qui vaut au bout de Tannée 6300 fr. ixrtérôt et capital compris, !e taux étant 5?

4) . A quel taux a-t^on placé un capital de 8000 fr. pour avoir ai^bout de Tannée 8280 fr., capital et intérêt compris?

8). Une personne a acheté pour 20000Ô fr. une propriété qirf lui à rapporté dans l'année 13400 fr. ; ane autre personne a fait eonstrui A pour 150000 fr. une maison qui lui a rapporté, bénéfice net, 10800 îrr, laquelle des deux a fait la meiUeure spéculation?

6). Un capitalistG consent à faire valoir à 6 pour 100 par an la somme de 40000 fr. t[u*on lui a confiée ; au bout de 2 ans 50 jouts, il rend la somme totale avec les intérêts; quelle somme a>-t*ii rtft* due?

7). Pour un capital de 450 fr. on a retiré au bout de 8 ans 576 fr., intérêt et capital compris ; à quel taux ce capital avait-il été plâcé?

8) . Quel est le capital qui, placé à 4 pour 100, a produit au bout dé trois ans 3360 fr., intérêt et capital compris?

9). Un voyageur avait prêté au moment de son départ 3400 f^. à 5 pour 100; à son retour, U reçoit, pour les intérêts et le capital, la somme de 4030 fr. ; combien de temps est-il resté absent?

10). Une personne voudrait, en plaçant un capital S 5 pour 100, retirer au bout de 8 ans la somme de 14800 fr.; quel capital doit-elle placer?

184 APPLIC3ATI0NS AMTHMÉTIQDBS.