DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

35.* On appelle plus 2;rand commun diviseur le plus grand nombre qui en divise exactement deux autres.

Soit ^^ : Puisqu'il s'agit de trouver un nombre qui divise en

bAiâojNNEË. 37

hiêmc tems 126 et 336, il est clair que ce nombre ne peut pas <&tre au-dessus de 126, car, dans ce cas, il ne diviserait pas 126. Mais 126, se divisant lui-même, pourrait être le plus grand commun diviseur, s'il divisait 336. Divisons donc 336 par 126. Le quotient est 2, et il reste 84 : 126 n'est donc pas le commun diviseur de 126 et 336. Rappelons-nous que le diviseur multiplié par le quotient, plus le reste, égale le dividende (27).

Ainsi, 126 X 2 =: 252 ^ 84 = 336. Donc, si 84 divisait 126, il diviserait aussi 336, puisque 336 se compose de 2 fois 126 plus 84 ; dans ce cas, 84 serait par conséquent le commun diviseur cherché ; mais 126 divisé par 84 donné»' )t;j)our quotient ■et 42 de reste ; donc il n'est pas non plus le comi»xun diviseur. Si 42 divisait 84 j il diviserait aussi 126 et 336 ; car 126 = 1 fois 84 4- 42 ; et 336 = 2 fois 126 -f- 84 (27). t;;;^^

Divisant 84 par 42, le quotient est 2 et le reste, 0. D'où nà^9 concluons que 42 est le plus grand commun diviseur de 336 et de 126. Si l'on simplifie la fraction ^§|, en divisant les 2 termes par 42, elle deviendra |.

« En général : Pour trouver le plus grand diviseur commun de 2 nombres, on "divise le plus grand par le plus petit j si la division se fait sans reste, le plus petit nombre sera le plus grand commun diviseur cherché ; s'il y a un refte, on divise le plus petit des nombres proposés par ce 1er reste ; si le reste de cette division est 0, le 1er reste est le diviseur cherché ; dans le cas contraire, on divise le 1er reste par le 2e, et si le 3e reste est 0, le 2c est le diviseur demandé.

" Enfin, si après avoit Continué à diviser les restes successifs les uns par les autres, on parvient au reste 1 , il faut conclure que îos 2 nombres n'ont pas de diviseur commun, et alors la fraction ne saurait être simplifiée.

Remarque très-utile. — La simplification sert non seulement à réduire les fractions à des expressions plus simples, mais encore à abréger considérable tnent certaines divisions.

Par exemple, si j'avais 95000 à diviser par 2500, je vois que le dividende et le diviseur peuvent tous les deux être divisés par 100 ; il n'y a qu'à supprimer dfux 0 à droite des 2 nombres proposés (12) ; alors, je n'aurai que 950 à diviser par 25, et le quotient sera exactement le. même que celui de 95000 par 2500. En effet, je prends un dividende 100 fois plus petit que le véritable, mais en rendant aussi mon diviseur 100 fois plus petit, il y a compensation, donc les quotient ne doit pas changer. Mais 950 et 25 sont encore divisibles 5>tr 5, de sorte que ma division se réduit à 190 divisé par 5, et le quotient

EXTRACTIO-N UL3 T-NTIERS.

36. Toutes les fois que le numérateur d'une fraction surpasse son dénominateur, elle contient des entiers : pour les extraire, il **uffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

88 ARITUMETIQUE

Soit la Iracuon V*, en divisant 72 par 9, on a 8 unité?- CRt la valeur de la Iraction.

Pareillomcnt ^^ rr 30 ; \^ = 3 et |, etc. Lorsqu'on a fiiu la division, s'il y a un reste, on l'écrit à droite du quotient, et on lui donne le diviseur pour dénominateur. Ainsi le quotient de 65 par 4 est 16 ^.

ADDJTION DES FRACTIONS.

37. Pour additionner plusieurs fractions qui ont le même dénominateur, on ajoute tous les numérateurs, et l'on écrit sous la somme le dénominateur commun. Ainsi la somme des fractions 7', J, f , est f

Mais si les fractions k ujoiiU r ont des dénominateurs différent, pour pouvoir les réunir, il faut préalablement les réduire au même dénominateur, parce que deux ou plusieurs quantités, quelles qu'elles soient, pour pouvoir être comparées, doivent avoir une commune mesure, c'est-à-dire, être de môme espèce. On ne peut additionner J et |, car dans la Ire de ces deux fractions, l'unité n'est partagée qu'en 4 parties, et dans la 2e. elle est partagée en 5. Il faut donc transformer ces 2 fractions aux équivalentes, ^^y ^, et ensuite opérer comme dans le cas précédent : ce qui donne |j. Extrayant les entiers, on a 1 ^ç.

Soient encore les fractions f , 77, f ; en les réduisant au mêmt dénominateur, il vient yj' W? "i"! > ^^ fermant la somme des numérateurs, à laquelle on donne le dénominateur commun, on a pour la somme des 3 fractions -j-l, ou 1 yV*

Remarque. — Pour bien comprendre cela, n'oublions pas que yV Teut dire. -1 divisé par 18 ; -^-^ indique aussi le quotient de 3 par 18, et -J-^, celui par 18.

Or, si noi's ponvions cflccluer chacune de ces divisions indiquées, il est v\ident que nous n'aurions qu'à réunir les 3 quoliens, pour en avoir la somme ; mais ces divisions ne pouvant se faire, attendu que le dividende est plus petit que le diviseur, on se contente de les indiquer ; et puisque nous avons la faculté de ramener toutes ces divisions à avoir le même diviseur, sans les changer (32), nous réunissons tous les dividendes, et, au lieu de 3 divisions indiqués, nous n'en avons qu'une, et par conséquent qu'une seul quotient. [ :!- r nous divisons tous les nombres à la fois. C'est-à-dire, (jue nous imlu. divisions en une seule. En d'autres termes, nous additiennons les ^u.Hl: avant que les divisions soient faites.

Par exemple, soient les 3 nombres entiers 36, 48, 16, à diviser par le même nombre 4 ; on peut diviser chacun d'eux par 4, et l'on a 36 : 4 = 9 48 : 4 = 12 16 : 4 = 4

et 100 : 4 = 25

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En ajoutant ces 3 quotiens, on a 26. Mais si l'on divise par 4 la somme des 3 nombres proposés, qui est 100, on obtient le quotient 25 par une seule division, ce que l'on ne pourrait pas faire, si les diviseurs étaient différens. Donc, pour pouvoir ajouter plusieurs fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur, etc.

C'est le contraire de la remarque No. 23.

Cette démonstraction n'a été faite par aucun auteur que je sache, mais j'ai appris, par de nombreuses expériences, qu'elle est absolument nécessaire : les élé/es ne comprennent pas pourquoi on additionne les numérateurs sans additionner les dénominateurs.

38. Quand les nombres entiers à ajouter sont accompagnés de tractions, on additionne d'abord les fractions, selon les règles que nous avons données, et s'il y a des entiers, on les extrait pour les Joindre à la somme des nombres entiers, que l'on additionne comme à l'ordinaire.

Ainsi, pour réunir 12 ^, 4.f, 8 f , |^, f, je forme la somme des fractions, ce qui me donne ^f ; cette fraction contient 2 unités et f ; j'ajoute ces 2 unités à la somme des nombres entiers, et j'ai pour la somme totale 26 ^.

On peut parvenir au même résultat, en mettant les entiers sous une forme fractionnaire ; pour cela, il suffit de donner 1 pour dénominateur à chaque nombre entier, de cette manière y"^ "f' ^ > cela ne change pas les entiers, car chacun des nombres 12, 4, 8, divisé par 1 donnera toujours 12, 4, 8. Mais il faut réduire ces 3 dernières fractions au même dénominateur que les autres ; à cet efiet, il n'y a qu'à multiplier les 2 termes de chacune d'elles par le dénominateur commun des autres, c'est-à-dire par 7, et nous aurons -u} . --?> . -'-3 , ^. A. JL, A. A • la somme est i i. •* OU 26 f .

39. On peut encore réduire les entiers en fractions de la même espèce que celle qui lej accompagne ; il faut pour cela multipHer l'entier par le dénominateur, ajouter au produit le numérateur de la fraction, et lui donner le même dénominateur.

S'il s'agit d'additionner 5 ^, 3 jT, on dit : 2 fois 6 font 10, et 1 font y ' 6 fois 3 font 18, et 5 valent ^ ; En réduisant ces deux fractions au même dénominateur, on obtient y} ^ ~-^ ^ dont la somme est 5^, on peut simplifier cette fraction en divisant les 2 termes par'2 (29 et 34), ce qui donne ^^ ou 9 ^ (36).

Soit encore proposé de réduire 4 en cinquièmes : je n'ai qu'à multiplier 4 par 5, et à donner au produit le dénominateur 6, ce qui fait ^.

Cela s'appelle réduire un entier en fraction (Vitne espèce donnée. Cette transformation ne change point l'entier, car si l'on rend un nombre 5 fois j)l us fort en le multipliant par 6, en le di-

40 ARiTHMcrr'^Trr

visant ensuite par le même nombrr, on m* hiki n i*>!h pius jK*tii , dans ^\ on trouvera toujours 4, etc.

Irc Question, — Sur une pièce de toile, on a vendu 2 verbes j, plut J, plu» 4 V. i, plu» 3 ; combien cela fait-il en tout 1

Réponse, 8 fcrge* et i .

2c Question. — 12 gallon», plus ?, plut 6 j, plus i, plus ^ ; combien C( 1» fait-il de gaHons î

Réponse, 19 gallons 1- 3e. Queition. — 4 lÎTrc» J, plus 5 lir. ], font 10 liv. i.