PROGRESSIONS
482. (h% appdle en général PRoaRESsioif une suite de nombres telSy que le rapport de deux termes consécutifs est constamment le même.
Il ,y a deux sortes de progressions, comme il y a deux sortes de rapports, la progression par différence et la pro« gression par quotient.
On les nomme aussi progression arithmétique et progression géométrique : mais ces iénominations sont surannées et peu exactes
comme eeiles de proportion ari^^étique et proportion gé(Hnétrlqae pour désigner les proportions par différence et par quotient.
Le rapport constçjit d'un terme à celui qui le suit se nomme la raison de la progression.
V Progressions par différence.
485. Une progression par différence est une suite de nombres tels, que chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé^ d*un nombre constant^ qui est ]a raison de la progression.
Les suites des nombres suivants :
forment deux progressions par différence : la première est dite croissante, parce que les termes vont en augmentant et la raison constante est 2 ; la deuxième est dite décrois^ santé, parce que les termes vont en diminuant , et la raison est 4.
La manière d'exprimer la progression est motivée par la définition même de la progression. En effet, trois termes consécutifs quelconques forment tme progression par différence continue.
On é]y];)ce la progression en disant : ^est à b comme 5 est à 7 y comme 7 est à 9, et ainsi de suite , on plus simplement, en disant : soit la progression 3, 5, 7, etc.
484. RÈGLE. — Un terme de rang qmlconque d'un^ progression par différence s^ obtient en ajoutant au, premier terme, ou en retranchant du premier terme autant de foi$ la raison qu'il y a de termes mant lui, selon que la pro^ gression est croissante ou décroissante.
DÉMONSTRATioH. — Soit proposé de déterminer Iç 1 5* terme de la progression croissante
Puisque, d'après la définition, chacun des termes surpasse celui qui le précède de la raison qui est ici 5, le 2* terme sera égal au 1" augmenté d^ ^, le 3* sera égal au
246 POfôSANCBS BT RACINES DBS NOMBRBS.
2« àû^èûië de 5) et par conséquent égal m !«' augmenta de 2 fois 5, lé 4* s6t»a égal au 3« atignlteSité de 5, et par feoa»^ sê^uéht ati 1*, ^tigtaeaté de 3 fois 5, et ainsi de suit». Jusqu'au 15« terme qui sera égal au !•* augmenté d* 1* fois 5 =3 + 5X14 = 73.
Soit proposé dô détettnidfeî ië M* teMe de la progression décroissante
b^kprès la définition, on à le ^* lermë égal àU l*', dîthinné de la raison qui est ici 4; le 3* égal au 2' diminua âe 4, et par conséquent égal au 1**^ diminué de i foiâ 4; le 4' égH au 3« diminué de 4, et par consé^uébt égal au P' dinuaué de 3 fois 4, et ainsi de suite, jusqu'au 28*" terme qui sera égal au 1«' diminué de 27 foi64 = 625—4X27=5lï.
Cette règle dispense, comme cm lé voit, (i*écrire tous les nombres intermédiaires jusqu'au nombre cherché.
485. RÈGLE. — Pour déterminer le premier terme d une pro§res$iotï par différence dont onconnait le dernier terme ^ le nombre de$ termes et la raison^ on soustrait du dernier tehhe ou en lui ai^ute^ selon que la progression est croissante ou décroissante^ autant de fois la raison qu'il y a de térmu ovân) te d^miiri
48tt. RâoLB. — « Four déterminer ta raison d'une pro^ gressUm par diffù^ence dont en conneM le premier terme et le Amter, eÂnsi ftie le nombre des termtSy on divise la di^é^ 'nim des de^ termee peur ie nombre de te^^mes dimimi âè\.
Gè qui d^ùé te Moyen dft détentûner tou^ les tèrmed intermédiaires.
48t. Pîiot>l^iÉTÉ FONfiÀttEirrÂtE. — Dms toute prt^ires^ sionpar différence la somme de dmx fermes à égele distance des extrêmes est constante et égale par conséquent à la somme du premier terme et du dernier.
bîÉMoNâTRATioN. — En iôBét , ^t ttiè ))i^)igi'e«Â«ii qtielûon^ô
i3.?.li.l5a9.2â.27.dliB5.
PUI0ÔAKC68 £T i^ÛINËS DBS NOMSafiS. fi%f
Le S« terme est égal au V% 3^ «ugjftieBlé de ki mson 4; maislayant-derBier 31 est égal au dernier 35, dimiaué de la raison 4 ; donc le 2* + lavant-dernfer = 3 + 4 -f- 35 — 4 = 3+ 3S. Pareillement
1 1 + 27 = 7 + 31 et par conséquent = 3+35, 1 5 + 23 =^ 1 1 + 27 et par conséquent = 3 -f- 35,
el ainsi de miite»
4Ô8. Règle. — Pour trouver la somme de tous les termes d'une progression par différenùe dont on connaît le premier terme^ le dernier et le nombre de termes , on nmitiplie la somm^ du premier et du dernier terme par le nombre de termes^ et Von prend la moitié du produit.
DÉMOi*$ttiAtioN. — Soit k progression.
■f 3.Tai.l5.19*23.27.31.35.
Je rentfetfee i'bhirô des termes, efe qui denne la même pfogression, mais décroissante, que j'écris terme pour terme sous la première.
MaWtôfaant si je fiiis la sommé de ces deux pi*i%refesions terme à terme, toutes les somineS parlielléâ (3 + 35), (7 + 31), etc., seront égales entre elles et à (3 + 35)^ d'après la propriété fondamentale, et il y aura autant d« efeâ sommés partielles qu'il y a de lertneft dans la progression, c'ëst-à-dîre 9. La somme totale des déui progîe»'âons sera donc (3 + 35) 9; mais ces deux progressions sont composées des mêmes nombres, par conséquent leur somme est égale au double de la somme des t^:ines d'une seule, de It progression phjpbséëj donc la Bothliàè ded termes de la progression sera égale "k
Cette règle disp^se^ comme on le ?oit, d'^rire tous les termes de la progression et d'en fiiire l'addition, ce ijuî serait très-long.
480« Si Ton m ooanaissait que le premier terme» la
raison et le nombre de termes, îl faudrait commencer par calculer le dernier terme, et ensuite on trouverait la somme d'après la règle précédente.
Questionnaire.
Qu'est-ce qu'une progression ? (482)
Combien y a-t-il de sortes de progressions? (482)
Qu'est-ce que la raison d'une progression? (482)
Qu'est-ce qu'une progression par différence? (483)
Comment s^écrit une progression pa* différence? (483)
Pourquoi l'écrit-on ainsi? (483)
Comment trouve-t-on un terme de rang quelconque d'une progression par différence? (484)
Comment trouve-t-on le premier terme d'une progression par différence dont
on connait le nombre de termes, !e dernier terme et la raison? (48 S)
Quelle est la règle pour trouver la raison d'une progression par différence dont on connaît le premier, le dernier et le nombre de termes ? (486)
Quelle est la propriété fondamentale des progressions par différence? (487)
Comment trouve-t-on la somme de tous les termes d'une progression par différence dont on connjdt le premier, le dernier et le nombre de termes? (488)
Ou seulement le premier, la raison et le nombre de termes? (489)
Problèmes sur les progressions par diflférence
