REGLES DE TROIS

73. Ce serait ici le lieu de parler des proportions et des règles dites de troisi mais ces règles, quoique fort ingénieuses en rllesmênies, sont souvent sujètes à bien des iuconvéniens, surtout quand une question se trouve un peu compliquée : Nous allons démontrer que Ton peut facilement se passer des proportions, et donner les moyens de résoudre, sans leurs secours, toutes les questions qui s'y rapportent. On trouvera ce procédé nouveau, sans doute, mais on conviendra, nous l'espérons, qu'il est aussi facile, et peut-être plus simple que l'autre ; d'ailleurs, il est basé sur la raison, et à la partée de tout âge et de toute intelligence.

1er. ProblôiiK' : 75 «nivriers ont gagné ensemble 96 louis; combien 28 on ivaillant chacun autant que les premiers,

gagneront-ils ?

1 ère. Solution :

Si l'on connaissait la part de chaque ouvrier, eir la multipliant par 75, nombre d'ouvriers, on aurait évidemment 96 louis : or la part de chaque ouvrier doit-ôtre nécessairement la 75me. partie du gain total 96 louis : Il faut donc prendre le y^ de 96 (41 et 42), ou diviser 96 par 75. Ainsi 96 1. divisés par 75 selon le» principes du No. 66, donne £1 . ô . 7. ^. Telle est la part que doit avoir chaque ouvrier. Si l'on multiplie cela par 75, on trouve effectivement 96 louis (65). Maintenant, pour repondre à la question, on dira : puisque 1 ouvrier^ul gagne 1 1. 6 ch. 7d. }, 28 ouvriers doivent gagner 28 f^Wautant : donc, £ 1 . 5.7.} X 28 = 35 1. 16 ch. 9 d. J- (65). ^ C'est ce que gagneront 28 ouvriers. 'uft

On fera bien d'opérer de cette manière :^k =r £ 1,28 (56) pour un ouvrier, et £ 1,28 x 28 ouvriers = t^,84 (64).

L'opération étant terminée, on évalue la fractiw0,84 de louis en chelins, pennys, etc. (65), et l'on a £ 35 . 16 . 9 . f-.

Nous ne saurions trop recommander l'usage des décimales : comme on le voit, on fera dix opérations dans le même tems qu'on emploie pour en faire une sur les nombres conapîexes.

2e r Salut! on.

' ' i rons ce qu'est le nombre 28 ouvriers par rapport à lu " oir les questions sous le No. 72) : il est clair, d'après

RAISONNEE. 79f

l'énoncé de la question, que le travail de 28 ouvriers est les If de celui de 75 ouvriers ; conséquemment, puisque 28 ouvriers fournissent les ff de la force de 75 ouvriers, ils doivent avoir le» fl de 96 louis. Or il n'y a qu'à prendre les ^f de 96 (41), et l'on obtient pour réponse à la question £ 35,84.

Mais en peut aussi réduire la fraction ordinaire en fraction décimale (56) f f = 0,3733 X 96 = £35,84. C'est toujours le même résultat.

3e. Solution.

74. Représentons par x ce que doivent gagner 28 ouvriers par rapport à ce qu'ont gagné 75 ouvriers, et donnons-lui pour dénominateur le nombre 28, -^^ ; mettons pareillement sous la forme d'une fraction les nombres 96 louis et 76 ouvriers de cette manière f |.

Il est évident que ces deux fractions doivent être parfaitement

égales, puisque chacun des 28 ouvriers doit avoir autant que

chacun des 75 ouvriers. Nous savons d'ailleurs que, pour être

de même valeur, il n'est pas nécessaire que deux ou plusieurs

fractions soient exprimées par les mêmes nombres, puisque une

fraction peut être représentée d'une infinité de manières san«

changer de valeur (32 et 34).

.- , X louis 96 louis

ÎN ous avons donc ^t^ = ^r-

28ouv. 7o ouv.

On sent que l'égalité de ces deux fractions existera toujours, bien que le nombre 28 puisse varier à l'infini ; car si le nombre 2S n'était que 14, par exemple, qui est la moitié de 28, le nombre inconnu, représenté par le numérateur x, diminuerait aussi de la moitié. Si le nombre d'ouvriers 28 devenait mille fois plus fort, la valeur du dividende ou du numérateur x deviendrait aussi mille fois plus forte, parce que plus il y aura d'ouvriers, plus ils gagneront ; donc l'égalité qui existe entre les 2 fractions sera invariablement la même.

(Via s'appelle une équation.

l^a partie qui se trouve à gauche du signe d'egahté, est le 1er. membre de l'équation, et la partie qui est à droite, est le 2e. ynemhre.

Knfin puisque ^^ = ^J, il est clair que si nous multiplions par le même nombre ces deux fractions, c'est-à-dire, les deux membres do l'équation, nous n'en troublerons point l'égalité : C'est cctto propriété, évidente par elle-même, qui nous fera connaître la valeur de x. Multiplions donc les deux mcmbrcîs de notre équation par 28, et x se trouvera dégagée : Ainsi que nous Ta-

.uii^ Ml ^-i-i-j' i»'"ji ujumjjiiir uiif traction par mmi «JinouiiiiuUjur, il suffit de suppriinur co dcnotniiiutcur : Hn effet, j^jj, par exeiii- [)lo, signifie (jui; le nombre inconnu x doit titre divise par 28, mais un nombre quelconque multiplié par 2H et ensuite divisé par 28, restera toujours le même.

J>onc en supprimant le dénominateur de la fraction ^, cette fraction so trouvera multipliée par 28 ; mais pour conserver l'é- «jalité des deux quantités que nous comparons, il faut aussi multiplier ^^ par 28 (31). Nous nous contenterons pour le moment

«l'indiquer cette multiplication, et nous aurons a: =r — ~-'

Pour tirer le valeur de x, il n'y qu'à cff'ectuer les calculs indii\[xés, c'est-k-dire multiplier 96 par 28 et diviser le produit par 75, ce qui donne £ 35,34 pour le gain de 28 ouv.

Maintenant, pour se convaincre de ce que nous avons dit, on n'a qu'à mettre le nombre 35,84 à la place du numérateur j; ^ vf ^ = ^5-, diviser les deux numérateurs, chacun par son dénominateur respectif, et l'on trouvera le même quotient ^'1,28 pour la part de chaque ouv.

Ou bien, réduire les deux fractions ^-j-'j * et y-g- au même dénominateur, on verra qu'elles sont parfaitement semblables et égales et toute chose.

Cela pourra servir de preuve à l'opération.

L,, ^. ., a- ^ • • -i louis li^ou».

'équation pouvait encore être posée ainsi : — gg — = — = — :

Lorsque nous serons anivc.-. .i ucs « aiihjjh .^ ui :i-v,'jiu'^ui{u»..s. on sentira mieux la supériorité de cette méthode : par ce moyen, on pourra résoudre, sans peine, des problèmes dont la solution est impossible par le moyen des proportions.