pjaûBKifii^a biBS piu)poftTi(ms
418. On appelle proportion pat quotient, on simpleimn% 'prppprtion > l'égalisé 46 deux rapports par qm^ tient.
TAin8Î^.J,ef jpjatre non^Jbre^ ^% 5, MfSy tels qpe la ï^pport entre 20 et 5 est le même qne le rapport enti>a ^i et 8» formaAt imeL4>feporti(»i^ que l'oii 4crU de lé maxùère aniyante :
en séparant par deux points les detix termes de chaque rapport^ei les deux rapports ^pc^r le aigi^e ssj^» . Autrefois on écrivait
2Qi 5 ::8a:8;
en séparant les deux rapports ptl^ quatre ^poiiilt». Gbmme oe modt'^'^ck^ara *6^ remnmira souvent dans les anciens Auteuri^ B4iut' aTM» ora devoir i'itdiqueri On énonce la prflgportioa M&mAt %W%siàt> domm^ M
sa est rwtécédettt éa ]^mi«r liappoft, 1S le êons^^quënt; 32 rantécéd«iit du Ae^ond tapport^ 8 \t t)Otiééquént. 20 «t 8^ ^nés «tfs extrimMs dé la proportion, sont
20B APPWGATIO.\S AIUTHMÉTIOUK.
dits les extrêmes, 5 et 32, placés au milieu, «ont les
moyens.
On peut aussi écrire la proportion précédente sous la
forme -<^ = ^^.
419. Propriété fondamentale. — Dans toute propor^ lion par qmtient, k produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Démonstration. En effet, soit la proportion
dans laquelle le rap:[)ort constant est 4.
Au lieu des antécédents 20 et 32, je puis écrire 5X4 et 8X4; car dans tout rapport par quotient rantécédent est égal au produit du conséquent par la valeur du rapport, puisque l'antécédent est le dividende, le conséquent le diviseur, et la valeur du rapport le quotient ; j'aurai donc
oti Ton voit que les produits des extrêmes et des moyens sa composent des mêmes facteurs.
420. On peut encore démontrer cette propriété dé la manière suivante :
La proportion proposée peut s'écrire 2f =^, ce qui donne par la réduction au même dénominateur :
. 5X8 ^. bXô/. , ^
et les dénominateurs étant égaux, puisque 5X8 =s 8X5, on en conclut que
cequi,démontrela propriété énoncée. -
421. Cette propriété est tellement iroportttite par ses applicatioos, qu'il est nécessaire 4e prouver qu'elle p'appartient qu'aux proportions par quotient. ; r' ^ t
Si quatre nombres écrits sur une même ligne^ à la suite les uns des autres^ né sofU^pas en proportion^ ie.proimt des extrêmes ne sera pas é^àl a^ produit des moyens. * n ;, Démokstratjion. Soient^ par exemple, les nombres 6, 4,
APPXICATIONS ARITHUÉngUE^. 20$
20, 15 ; l& valeur du rapport entre 6 et 4 étant f, et celte du rapport entre 20 et 15 étant f^, je peux remplacer 6 par 4X|, 20 par 15><f-|, et écrire les quatre, nombres dans le même ordre:
4XÎ, 4, 15XH, 15.
Où Ton yoit que le produit des extrêmes 4X{ X 15 n'est pas égal au produit des moyens 4 X 15X^; et cela vient de ce que la valeur | du premier rapport n'est pas égale à la valeur f{ du second rapport, car les deux autres facteurs des ^ux produits sont exactement les mêmes.
422. Réciproquement. Si quatre nombrisi écrits sur une même ligne sont tels, que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quatre nombres forment v/ne proportion.
J^ÉMONSTRlfloiï. Car s'ils ne formaient pas une propor* tion, le produit 4et extrêmes ne serait pas égal au produit dea moyens; ce qui serait contraire à la supposition*
425. Il résulte, de la propriété fondamentale des proportions qu'(>» ^e.'Ut, dans toute proportion, changer la place des moym^^ refiverser les termes de chaque rapport, changer la place des rapports sans que la proportion cesse d'exister. Ce qui donne huit manières d'écrire la proportion.
Ainsi, dans la proportion : 20 : 5=32 : 8 (*)
J'obtiens successivement, en chaà« geani la place d^s moyens 20 : 32 =: 5 : 8 (')
En renversant les termes de cha* que rapport 5 : 20= 8 : 32 (•)
£n changeant les moyens de place 5: 8=20:32(*)
En changeant les rapports de place dans la proportion (*), 32: 8=20: 5(*)
En faisant sur cette dernière proportion des changements analogues aux précédents 32 : 20?= 8 : 5 (')
