XXXVII

i). Un domestique , entrant dans une maison , reçoit la l*"* année 240 fr. de gages, et son maître promet de lui donner 36 fr. de plus chaque année, s'il est content de lui : le domestique ayant toujours bien servi, on demande combien il recevra à la fin de la 17* année, et combien il a reçu en tout pendant ces 17 ans?

2). Une personne a dépensé dans un jour 3 fr. 40 c; le lendemain 20 centimes de plus, et ainsi de suite : combien a-t-elle dépensé le 16* jour, ebpendant tout ce temps?

3). On donne à un ouvrier, pour creuser un puits de 20 mètres de profondeur, 2 fr. poar le premier mètre, et 50 centimes de plus pour chaque mètre suivant, à raison de la difficulté du travaU : combien lui donnera-t-on pour le dernier mètre, et pour tout l'ouvrage?

i). On a placé une somme de 3500 fr. à 4 pour 100; chaque année pendant 24 ans de suite, on ajoute 300 fr. au capital de l'année précédente : on demande à combien se montent les intérêts?

5). Un voyageur qui veut arriver en 19 jours, s'arrange de manière à faire chaque jour 1 kilomètre de plus que le jour précédent; le dernier jour il a fait 58 lâlomètres. Combien a-t-il fait de kilomètres le premier jour et dans tout sou voyage?

6). On demandait à un domestique combien il recevait de gages par an? Je reçois maintenant 550 fr., répondit-il; la première année je n'ai reçu que 100 fr.; mais chaque année mes gages sont ang-

PmSSANCÈS Et RACINES DES NOMMES. »4Ô

mentes de 50 fr. Depuis con^ien de temps le domestique est-il dans la maison?

7). On sait qu'un corps tombant dans le vide parcourt, dans la première seconde de sa chute, 4"',90, et qu*à chaque seconde suivante il parcourt 9"*fiQ de plus qu'à la seconde précédente. En supposant qu'un corps soit tombé pendant 20 secondes, combien de mètres aura-f-il parcourus dans la dernière seconde de sa chute, et pendant ces vingt secondes?

8). Une somme de 800 fr. doit être acquittée par portions, au moyen de payements mensuels, savoir : 20 fr. le premier mois, et en augmentant à chaque mois d'une même somme, de sorte que le dernier payement soit de 80 fr. Dana combien de mois la somme serat-elle acquittée, et de combien chaque payement mensuel augmente-t-il ?

9). Deux courriers sont partis en même temps de deux lieux, distants de 420 kilomètres , en allant à la .rencontre l'un de l'autre : le. premier parcourt chaque jour 8 kilomètres, et le second 12 kilomètres de plus que le jour précédent ; ces courriers se sont rencontrés après 6 jours de marche, et le second a parcouru 36 kilomètres de plus que le prem er. On demande de déterminer le nombre de kilomètres parcourus, le premier jour, par chacun des deux courriers.

10). Un ouvrier a économisé 1596 fr. en mettant de côté chaque mois 4 fr. de plus que le mois précédent ; le premier mois il n'avait pu économiser que 3 fr. Combien a-t-il mis de mois à économiser cette somme?

2" Progressions par quotient.

490. Une progression par qiLOtient est une suite de termes tels que chacun est égal à celui qui le précède mulliplié par un nombre constant^ qui est la raison de la progression,

La progression est croissante ou décroissante^ selon que la raison est plus grande ou plus petite que 1 .

Les suites des nombres :

forment deux progressions, dont la première est croissante^ car la raison | = 3 est plus grande que 1, et la seconds décroissante, puisque la raison -^^ ={ est plus petite que 1.

On énonce les progression* par quotient de la même

S50 PUISSANGDS BT HÀGiHËS D£S N0MBRB9.

ffî&bière que les ^rogressioiie ptr difiëreBee (n*^ 465); et leur notation vient de ce que, d'après la définition même des progressioiis par qiiotieht, troîë tetméiJ consécutifs d'une suite seoiBiable forment toujours une proportion continue par quotient (n« 4114)*

49 1. RÈGLE. — Vn tetme de rang quelconque itiiHe progression par quotient s'obtient en multipliant le premier terme par la raison élevée à une puissance marquée par k nombre de termes qui le précèdent.

DÉMONSTRATION. — En effet, soit propose de déterminer le 10* terme de la progression fr 3 : 6 : 12 : 24......

et par conséquent lis 10» terme = 3 X 2*= 3 X 5 1 2 X 1536.

On tire de là facilement les règles suivantes :

492. RÈeLB. *— Pour déterminer le premier terme d'une progression par ijwottènt xibnt m lôonnaU le dernier eertrw, le nombre de termes et la raison^ on divise ce dernier terrm par la raison élevée à voie puissance marquée par le nombre de termes qui le précèdent»

493. RÈGLE. — Pour déterminer laraison d'une progrès^ sion par quotient dont on connaît le premier et le dernier terme, ainsi que le nombre des termes, on divise le dernier par le premier terme, et Von extrait du quotient ufiè racine d'un degré marqué par le nombre de termes diminué de 1 .

Ce qui permet d'insérer un nombre donné de moyens proportionnels entre deux nombres.

494. Propriété foj^damentale. — dans toute progrès* sion par quotient , le produit de deux termes à égale distance des extrêmes est constant, et égal par conséqmiU ûu prùdûU du premier par le dernier.

Démonstration. — En effet, soit enbore la progression

PÔIsSàHCËS fet hACtMES DfeS KOMBfeÈS. 051 Le 2* terme 6isb SXfj /

râVanl-dernièr 96=1Ô2X|;

donc 6X 96=3xi92X2X|=3X192;

de même lâ!>< 48=6x 9è;

et pat conjîéctuetit=^ âX i92, et ainsi de stîité;

498. ÏVégLe. — Pour trouver tè produit de tous les termes d^v/ne progression par quotient^ on muïtiplié entre eux les deux extrêmes y on élève ce produit à une puissance marquée par le nombre de termes^ et Von extrait la racine car* rée du résultat.

DÉMONSTRATION. — En effet, soit la progression

J'écris la même progression , en renversant l'ordre des

termes ^ 192 : 96 : 48 : 24 : 12 : 6 : 3.

Maintenant, si je fais le produit de ces deux progressions terme à terme, touk les produits partiels (3X192), (6X96). etc., seront égaux entre eux et à (3X192), d'après la propriété îfondamentale, efe il y aura autant de ces produits qu'il y a de termes dans la progression, c'està-dire 7 5 le produit de tous ces produits partiels sera donc égala (3X192)*^; mais ces deux progressions sont composées des mêmes nombres ; par conséquent leur produit est égal au carre du produit de tous lès termes de chacune d'elles, de la progression proposée ; donc le produit de tous les termes de la progression sera

VT3X"l'92)''7

^96. Règle. — Pour trouver ki somme de tous les termes d*une progression croissante par quotient, on multiplie le dernier terme par la raison^ on retranche du produit le premi^ tervfie^ et Von divise le reste par la rmson diminuée de 1.

BÉMONtsiBATiOi^. ->- Sbit^ en effet, la progression t>ar

quotittflt i4 2 >. 6 : 18 : 54 : 182 t \U^

doùt lÀ temm^ ^ra 2 -^ 6 4- 16 4- iS4 4- 1)6^ -f 11^6.

Je multiplie tous les termes par la raison qui est 3, et observant que le produit de chaque terme par la raison est égal au terme suivant, j'aurai pour résultat

qui représente le triple de la somme de la progression ; retranchant ces deux sommes Tune de l'autre, et ayant égard aux termes qui disparaissent, j'aurai

qui ne représetltera plus que le double de la somme, c'est-à-dire la somme multipliée par (3 — 1).

Connaissant un produit et un des facteurs, j'obtiendrai pour la somme demandée

497. Si Ton ne connaissait que le premier terme, la raison et le nombre de termes^ il faudrait commencer par calculer le dernier terme, et l'on trouverait ensuite la somme d'après la règle précédente.

498. Si la progression était décroissante, oi?. soustrairait du premier terme le produit du dernier multiplié par la raison, et Ton diviserait le reste par la différence entre Tunité et la raison, qui, dans ce cas, est plus petite que 1.

Exemple. — Soit la progression par quotient décroissante

Si Ton demandait la somme des neuf premiers termes, on trouverait d'abord que le neuvième terme est -j^, et par conséquent la somme demandée serait

499. Remarque. — Lorsqu'il s'agit de trouver la somme des termes d'une progression par quotient, si la progression est croissante, la somme est de plus en plus grande à

PUISSANCES ET HAGINËS DES ITOMBHES. S53

mesure que le nombre des termes augmente; mais ceU n'a plus Keu quand il s'agit d'une progression décroissante. En effet, plus on avance dans la série, plus les nom* bres sont petits, au point que, lorsque le nombre dei termes est très-grand, le dernier terme que l'on considère est extrêmement petit, et comme il doit être encore multiplié par la raison qui est plus petite que 1 , le produit sera plus petit encore, et pourra être négligé à Tégard du premier terme, dont il fallait le soustraire. La somme, dans ce cas, s'obtient donc en divisant le premier terme par l'excès de l'unité sur la raison, c'est la limite que ne peut jamais dépasser la somme de tous les termes d'une progression par quotient, quel que soit le nombre de termes que l'on prenne.

RÈGLE. — La limite de la somme de tous les termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini s'obtient en dvvisanl le premier terme par V excès de Vunité sur la raison.

Ainsi, la limite de la somme de tous les termes de chacune des progressions suivantes décroissante à l'infini :

TT l • 5 . ^ . t • >

est pour la première,

pour la seconde,

800. Au surplus, on pourrait déterminer Terreur que Ton commet, en prenant la limite au lieu de la somme exacte d'un nombre donné de termes d'une progression

décroissante.

Soit proposé de trouver la somme des quinze premiers terme» de la progression décroissante

çt qu'on fT^;çm vm^ '^ m^m 4?w*4é«}t II Uw^

Gomme le quinzième ter^i^^ Sf^rs^jt

lÔ**"^ 1 suivi de I4 2éfd¥,

Terreuç ne serait que

nombre extrêmement petit en effet.

$04. ^9 fpaçUoqç çléçimales périodiques peuTen^ être çonsidçrées comutte la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini.

Ka effet, la ftraetion décimale périodique 0»3997S7.... pfiut toe écfite sous la forme :

VH + T^ nîhro'" on bien ^ (i + fj^ 4.-^1^4,...).

Or, la limite de la somme de toutes les fractions renfermées dans la parenthèse, dans lesquelles on reconnaît facilement les termes d'une progression décroissante, est, d'après 1^ rè^le précédente,

par conséquent la limite de la fraction décimale proposée

0,373737 = t%X W=îi.

De là cette règle : Pour réduire en fraction ordinaire une fraction décimale périodique simple j on écrit pour numérateur les chiffres de la période et pour dénomf^uU^x mtfint de ^ a%*^ y q d^ fhiffrf* dans la 'période.

Si l'on avait la fraction périodique mixte 0,53737..., cette fraetion peut être mise sous la forme -j^ 4- A X 0,3737..., la fraction périodique équivaut à J|, et par conséquent la proposée