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210 APPUGilTIÛNS AmTHMÉTIQU£l&.
On voit, en effet, que & et 02 sont to^jouï» moyens çu extrêmes eii8emi)le ^iosi que 20 et Q«
AS4.il resuite eqcofe de 1& propriété fQpdiHijieQ^le qu'on peut multiplier ou diviser les deux antécédmUf nmltipliâr ou diviser les dewB conséquents par ii^ même nombre sans altérer la proportion.
En effçt, on multiplie ou Ton divise & la fols l'un des extrêmes et l'un des moyens, ou bien l'un des moyens et l'un dés extrêmes par un même nombre, et par conséquent le produit des extrêmes reste toujours égat à celui des moyens,
425. Mais la conséquence ]a plus importante de la propriété fondamentale, c'est qu'on peut toujours déterminer le quatrième terme d'une proportion dont trois termes sont connus, d'après la règle suivante, h laquelle on a donpé le nom de règle de trois.
Règle de trois. — Pour déterminer le quatrième terme d'une proportion dont trois termes sont connus^ si le terme inconnu est un extrême^ on fait le produit des moyûns et on diUse ce produit par C extrême connu; si ifèst uHmoyeny on divise le produit des extrêmes par le moyen connu,
DÉMONSTRATroN. En effet, soit la proporti(m
X désignant le terme ineonnu.
Puisque ces quatre nombres sont en proportion, k produit des extrêmes 16 X« doit être égal au produit des moyens 28 X30. Je connais donc un produit 2SX 30 et un des facteurs 15 de ce produit^ j'obtiendrai l'autre facteur x en divisant le produit 28 X 30 par le facteur connu 1 5, et j'aurai par conséquent en indiquant la division
Simplifiant œtte expression fractionnaire^ en. eopprimaiU au munérateur et au dénominateur h facteur 15, j'obtieoi
Pareillement y 9oU la prppoirUoii
j'aurai par le mémt rf4sPQ09i9#n|
426. Les proportions ont encore d'antree propi^ét^s ^i peuvent servir à simplifier la ^lutkjin des prèl^èmèe. On peut les ramener aux propriété suivantes ?
2* Propriété. «^ Si l*on sjùutè chaque ëùn$êqueM à $9n antécédmti ou ^ on l'en reiraitiche ^ U y auta êneof$ propor^ Hon entre les ^mSire nombres.
V^imJ^J^A^?* gpit la proportion
En ajoutant le conséquent à Tantécédent dans chaque rapport, j'aurai la nouvelle proportion
En effet, chacun des nouveaux antécédents contiendra une fois de plus son conséquent j par conséquent, il y a égalité entre les deux rapports.
H en serait de même si Ton retranehdt le conséquent de l'antécédent ; les deux nouveaux rapports seraient seulement diminués d'uuQ unité*.
487, a* Propriété, —la somme df,s anUcidentse^t à la somme dès conséquents comme un antécédent est à son con^ séquent.
DiifOfisilUTioif* Soit k prqHMtion
changeant les moyens de place, j'aurai
et ajoutant le conséquetu è- l'antécédent dam cbtqut port, j'obtiena
SIQ4-«;32;!f5+:8
XI 2 APPLICATIONS ABITHMétIQUES.*
et changeant encore les moyens de place, '
On démontrerait de même pour la difféï'enoe des antécédents et des conséquents, et Ton autait
On peut étendre cette propriété à autant de rapports égaux qu'on voudra.
4S0. Dans toute suite de rappêrts égaux^ la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents comme un antécédent esta son conséquent.
DéniONSTRATiON. Soit la suite de rapports égaux
Je ne considère que les deux premiers rapports égaux qui forment une proportion^ et d'apre» la propriété ci-dessus, que la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent, j'ai
Au lieu du rapport 4 : 16, mettant le rapport égal 5 : 20, j'aurai la proportion
Appliquant à cette nouvelle propQrtion la même propriété, j'aurai
et au lieu du rapport 5 : 20, mettant le rapport 7 : 28,
proportion qui donna encore, en vertu de la même propriété, . .
A la place du rapport 7 : 28 je pourrais mettre un autre quelconque des trois autres rapports égaux, ce qui donnerait en tout quatre proportions, c'est-à-dii^ autant qu'il ) y a de rapports égaux dans la suite proposée;'
