DE LA DIVISIBILITE' DES NOMBRES

29. Nous aurions beaucoup de choses à démontrer ici, mais dans un ouvrajçe élémentaire, il n'est pas possible de tout dire. Bornons-nous à faire quelque* remarques sur la divisibilité des nombres, lesquelles seront fort utiles par la suite, et nous fourniront souvent les moyens d'abréger considérablement \es calculs.

lo. Tout nombre terminé à droite par un def chiffres 0, 2, 4, 6, 8, est diirisible par 2. En effet, tout nombre se compose du dixaines et d'unités ; or, les dixaines étant divisibles par 2, si le chiffre des unités est aussi divisible p«r 2, le nombre doit nécessairement être divisible par 2.

Ainsi les nombres 6, 10, 12, 14, 18, 22, 4758, etc. sont divisibles

par 2, Tout nombre jouissant de cette propriété est dit nombre pair.

Les nombres 7, 9, 11, 21, etc. ne sont pas divisibles par 2 ; c'est

pour cela qu'on les ;' ' impairs.

2o. Lorsque les i? à droite d^un nombre forment un multi-

ple de 1, le nombre t : ........ , ... 1. En effet, tout nombre se compose de

centaines, de dixaines et d'unités j les centaines sont divisibles par 4 ; donc.

RAISONNEE. 31

si le chiffre des dixaines et celui des unités sont divisibles par 4, tout le nombre le sera aussi. Par exemple, 7924 est divisible par 4, parceque 7924 = 7900 j« 24 ; or 7900 et 24 sont les deux parties de 7924, et comme ces deux parties sont des multiples de 4, 7924 a aussi 4 pour facteur.

3o. Tout nombre composé de plus de 3 chiffres est divisible par 8, si les 3 chiffres cjin expriment les centaines, les dixaines et les unités, forment un multiple de 8, parceque un nombre qui a plus de 3 chiffres se compose de mille, de centaines, de dixaines et d'unités ; or les mille ont pour facteur le nombre 8 ; donc si les 3 derniers chiffres sont un multiple de 8, un nombre composé de 4, 5, 6, 7, 8, ... . 13 chiffres sera divisible par 8.

Tels sont, par exemple, les nombres 9112, 785120, 3174124, etc. Pour connaître si un nombre est divisible par 8, on essaie de diviser les 3 chiffres à droite par 8, et si la division ne laisse aucun reste, il est certain que tout le nombre est e!cacternent divisible par 8.

DO. Les nombres terminés d droite par 0 ou par ô, sont divisibles par 5.

En effet, en divisant un nombre quelconque par 5, le reste ne peut pas être au-dessus de 4 (26) ; si les dixaines laissent un reste, il ne pourra donc valoir que 10, 20, 30, 40, si le chiffre des unités est un 0 , et si c'est un 5, on aura, pour dernier dividende partiel, un des nombres 15, 25, 35, 45 ; or tous ces nombres sont divisibles par 5 ; donc tout nombre terminé à droite par Oou par 5, est divisible par 5.

6o. >i la valeur absolue des chiffres qui composent un nombre forme une somme divisible par 9, le nombre lui-même est divisible par 9. Ainsi 2 6 7 3 et 5 4 9 6 3 sont divisibles par 9, parce que, dans le 1er, la somme des chiffres est 18, qui admet 9 pour diviseur ; que les chiffres du 2e donnent 27 qui est aussi divisible par 9.

La raison en est bien simple : chaque dixainc est égale à 9 -f- 1 ; chaque centaine, à 99 -|- 1 ; ciiaque mille est égal à 999 ^ 1 ; et ainsi de suite. Or, il est aisé de voir qu'un nombre quelconque est un multiple de 9 augmenté d'autant d'unités qu'il y en a dans la somme des chiffres qui composent ce nombre : donc, si ce nombre d'unités que laisseront nécessairement les divisions partielles, est divisible par 9, le nombre proposé le sera aussi.

Pour rendre cette démonstration plus sensible, observons que le nombre 2673. par exemple, peut se décomposer de la manière suivante : 2000, 600, 70, 3. La Ire partie, divisée par 9, laisse 2 de reste ; la 2e, 6 ; et la 3e, 7. Ces 3 restes réunit avec la 4e partie, égalent la somme dos chiffres un nombre 2673, c'est-à-dire 18* Mais le nombre déjà décomposé peut encore se décomposer ainsi qu'il suit :

1000 4- 1000, -f 100 + 100 4- 100 + loo 4- 100 4. 100, 4. 10 4- 10 4- 10 4-104- 10 + 10 4- 10, 4- 3.

La réunion de toutes ces parties égale le nombre proposé. Or chacune de» 15 1res parties, divisée par 9, donne 1 de reste, il est facile d<; le voir; il y aura donc 15 unités de reste, lesquelles ajoutées avec la 16c partie forment 18, etc.

Donc, puisque le reste est divisible par 9, le nombre proposé admet ce même diviseur.

7o. Ce que nou^ venons de dire à Végard du nombre 9, s^ctpplique aussi au nombre 3, et la démonstration est à peu près la même.

Main remarquons de plus que, 9 étant un multiple de 3, tout nombre divisible par 9 Vest aussi par 3, quoique tout nombre divisible par 3 ne le soit pas par 9.

8o. Enfin lorxquUm nombre divise toutes les parties d'aune somme, il divise cette somme, parceque le quotient fourni par la division de la somme se com-

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pose de tous les quotient que Ton obtient en divisant set diTcrtcs parties par le même diviseur. Par exemple, 18,24, 12,30,42, 36, étant divisibles par C, il est certain que la somme 162, provenant de tous ces nombres, tsl .ui*si divisible par (3.

9. Tour connaître si un nombre est divisible par 10, 100, 1000, elt le No. 12.

Sota. — Tout nombre est divisible par lui-même, et donne 1 pour quotient : i.mis il I, ".«.', '.!nii;ii- (livi-ililf yi-ir un nombre plus grund que *^ i....;t;.-.