lo. Quand on multiplie le numérateur ^ une fraction par

2, 3, 4, etc., sans changer le dénominateur, cette fraction devient

2, 3, 4, etc. fois plus forte. En effet, le numérateur indiquant

combien de parties on prend de l'unité, et le dénominateur, en

combien de parties l'unité est partagée, si le numérateur devient

un certain nombre de fois plus grand, on prend un plus grand

nombre de ces parties ; le dénominateur restant le même, Tunité

tra toujours partagée en un môme nombre de parties, donc ces

irties seront plus grandes. Par exemple, si nous multiplions le

lîinérateur de la fraction -^j par 2, nous avons j^, nouvelle frac-

'on 2 fois plus forte que -^j.

2o. Si Von devise le dénominateur iV une fraction par un nombre entier quelconque, sans changer le numérateur, la fraction dcrieiidra encore un certain nombre de fois plus forte. En effet, !*• numérateur restant le même, on aura toujours lo même nombr»' de parties, donc elles seront plus grandes, et la fraction sera par conséquent augmentée. Soit la fraction -^^^ ; en divisant lo dénominateur par 4, nous avons ^, qui vaut 4 fois plus que j'j. Nous voyons, d'après cela, qu'on peut multiplier une fractiofi

par un eiàtier de 2 rnanièrcs : en multipliant le numérateur ou en divisant le dénominateur par l'entier.

Ainsi j'y X 4 = j"^ ou ^ ; ces deux produits sont oxaclemonf les mêmes.

Si l'on a bien compris les deux principes [^réceden*», il est farde de voir qu'en divisant le numérateur d'une fraction par un nombre entier, sans changer son dénominateur, ou en multipliant le dénominateur, sans changer le nimiérateur, on rend la valeur «le la fraction un certain nombre de fuis plus petite. De là, encore deux moyens de diviser \me fraction par un nombre entier. Soit proposé de diviser J par 4 : multipliant le dénominateur par 4, on a pour quotient ^^r ; en divisant le numérateur par ^. "•• aura ^, et ces 2 quotiens sont parfaitement les mêmes.

%32. // résulte des principes étabiiSj que la multiplication ou m division simultanée des dmx termes dUme fraction par le mhnc v.ombrej ne chan»;e pas la valeur de cette fraction.

Par exemple, si nous multiplions les deux termes de la fraction ^ par 7, nous aurons |^, qui est la même chose que j. En multipliant le numérateur par 7, nous rendons la fraction 7 fois plus grande, il est vrai, mais en multipliant le dénominateur aussi par 7, nous la rendons le mêTnie nombre de fois plus petite, donc il v a compensation, et la fraction est toujours la même.

Nous conclurons de là, qu'on peut écrire une fraction il um infinité de manières. Cette dernière propriété nous fournit 1<* moyen de réduire plusieurs fractions au même dénominateur.

IlEDLCTION DES FRACTIONS AU MEME DENOMINATEUR.

33. Pour réduire deux fractions au même dénominatenr, il faut multiplier les 2 termes de chacune d'elles par le dénominateur de l'autre. Soit § et J : je multiplie les 2 termes de la Ire. par 5, les 2 termes de la 2e. par 3, et j'ai j J et j| ; f*cs deux fractions sont les mêmes que ^ J (32).

En général : j)oiir réduire plusieurs fractions au même dénominateur^ il suffit de multiplier Ifs deux feinnes de chaque fraction par le produit des déHominateui's de toutes les autres fractions. En opérant ainsi, on ne change pas la valeur des fractions, et il est clair qu'on doit avoir un dénominateur commun, car le dénominateur de chaque fraction sera le produit du même nombre d<' facteurs, et les produits qui résultent des mômes facteurs, quoique multipliés dans un ordre différent, ne changent jamais (23).

Par exemple, s'd s'îigit de réduire Ji j» f à un dénominateur commun, je forme le produit de 4 par 7, qui est 28, et je multi-

RAI80NNEE. 35

plie les 2 termes de | par ce produit ; ensuite je multiplie aussi les 2 termes de J par 35, qui est le produit de 5 X 7 ; enfin je multiplie les 2 termes de ^ par 20 provenant de 4 x 5 ; j'obtiens ainsi les 3 nouvelles fractions ^^j^, { JJ, }|g.

On peut encore multiplier les 2 termes de la Ire. fraction par 4, ce qui donne f^, dont on multipliera encore les 2 termes par 7 et l'on aura /^^^, etc. : cela revient toujours au même (23).

Si l'on a les 3 fractions y j , |^» -jV à réduire au même dénominateur, on voit qu'il suffit de multiplier les 2 termes de la Ire par 2, et les deux termes de 2e, par 4, sans rien changer à la 3e, ce qui donne 2 ^Q. 7

Soient encore les fractions ^i j, y|^» âV • P®" importe le moyen que l'on emploie pour ramener les fractions au même dénominateur, pourvu qu'on puisse le faire sans en changer la valeur ; or ici, les 2 premières ayant déjà le même dénominateur, il n'y a qu'à diviser les 2 termes de la 3e. par 6, les 2 termes de la 4e. par 3 (32), et nous aurons 5, |, f , f .

Lorsque parmi les fractions proposées, il se trouve un dénominateur divisible par tous les autres dénominateurs, on peut opérer de la manière suivante.

Soient, è, I, i I, \h ih

Fractions réduites, if, if, if, |f , U, ih

Puisque 24 est divisible par chaque dénominateur, je divise 24 par chacun des dénominateurs, et j'écris le quotient au-dessous de chaque fraction, ainsi qu'on le voit ci-dessus ; je multiplie les deux tonnes de chaque fraction par le nombre écrit au-dessous, et j'ai de nouvelles fractions qui ont toutes pour dénominateur 24. (VoyezleJ^To. 26).

Si le plus grand des dénominateurs des fractions à réduire n'est pas divisible par tous les autres, on prend le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs, et l'on opère comme nous venons de le faire.

Example. Soient les fractions -g-, -j^y -J> i? -f-J-» j-*

Le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs,

étant 36, les fractions réduites sont ^f , -j-jr> ih "ST^ "H» TT'

ca

SIMPLIFICATION DES PRACTIONS.

- 34. D'après ce que nous avons dit au No. 32, on peut exprimer Ic8 fractions d'une infinité' de manières, mais il e«t plus avantageux de les écrire par les plus petits nombres possibles ; par exemple, les fractions |, ^j^, -j^^, jj, ^J, sont toutes les mêmes; mais la fraction J est beaucoup plus simple, parce que le numérateur et le dénominateur étant plus petits, on ?'<• fonue dIus uisément l'idée de la valeur de la fraction.

Soit proposé de simplifier la fraction ^^ ; «m nous riij)|)»!am r.e que nous avons démontré (29), nous voyons que les deux termes de cette fraction sont divisibles par 6, et si nous efiectuoiLs cette division, nous aurons ^jj î comme les 2 termes de celle-ci sont encore divisibles par 9, il vient J.

Soit encore |2J : divisant les 2 termes par 9, on a ^f , traction égale U IJg, mais plus simple : 12 et 81 sont encore divisibles par 3, et, fesant l'opération, on obtient ^. Les 2 tempes de cotte fraction n'ayant plus de facteur commun, elle ne peut plus ôtre simplifié ; c'est pour cela qu'on l'appelle fraction irriductible. J, j^-, sont aussi irréductibles.

On appelle nombre premUr celui qui no peut être divisé par aucun autre nombre ; 3, 6, 7, 11, 13, etc. sont premiers entre eux.

Observons qu'un nombre divisible plusieurs fois de suite par d'autres nombres, est divisible par le produit de ces mêmes nombres : ainsi 108 et 729 étant divisibles par 9, et ensuite le quotient par 3, ces deux nombres sont divisibles par 9 X 3 ou 27. C'est une conséquence du No. 23.

Quoique le numérateur et le dénominateur d'une fraction n*o!^ frcnt aucun des caractères de divisibilité dont nous avons parlé (29), on ne doit pas conclure qu'ils ne soient pas divisibles par un autre nombre ; mais les remanpies qu'il faudrait faire pour découvrir les cas où les nombres sont divisibles par d'autres nombres que par 2, 3, 4, 5, 8, 9, étant fort compliquées, et ne pouvant convenir qu'à des cas particuliers, il est bon d'avoir une métliode qui nous fasse connaître le commun diviseur, s'il existe, ou qui nous montre que les 2 termes n'ont pas de commun diviseur, si la fraction est irréductible.