SOUS
vaut
i.l . . 126 fr.
9 ( Produits de IS par 1 10 sous. y7j: Ils. ou de If. IT
"18 I ;)ar IH ^22^.
3 18 4 f Produit ^
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l a 7f. 17 valent . 147r. 3s. j, prodnitde 18 Jp. 7/ 17#.
oc. S'agit-il (le savoir combien coûteront 9 toises, 3 pirds. 4 (>ouces. 6 lignes d'ouvrairo. a €2 4 di. fxî. 4^(1. In t(MS(>
Produit de 9 toises par 2 louis 18
de do. par 4 ch. . . 1 10 r\\.
de do. par 1 ch. . . <> — 9 —
(if do. par 4 d. . . 0 3
de do. par 1 d. , . 0 0 9 d.
de do. par ^ d. . . 0 0 4 ^ d.
pour 3 pieds 1 2 2 J
imur \ ^ned '" — 7 — 4 — }^-.
pour 4 pourcs i) i' 5 ^^.
pour 1 fiouc^' 0 — I' — 7 — iV*~-
pour 6 lignes 0 0 3 |g|.
Produit total £21 5
Multiplions 9 par 2, nous aurons 18 louis ; puis, pour multi- ,>jier 9 par 4 ch., considérant que 4 ch. sont les ^ ou le y de jEl 1^ (41) il faut prendre le 3- de 9 toises, en disant : le -5- de 9 est jg 1 plus £, 4 ; nous posons 1 sous 18, et les £ 4 restant valenT 80 c\\. •^)nt le \ est 16 ch., que nous écrivons à droite des louis, il est aisé de voir que 9 t. k 4 ch. font 36 ch. ou £ 1
RAISONNEE. 6T
16 ch.) Maintenant il faut multiplier 9 t. par 6 d. ; nous avons plusieurs moyens de le faire : d'abord, 5 d. étant les -f-^ du chelin, si nous connaissions le produit de 1 ch., nous n'aurions qu'à en prendre les -^ô pour avoir celui de 5d. ; cherchons donc pour 1 ch. en disant : puisque 4 ch. donnent ;£ 1 16 ch., 1 ch. donnera le ^ de ce prix ; or, le ^ de 1 n'est pas ; mettons 0 sous 1 ; ce 1 valant 20 ch., et 16 ch. font 36, dont le j est 9 ch. (il faut avoir soin de barrer les chiffres de ce produit, afin de ne pas les faire entrer dans l'addition.*
Mais à présent, au lieu de prendre les yô- de ce produit, décomposons 5d. en 4d. plus Id. ; ayant le prix de 1 ch. il est facile d'avoir celui de 4d., puisque 4d. sont les yj o" ^® 3 d" ch. ; ainsi le |^ de 9 est juste 3 ch. ; pour Id., il n'y a qu'à prendre le ^ du produit de 4d. : le J de 3 ch. est 0 ; les 3 ch. valent 36d. dont le J est 9d. Il nous reste encore à multiplier 9 t. par Jd., ce qui est bien facile: puisque nous avons le produit de Id., prenons-en la moitié, qui est 4d. ^.
Jusque là nous avons multiplié 9 t. par 2 louis 4 ch. 6d. ^, ou, ce qui est la même chose (22), nous avons multiplié 2 1. 4 ch. 6d. ^ par 9 1.
Il nous reste à multiplier par 3 pieds 4 pouces 6 lig. : à cet effet, considérant que 3 pieds sont la ^ de la toise, prenons la moitié de 2 1. 4 ch. 6d. J, qui sont le prix d'une toise, et nous aurons le prix de 3 pieds :
La J de 2 1. est 1, que nous plaçons à la colonne des louia ; la ^ de 4 ch. est 2, que nous écrivons pareillement sous les ch. ; la ^ de 5d. est 2, plus un penny ; nous posons 2 à la colonne des pen., et il nous reste Id. qui (39) vaut |, et le ^ qui se trouve à côté de 6d. font (37) |, dont la moitié (31 et 46) est | de penny.
Actuellement il faut multiplier par 5 pouces ; pour le faire plus facilement, formons un produit auxiliaire, comme nous l'avons fait précédemment, c'est-à-dire, cherchons le produit d'un pied, en prenant le ^ de celui de 3 pieds : le ^ de 1 est 0 ; 1 louis vaut 20 ch. et 2 font 22 ch. dont le ^ est 7, plus 1 ch. qui vaut 12d.,
• Les Arithméticiens appellent cela unfauT prothnL rnnis il me semble qiic 'expression produit auxiliaire est préférable.
^^V^ ^ Il If II (Mf? f l/\ II»
♦it 2 valent 14 ; le ^ di- i m. «--i -i, |mus -u. (jui valent J, et J font y , dont le J ent ', j. Au moyen de ce produit do 1 pied, quM ne faut pas oublier de barrer, noua aurons le produit de 4 pouces, en prenant le j| de ce produit auxiliaire ; en effet, 1 pied vaut 12 pouces, donc 4 pouces sont les jj ou le j^ de 1 pied. Ainsi le ^ de 0 est 0 louis ; le ^ do 7 ch. est 2, plus 1 cb. qui vaut 12d. et 4d. <^galent 16, dont le ^ vaut 5d. plus Id. qui, réduit en fraction de colle qui vient après, vaut y r» ^^ \lF ^^'^^ f if dont le i égale §5^.
Enfin, il faut encore trouver le produit de G L^, .. ...ù-
avions le produit d'un pouce, il suffirait d'en prendre la moitié, par avoir celui de 6 lig., puisque 6 lig. sont la moitié d'un pouce ; formons donr. encore le produit auxibaire de 1 pouce ; en prenant le J du prix de 4 pouces : le J do 0 est 0 louis ; le ^ de 2 ch. est encore , mais 2 ch. valent 24d. et 5d. font 29, dont le ^ est 7d., plus Id. valant J^ et JJ égalent ff, dont le ^ vaut -jVt* La J de 0 égale 0 1. ; la ^ de 0 égale 0 ch. ; la ^ de 7 est 3d., reste Id. qni vaut lyv et .tt font -fTT ^^"^ *» i vaut ||j.
En a'' 1 ♦'' '".nt selon les règles données (37 et 63), on trouve £ 21 Cette fraction vaut J penny et /^ de penny, car
elle peut ôiio décomposée en ^i pïus -jj? et yj = i*
6e. ^^'i )•> toises d'ouvrage coûtent 1 louis, combien en fera-ton Cl' Il -onme de 36 louis, 12 ch. 3d.?
i s ont dit qu'il fallait prendre, pour multiplicande, le
noi' r!<:; I • ' .cce d'unités que l'on reut avoir au produit, mais cctti»
pré ta .1 à Tiit inuUle., ou le principe du No. 22 serait faux.
13 t. par 36 1. 12 ch. 3d. ou rtc-
ilcule pas aussi rigoureusement les fraction» ; ua d's ' ou des -L au plus, en ayant soin, lorsqu'on n^ijui Jraction, de donner un peu plus de taleur à un ««tr'». xnsation approximatiTc.
108 T. Opi.
Opou.
Opts.
RAISONNEE. 69
nous aurons le même produit : rappelons-nons seulement que cr sont des toises que nous cherchons ici.
£ 36 12ch. 3d.
Produit de 13 par 36
Do. par 10 ch. . . .
Pour 2 ch. . . .
Pour 1 ch, . . .
Pour3d. . . .
Réponse . . . 475 1. 5 pi. 9 pou. 3 li. 7pt8. y.
On multiplie d'abord 36 par 13 ; ensuite, pour multiplier 13 par 12 ch., on prend la J de 13, en disant : la ^ de 13 est 6, plus une toise qui vaut 6 pi., dont la J est 3 pi. : ces 6 t. et 3 pi. sont le produit de 10 ch. puisque 10 ch. sont la J du louis. Il restr donc à prendre pour 2 ch., lesquels sont le y de 10 ch. : ainsi le t de 6 1. est 1, plus 1 t. valant 6 pi., et 3 pi. font 9, dont le j est 1 pi., plus 4 pi. qui valent 48 pouces, dont le y est 9 pou., plus 3 valant 36 lig., dont le j est 7 li., plus 1 li. qui égale 12 points, «iont le y vaut 2 pts., plus t. Il faut maintenant multiplier par 3d. : pour le faire avec plus de facilité, on forme un produit auxiliaire, en cherchant pour 1 ch., et pour cela, il suffit de prendre la moitié de ce qu'ont donné 2 ch.
lia J de 1 t. est de 0 1. ; cette toise égale 6 pi., et 1 pi. font 7, ilont la ^ égale 3, plus 1 pi. qui vaut 12 pou., et 9 font 21 pou., «lesquels prenant la J, on a 10, et 1 pou. de plus, qui, réduit en lig., donne 12, et 7 font 19 li., dont lu ^ donne 9, et 1 de reste (^ui vaut 12 pts., et 2 valent 14, et la ^ do 14 égale 7 sans restf : la J- de J égale ^. Barrons ce produit auxiliaire et prenons-en le J, ce qui donnera pour 3d., puisque 3d. sont le J de 1 ch. : lo J de 0 est 0 t. ; le ^ de 3 est 0 pi., reste 3 pi., qui valent 36 pou., et 10 font 46, dont le ^ est 11 pou., et il reste 2 pou., lesquels valent 24 li., et 9 font 33, dont le ^ est 8 pou., plus 1 qui vaut 12 pts.. ot 7 égalent 19 ; le ^ de 19 est 4 points, plus 3 qui valent
V et \ font V dont ^ vaut J. En additionnant, on trouve
476 t. 6 p. 9 pou. 3 li. 7 pts. |.
Quelque compliquées que soient ces sortes d'opérations, en raisonnant comme nou^ venons de le faire dans ces sept exemples, il n'y a pa» un cas qui puisse embarrasser l'homme le moins exercé et le moins habile ; c'est pourquoi nous ne tuMH arrêterons pas davantage sur la multiplication.
