MULTIPLICATION COMPLEXE

(>ô. Veut-on savoir, par exemple, combien coûteront 13 livres 10 onces de* thé, à 3 chelins 8 pennys la livre : observons d'abord que, puisque 1 livre vaut 16 onces, 1 once vaut y*^ (30), donc 1 0 onces valent { §^ : en simplifiant cette fraction, nous avons la fraction équivalente | (34).

Ainsi, au lieu de 13 lîv. 10 onces, nous aurons 13 hv. }, ce qui est exactement la même chose.

Pareillement, 1 ch. valant 12 pennys, 8 pen. égalent fj ou f de chelin.

De sorte que, l'opération se réduit à multiplier 13 et | par î et}.

0r,{i'aprè8 la règle (lu No. 42, nous avons mi x U = '-J,-?-** Il s'agit maintenant de trouver la valeur de cette fraction en chelins, en ponnys, etc. Pour cela, il n'y qu'à diviser le numérateur par le dénominateur, ce qui donne (36) 49 chelins et JJ. Pour savoir combien cette dernière fraction vaut de penny s, puisque

1 ch. vant 12 pen., multiplions le numérateur 23 par 12, ce qui nous donnera le nombre 276 pennys, qui, divisé par le dénominateur 24, fournit 11 pen. plus -jj ou J. Ainsi le prix de 13 liv 10 onces de thé, à 3 ch. 8 pen. la livre, est juste 49 ch. 11 p. -J. £t comme 20 ch. font 1 louis, divisant 49 par 20, nous avons

2 louis 9 ch. 11 p. J.

Remarque. — Pour réduire un nombre quelconque d'unités à une espèce d'unités immédiatement inférieure à celle qui précède, «7 faut le multij)lier par le nombre (Tunités qui composent une unité de Vordre supéHeur.

Par exemple, s'agit-il de savoir combien 15 louis font de chelins, le louis se composant de 20 ch., on a 15 x 20 = 300 ch.

i^l2 et 14 ch. = 12 X 20 = 240 + 14 = 254 ch.

£9 5 ch. 4d. valent 9 X 20 = 180 + 6 = 185 ch. X 12 =r 2220 -f 4 = 2224 pennys.

5 livres 3 onces valent 5 X 16 = 80 + 3 = 83 onces.

7 toises 4 pieds S pouces 2 lignes valent : 7X6 = 42 + 4 = 46 pieds X 12 = 552 -|- S = 560 pouces X 12 = 6720 4^ 2 = 6722 lignes.

Pour former des unités d'un ordre supérieur., il faut diviser.

Veut-on savoir combien 640 chelins font de louis, 640 : 20 = 32 louis.

69 onces *. 16 =r 4 livres et 5 onces ; etc.

On voit d'après cela que, si l'on veut savoir ce que valent le

J de JBl, il faut multiplier le numérateur par 20, et diviser le pro-

duit par le dénominateur. De cette manière, on trouve que

7 V 20 J do £1 = -— 1^ — = 17ch. plus J : cette dernière fraction

se réduit en pennys, en multipliant par 12 : — ^ = 6 pen.

Ainsi les J de £1 sont 17 ch. 6d.

Le Jde jei est2ch. 6d.

J de toise valent — ^ — = 4 pieds.

f de 1 pieds valent ^.* =10 pouces.

RAISONNER. es

i de 1 franc valent ^ .^ ^^ = 16 sous.

Les J d'une livre sont — -~ — = 14 onces r

Les j de 1 arpent =: — — =r 6 perches.

Ainsi de suite. Cela s'appelle évaluer une fraction d'une espèce donnée.

Les fractions décimales s'évaluent de la même manière, mais il faut se rappeler que le dénominateur est sous-entendu. Ainsi, après avoir multiplié la fraction décimale par 20, par 12, par 6, par 16, etc. suivant la nature des unités que l'on veut avoir, comme ci-dessus, il faudra diviser par 10, ou par 100, ou par 1000, etc. selon que la fraction exprime des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc..

Soit proposé de trouver en chelins la valeur de 0,8 de l£. multipliant 8 par 20, on a 160 ; on divise 160 par 10, parceque la fraction vaut des dixièmes ; cette division se fait au moyen d'une virgule (51 et 52), et l'on a 16,0. C'est-à-dire que les 0,8 d'un louis valent 16 chelins. Pareillement les 0,55 d'un chelin valent 55 X 12d. =r 660, qui, divisé par 100, donne 6,60, ou ce qui est la même chose 6 pennys et -^^^ ; simplifiant cette dernière fraction, on a 6d. §-.

Il est inutile de donner un plus grand nombre d'exemples sur cet article. Nous voyons déjà que les fractions décimales jouissent d'un grand avantage sur les fractions ordinaires, puisque une virgule suffit pour faire une division ; c'est ce que nous sentirons encore mieux par la suite.

Revenons à la multiplication des nombres complexes.

Prenons, pour 2c. exemple, 4 toises 2 pieds 5 pouces 7 lignes^ à multiplier par 1 louis 6 ch. 2d,

Ces différentes unités ne sont autre chose que des fractions les unes des autres : Par exemple, 2 pieds valent f de la toise ; 5 pouces, y*^ du pied, etc. réduisons tout à la plus petite espèce, suivant les règles de la remarque ci-dessus, et nous trouverons que 4 toise, 2 pouces, 5 pieds, 7 lignes valent 3811 lignes ; et comme 1 toise vaut 864 lignes, nous prendrons ce nombre pour dénominateur et nous aurons ^^^^ toises.

Ensuite l louis 6 chelins 2 pennys valent 314 pennys. 1 louis valant 240 pennys, nous avons |^ louis.

Donc îiJ X ^îlV?;^ = W/;^o* ^^"^^ ^"» ^" simplifiant,, f gfJJIJ. Divisant le numérateur par le dénominateur» on trouve

i4 ARITHMETKlUi:

5 louis, plus -/f?;^^7î ; multipliant le numérateur de ctuc dcrmcre traction par 20, pour réduire en chclins, et divi-^ant n.ir le dénominateur, on obtient 16 cbelins, plus ^^a\r miplifiant, f iîlJ ; le numérateur multiplié par 12 et divis< nonùiiuteur, doime 6 pennys plus j^ J^j ou ^Jg.

Ainsi le produit cherché est 5 louis 15 chellings de penny.

Cette méthode convient h. toute sorte de nombres complexes,

mais elle exige plus de calcul que celle que nous allons exposer.

Ce que nous allons dire n'étant que la consii;;- -• — - ' • - — - '^

rr|ittition de ce que nous avons déjà dit sur lu i

tiers et sur la multiidicatioii des fractions, nous i

«mplcs propres à faire connaître Tusage et la légitimité de ia muitipiicaliuii «les nombres complexes.

1er. On demande quel est le prix de 24 cordes de boi.«.

son de 1*2 cht'ilns 6 pennys la f-M-'- ^ 12 G

Réponse, 300 chelins, soit 16 loiiis.

Oii multiplie d'abord 24 par 12, selon les règles ordinaires : «n suite, considérant que 6d. sont la moitié d'un ch. il est clair qu'après avoir pris le multiplicande 12 fois, il faut le prendre encore une demi-fois, or la moitié de 24 est 12 que l'on écrit sou» les produits partiels de 24 par 12 ; l'addition fait iJOp ch.

Qui, divisés par 20, donnent 15 louis.

2e. Si une livre de sucre coûte 9 pennys, combien coûteront 27 livres 8 onces ?

27 liv. S onccj»

27 hv. a6d 13ch. 6d.

27 liv. à 3d G 9

8 onc. ou ^ liv. à Ud. 4 ^

Produit total . . £1 Och. 7 Jd.

Il se présente une foule de moyens pour résoudre la question : il'abord nous pourrions multiplier 27 par 9, ce qui nous donnt-

kAlSONNEE. G.'S

ait 243d. et comme 9d. sont le prix de 1 liv., 8 onces étant -^ IV. doivent valoir la moitié de 9d. ou 4d. et J, ce qui ferait en tout 247d. ^, et divisant 247 par 12, nous aurions 20 ch. ou £1 rt 7jd. De plus 9d. étant les ^^ ou | du ch., il suffirait encore de prendre les J de 27, etc.

Mais il est plus expéditif de décomposer 9d. en parties ali- #[uotes du chelin, c'est-îi-dire en 6d. qui sont J chelin, et en 3d. qui en sont le ^ ou la moitié du -J chelin : or, 6d. étant la moitié de l'espèce d'unités que nous voulons avoir au produit, nous prenons la moitié de 27, en disant : la ^ de 2 est 1 que nous '•crivons dessous ; le ^ de 7 est 3 plus 1 ; nous posons 3 sous le 7 ; le 1 qui reste vaut 12d. dont la J est 6d. que nous posons à droite des chelins ; de sorte que 27 liv. à 6d. font 13 cii. 6d. Il faut maintenant trouver ce que valent 27 liv. à 3d. : il suffirai^ pour cela, de prendre le ^ de 27, puisque 3d. sont le ^ du ch. : mais J est la moitié du J, c'est-à-dire que 3d. sont la ^ de 6d. ; donc, puisque 6d donnent 13 ch. 6d., 3d. doivent donner la i dr ce prix. Disons donc : la moitié de 13 est 6 que nous posons sous 13, et il nous reste 1 ch. qui qui vaut 12d., et les 6d. qui sont à côté de 13 font 18, dont la J est 9d. que nous plaçons sous le 6. Enfin il ne nous reste plus qu'à trouver le prix do 8 onces : considérons que, puisque 1 livre coûte 9d., 8 onces étant les i^ ou le J de la liv., le prix de 8 on. doit être nécessairemnnJ la J de celui de 1 hv. ; la moitié de 9d. est 4d. J. En additionnant le tout, on trouve 20 ch. 7d. J, ou £ 1. 0. 7. J.

3c. Supposant qu'un minot de blé se paie 3 francs 15 ,«ms. 'ombien paiera-t-on 36 minois ?

3G a 3 francs font . . ^'■''^ A^ancs. 36 à 10 sous ....

36 à 5 sous

Produit >. Réponse.

4c. ( ombien coûteront 18 livres J de thé a 7 fran' la livre ?

18 liv. i i . . . 7fr. 17 sous :