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J'écris le nombre proposé, puis je tire une ligne verticale pour le séparer de la racine que j'écrirai à la droite et sur la même ligne ainsi qu'on le voit dans ce tableau.
Le nombre proposé étant plus grand que 1000 et moindre que 1 000 000 qui sont les cubes de 10 et 100, ne pourra avoir que deux chiffres à sa racine cubique, et le nombre 185 193, qui est considéré comme le cube de ce nombre composé de dizaines et d'unités, devra contenir les quatre parties énoncées ci-dessus ; mais le cube des dizaines donne des mille, par conséquent le cube des dizaines de la racine n'est compris que dans les mille du noûibre proposé.
£36 PUISSANCES ET RACIKES DES NOMBM».
Je sépare âenc par «m point les troÎB derniei^ ^^iffres à droite.
Le plus grand cube contenu dans 1^5 w^ 1^5 dont la racine est 5. J'écris ce chiffre 5 à la racine et j'en soustrais Je cube 125 de la première trandie à gauche 165, t5e qui donne 60 pour reste. Le chiffre 5 est véritablement le chiffre des dizaines, car le nombre proposé étant compris entre 125 000 et 216 0^0 sa radne cubique sera comprise entre 40et«0.
A la droite de ce reste, j'abaisse la tranche suivante, ce
Si donne le nombre 60 193, lequel ne contient plus que I trois paities suivatites, savoir :
3 fois le carré des dizaines par les unîtes,
3 fois les dizaines par le carré des unités,
Le cube des unités.
Or, le carré des dizaines donnant des centaines, la première de ces trois parties ne peut être renfermée que dans les centaines de 60 193. Je sépare donc les deux derniers chiffres à droite, et je divise la partie à gauche 601 par trois fois le carré des dizaines déjà trouvées à la racine. Ce triple carré est 75 que j'écris en regard de 601.93 comme pour la division.
Le quotient de 601 par 75 est 7.
J'écris ce chiffre 7 à la droite du chiffre déjà obtenu à la racine, et je fais le cube de 57 qui est précisément 185 193, qui, retranché du nombre proposé, donne pour reste 0.
La racine cubique du nombre proposé est donc 57.
4TO. Avant d'écrire le chiffre 7 à la racine, il est important de vérifier s'il n'est pas trop fort. Pour cela je l'écris un peu à gauche du diviseur 75, en le séparant par un petit crochet, et je fo'rme, en supposant que 57 soit la ra-
PUISSANCES ST RACEES DES NOMTOfiS. i^
cine, les trois parties qui doivent être contenues éaos 60 1 93 ; ou, ce gui revient au même, j« forme trois fois le carré des dizaioes, trois fois le produit des dizaines par les unités, le carré des unités; je fais la somme de ces parties et je la multiplie par les unités. Or, 75 est déjà trois fois le carré des dizaîneë; en triplant les dizaines 5, ce qU dohnè Ï5, et multipliant ce produit par 7, j'obtiens 105 dizaines que j'écris ëous 7b y en avançant d'un rang îe |)retoïéi* chiffre à droite ; car 75 représente des centaines et 105 seulement des dizaines. Le carré des unités -î «Bt M «[ue j'éeris m\jm 105 en avançant de même, et par une raison semblable, le premier chifPre d'un rang vers la droite. Je fais la sonmiede cbb trois parties et je multiplie cette somme 8599 par 7, en soustrayant e& même temps le produit de 60193, ce qui donne pour reste.
Ce procédé de vérification doit être emplojf é pour chacun des ebifires qu'on écrit à la racine après le premier. Si la soustraction peut se faire, le chiffre n'est pas trop fort,
474. Pour former le triple carré de la racine qui doit servir de diyœeur, cm m sert defe «ombres formés précédemment, Mni qu'il suit : on ajfmte k éoubte du troisième membre &oéc k mmére qui esl tiuniessm et la sommt rjui âH oiK^aotiis, en «lyaffit égard au fang des chiffres.
75 9747 = triple carré de 57,
Ainsi, dans l'exemple précédent, je double 49 et j'ajoute
le résultat avec 105 et avec 8599, en disant : 2 fois 9=: 18
-|- 9 = 27, je pose 7 et retiens 2; 2 fois 4=8-f-2depe-
tenue = 10 + 5 = 1 5 + 9 = 24, je pose 4 et retiens 2;
2 de retenue 4- 5 = 7, je pose 7 ; 1 + 8= 9, j« pose 9; et
j'ai 9747 pour le triple carré de la racine 57,
' En effet, la somme 8599 renfermant 75 = 3 fois le carré
\ des dizaines, 105 = 3 fois le produit des dizaines par les
' unités, et 49= le carré des uaités, si l'a* ajoute à cette
somme le nombre 105 et le double de 49, elle renfermera trois fois le carré des dizaines, six fois le produit des dizaines par les unités, et trois fois le carré des unités; donc elle sera égale à trois fois le carré de 57.
475. On raisonnerait et on opérerait de même si le nombre proposé devait avoir plus de deux chiffres à la racine.
Le raisonnement est analogue à celui qu*on a vu pour l'extraction de la racine carrée.
Exemple. Soit proposé d'extraire la racine cubique de 41314084993.
La racine cubique demandée est 3457.
476. On reconnaît qu'un chiffre écrit k la racine est trop faible si le reste est au moins égal au triple carré de la racine plus le triple de cette même racine plus un ; car la différence entre les cubes de deux nombres conséoatifs est toujours égale à trois fois le carré du plus petit nombre, plus trois fois ce même nombre plus un.
477. Si, à la fin de toutes les opérations, on ne trouve pas de reste, le nombre proposé est dit cube parfait et la racine exacte.
S'il y a un reste, le nombre n'est pas un cube parfait, et laradûe trouvée n'est qne la racine du plus grand cube contenu dans le nombre ; elle est exacte à moins d'une unité près.
Le cube de la racine trouvée ajouté avec le reste doit reproduire le nombre proposé ; ce qui peut servir de preuve de l'opération.
Dans ce cas il n'y a point de nombre qui, multiplié deux fuis par lui-méffle, reproduise le nombre proposé; mais
on peut obtenir la racine avec tout le degré d'approximation qu'on voudra.
478. Règle. — Pour extraire par approximation la racine cubique d'un nombre entier qui n'est pas un cube parfaity on abaisse successivement h la droite des restes trois zéros autant de fois que Von veut avoir de chiffres décimaux àlaracine, et l'on continuspar ce moyen l'opération d'après la règle.
Démonstration.— En effet, supposons qu'on veuille avoir la racine à moins d'un centième près y par exemple ; on abaissera d'après la règle deux fois 3 z^os, ce qui revient à opérer comme si le nombre proposé avait été multiplié par 1000000, mais alors la racine trouvée serait 100 fois trop grande ; pour la rendre à sa juste valeur, il faudrait la diviser par 100, c'est-à-dire séparer deux chifEres décimaux sur la droite de la racine.
479. RÈGLE. — Pour extraire la racine cubique d'une fraction ordinaire^ si le dénominateur est un cube parfait^ on extrait la racine du numérateur y laquelle pourra n'être pas exactCy mais alors avec V approximation qu'on voudra; ensuite on extrait la, racine du, dénominateur.
Si le dénominateur n'est pas un cube parfait, on multiplie les deux termes par Iccarré du dénominateur y ce qui donne une fraction équivalente dont le dénominateur est un cube parfait, et sur laquelle on opère comme il vient d'être dit.
4G0. Règle. — Pour extraire la racine eubiqus d'un nombre décimaly on fait en sorte que le nombre propod ait le triple du nombre de chiffres décimaux qu'on veut avoir a la racinCy soit en y suppléant par des zéroSy s'il y en a Tuoinsy soit en négligeant le surplus s'il y en a davantage; puis on opère comme sur un nombre entier, en ayant soin de séparer sur la droite de la racine le nombre de chiffres décimaux qu'on veut avoir.
481. En étendant les raisonnements précédents à la formation des puissances des degrés supérieurs et à Textrac • lion des racines des indices supérieurs au troisième, on
comprendra facilement la règle suivante :
i42 li^OI^ÂNCBS ET RACflKES DES NOMBRES.
R^L{} généraIe. — Powr txtre^e une racine quekonque d'un nombre entier^ on partage le nombre en tranches d'autant de chiffres quHi y a d'unités dans fmdice de la racme; puis, commençant par la gauche, on extrait la racine ée la première tranche. On écrit le chiffre à la place indi' guée par la racine^ et Von soustrait de la première tranche à gigtuehe la puissance de ce chiffre marquée par V indice de la racine proposée.
A la droite du reste^ m dbaUse la tranche suivante et on ùpave sur la droite un chiffre de moins quHl y a d^unitès 4&ns rindice de la racine; ensuis on divise la partie à gauche par un nombre formé de la puissance de la racine inférieure dhme unité, multiplié par l'indice de la racine.
On écrit à la racine le chiffre obtenu en quotient et Von fait de toute la racine la puissance marquée par IHndice^ que Von soustrait du nombre, formé pœr les deux premières franches employées.
A la droite du reste, on abaisse la tranchs suivante^ œ qui donne un nouveau nombre, sur lequel on opère comme sur le précédent.
On continue ainsi cette série d'opérations jnsqn*à ce qu'on ait abaissé successivement toutes les tranches.
La racine d*un noçabre entier qui n'est po^nt une puissance ex?«îte ne peut être exprimée d'une manere finie par aucun nombre^ ni fractionnaire ni décimal. En effet, si l'on admettait pour un moment que ceite raoine fût égale à une expression fractionnaire qu'on peut tou- JQurç supposer réduite à sa plus simple expression, il faudrait que la puissance de cette fraction, du même degré que Vin^ipe de la raciAe, reproduisît le nombre entier proposé. "Ce qui est impossible, puisque les puissances de deux nombres premiers entre eux sont aussi des nomlHies premiers entre eux.
La racine d'un nombre entier qui n'est pas une puisK^ice parfaite est dite irrationnelle ou incommensurable^ c'est-li^dir^ quj n'a point de commune mesure avec l'unité, ni par conséquent avec aucun nonibre entier ou fractionnaire.
Questionnaire.
QU'eat-ce que lec^b^ 4'un nqîBbM?(4<li) Comment forme-t-on le cube d'un nombre entier? (465)
iOe quai seeompeseU tube d^nntmlire con^pçsé dç dis^in^g e^ ^'UDité§?
pyi$|3A)îCQ8 ÇT BASOfCia Plft NÛIIBRBfi. S43
fraction oroinaire? (468) Gomment fonne-t-onlecobe d'un nom-
Itte décimai? (4<6) QQ*appeIle-t-on racine cnbiqne d'an
nomboe? (4701 Quelle est la règle ^ov^^ çi^^f^rç \s^ racine cubique d'un nombre entier?
(471) Gomment peqt-on reconnaître d'avance
combien de chiffres aura la racine?
(471) Comment peot-on s^nssurer si le chiffre
ni trop fort ni trop faible?(473,476) Qu'entend-on par un nombre cube par- ^faith4ny^'' '^ ** " ^»^ Comment peut-on extraire la fadM Vêt,
biquf d'tin qo.mbva entier i tel degré
d'apprQli^?tioïiqnQnvoH<ira? (<^78) Comment fait-o() ppu|p eztraiiie la rf-
cine cubique d'une fraction ? (47^ Comment faît-en pour extraire la racine
cnbMfçied'iin ném^ dédmal t][4l9)
Commet Wtwre W« WftW ««^lïl^'»que d'un nombjç çptjff.^ (^1)
Fonner le eube des nombres suivants r
iO).
P,3 ft,Q8 1,^5 2^006
fl,qû5T3
illtr^rp )a raqi?i3 cubique de» nombref mlya^^t^ î
li). 612
