QUESTIONS COMPOSEES

75. Les problèmes que nous allons résoudre ne présentent pas plus de difficulté que les précédens.

1er. Problème : Sachant que 8 arpens de terre ont rapporté en 3 ans 305 piastres, on demande ce que rapporteront 15 arpens en 7 ans, supposé que chacun des 15 arp. rapporte autant chaque année, que chacun des huit arp.

Les arpens et les années sont les causes^ et les produits sont

les effets.

^ X piastres 15 arp. ^ 7 ans t^, . i ,.

On a ^ = - — î- X 3 . Dégageant x, il vient,

Remarquons que l'on peut simplifier (34) quand il y a lieu ; diviser par le même nombre l'un des numérateurs et l'un des dénominateurs, n'importe lesquels, cela ne chunge rien au résultat et abrège beaucoup les calculs. Tci le numérateur 15 et le dénominateur 3 sont divisibles par 3, ce qui donne

X = I X ^ ^ ^^^' D'où X = 1334,375 piastres.

Il n'y qu'à faire ce qui est indiqué, c'est-à-dire multiplier 306 par 7, multiplier le produit par 6, et diviser ce 2e. produit par 8. On trouve ainsi que 15 arpens rapporteront en 7 ans p. 1334,375 ou 1334 p. 1 ch. lOd. J. (65).

Soit £333. 11. lO.^l.

2 e. Solution.

Cherchons ce que rapportent 8 arpens en 1 an ; il suffit pour cela de diviser 305 piastres par 3, nombre d'années : 305 ! 3 =r 101,6666 piastres, rapport de 8 arp. en 1 an.

Puisque 8 arp. produisent 101,6666, un seul arp. d<»ii produire !e J de cette somme : or, 101,6666 : 8 = 12,7083.

Le produit de 1 arp., en 1 an, étant 12,7083, il n'y a qu'à multiplier cela par 15, et l'on aura le produit de 15 .irp. pour 1 nn : 12,7083 X 16 = 190,6245.

li AIUTHMETiaVE

Pour avoir pour 7 ans, il faut prendre cette somme 7 fois

190,6246 X 7 = 1334,3716 piastres.

En <^vuluant la fraction 0,3715 (65), on trouvera à la fin uf» peu moins de J penny, à cause do la fraction périodique 0,666,

ijy.i . I. .];<V,;.-,.iw./. ri'»'--» •■•"■•". ri... ^■'',u^

Multiplions 8 arj). par 3 ans, ce qui nous donnera 24, que noufv Considérerons comme des arp. ou eonune des années, n'importe multiplions éi^alement 15 arp. pur 7 ans; le produit est 106.

Alors la question sera ch.in£f*'*e en oello-ci, mais le ré.sultat a'en s<;ra pas moins le même :

'24 iiiis ou arp. ont nipnorti 'on n rîi{)port'

licjjauae. L*m6({Uc 21 produisent 30.3, 1 seul arp. doit rupin^rt' r le :.'. de 305; consequemmrnt 1 f ."> rapporteront les ^^^

8oit réquation 4- = • ^ ' ' ^ "' '' = 1334,376.

Nous pourrions encore donner d'autres moyens de solution,

i!:iis .'1. MIS 1;«i -.-crois i\\\\ rtiidians le plaisir de les trouver eux

2;;. rroblcjnu : 0 hoiniiio^, travaillant 7 heures par jour, ont mis 10 jours nour fliirr 20 toi.-t • d'ouvrage ; combien en feraient i h )iiu)! s • i2 heures par jour \

1 ' . J.cs honiiiiL'.-, ï\:s ]o\xxà <- 1 les heures sont les causes^ et les , r t. 1 ho. 18 j. 12 heu.

sSimpiMiam. ..■ - j X •]- X *^ X 2 ; u"uu i ~ - f ' z= \ '. ■

'^\ Puisque chacun des 6 hommes travaille pendant 10 jours, un seul hoaimL' emploierait 6 fois plus de jours pour taire lo inOme ouvrage ou 60 jours ; les journées étant composées de 7 heures, 60 x 7 = 420 heures ; réduisant pareillement les 18 journées de 4 hommes en heures, on al. S x 4 x 12 = 864 heures. Alors la question est changée en celle-ci : 420 heur«'-> éi travail donnent 20 toises, combien donneront 864 heures ?

RAISONNEE. 8^

On pourrait chercher ce que donne 1 heure, en divisant 20 t. ;^>ar 420, et l'on n'aurait qu'à multiplier le quotient par 864, ce qui satisferait à la question.

Ou ce qui est la même chose, 20 X f fj =r 41 t. ^. réponse.

Soit j^ = f IJ, etc.

liUESTIO:NS RELATIVES AUX INTERETS, AUX ASSURANCES, ETC.

76. Ire. Question. — Si 100 piastres rapportent 5 piastres dans un an, combien rapporteront 2725 piastres dans le même tems ?

1°. Puisque 100 rapportent 6, 1 piastre ne rapportera que la centième partie de 6 p. ; or il suffit de prendre les 0,06 de 2725, car si une piastre rapporte 0,C5 de piastre, la somme proposée doit rapporter 2725 fois 0,05. Ainsi 2l'25 X 0,06 = 136,25 p. ou 136 p. i,

2'. Soit ^ = ^W; d'oàx= ?^^ = 136,26.

^3°. 100 rapportant 5 d'intérêt, 200 donneront 10 ; 300 pro- <iuiront 15, etc. Il s'agit donc de savoir combien la somme proposée contient de fois KO, et pour cela, il n'y a qu'à diviser cette somme par 100, ce qui se fait au moyen d'une virgule (51 et 62). On tiouve ainsi, que 2725 vaut 27 fois cent, plus une fraction, c'est-à-dire 27,25 ; et 27,25 X 6 = 136,25.

Mais on peut aussi multipiier par 5, et ensuite diviser par 100, cela revient toujours au même.

77. Nous déduirons donc cette refile g^Snérale : Pour avoir Pintérêt d'une somme quelconque pendant un an, il faut multiplier la SOMME ou CAPITAL par le taux de Pintérêt, et diviser le j/rodnit par 100.

2e. Trouver l'intérêt, pour 1 an, de 1 70 louis, à 6 p. -^ (6 pour 100).

Réponse, iZ? ^ = £10,20 ou 10 louis 4 chelm*:.

rrouvcr l'intérêt de 15 louis à 5 p. -[}. pour 1 an :

— ^-~ = £0,75 ou lA rl.ilt-.o.

KKJ

' ' >,, demande l'intérêt de f. 265,25 à 4 p. g.

^^?^2Li = f. 10,61 ou 10 francs 12 sous ^ de bomb.

8fl A&lTHMETiaUB

3c. Quel «cr» Tintérêt de 321 louis b chclins pour 1 ans et {, ù 3} p. ^ par an Y

P. 1*324.5. X 3i = (65) ^,Jd}^±ILI = (66)

jL' 1 1 . 6 . 1 1 • Y^jy pour l'intérôt d'un an. Comme on demande pour 4 ans J, on a £' 11 . 6 • 11 • -,^5 X 4 J = (66), pour 4 ans J, £51 . 1 . 4 . ^J. Cette fVaction de penny vaut un peu plus de Jd. : on peut Pévaluer en la décomposant en JjJ plus ^jj ; or (34) ^g = -J ; donc ^J valent ^d. plus ^^ de penny. ^2^- Nous allons maintenant résoudre la même question par le moyen des décimales, et l'on verra que nous avons eu raison de dire qu'il est plus expéditif d'opérer do cette manière : 5 chelins sont les /jy de 1 louis, puisqu'il faut 20 chelins au louis (30). Mais -i^îy = J (34), et J = 1 0,25 (56). Au lieu de JL'324 • 6, nous aurons donc £ 324,25. Par les mêmes principes, 4 ans ^ seront représentés par 4,5 ; enfin 3 J p. g, s'exprimeront par 3.5 p. 8-

Alors nous avons pour l'intérêt d'un an,

Et (77) £iL?^!5Z5 = £ 11,34875 (52), pour 1 an.

Multipliant ce nombre par 4,5 on a

£ 11,34875 X 4,5 = £ 51,069375 pour 4 ans ^. Evaluant la fraction 0,069375 en chelins, pen., etc., on a (66) £ 51 • 1 . 4 . iJ.

6c. TrouTcr l'intérêt de 140 louis à 2 J p. ^ l'an, pour 6 mois seulement. Comme six mois sont la moitié de l'année, on pourrait prendre

140 X 1 25 la moitié de 2 J qui est 1 ^ ou 1 ,25, et l'on aurait i:__î — =

£1,75, ou £1 . 15. 0.

Mais on a aussitôt fait de chercher d'abord l'intérêt d'un an, et ensuite en prendre la moitié. Ainsi 140 1. à 2 J, ou à 2,5 p. g donnent £ 3,50 pour 1 an.

La moitié est £ 1 ,75.

Si Ton demandait pour 1 mois, il faudrait prendre le -fg de l'iatérêt de 1 an ; pour 2 mois, ce serait les -fj ou (34) le ^ ; pour 3 mois, les -jj ou le J ; pour 6 mois, les yV ; pour 7 mois, les

RAISONNEE. 87

^'^; pour 8 mois, les Tjouf; enfin pour 15 moLs ce serait les \-j ou les |, etc.

Pour 15 jours, la moitié de 1 mois, ainsi de suite.

7e. Combien rapporteront, en 1 an 4 mois et ^, £ 212, à 7 p. § l'an 7

Pour 1 an, £ 14,84 ** 4 mois, 4,94 " 1 mois,— 1,23 " l mois, 0,61

Total, £ 20,39 = £ 20 . 7 . 9 . f-.

On cherche d'abord pour 1 an, ensuite on prend le ^, ce qui nous donne pour 4 mois; pour 15 jours ou 5 mois, on forme un produit auxilliaire (65), en prenant pour 1 mois qui est le i de 4 mois ; on barre ce produit, et l'on en prend îa moitié, ce qui fournit l'intérêt de 5 mois et l'on additionne.

Comme on le voit, nous n'avons besoin, pour calculer les intérêts, ni des proportions, ni des équations ; c'est la chose la plus facile de l'Arithmétique. Toutefois nous allons résoudre quelques questions d'une autre manière, laquelle paraîtra peut-être encore plus simple et plus facile.

DR l'escompte, et QUESTIONS DIVERSES RELATIVES A LA BANQUE, AU COMMERCE, ETC.

78. Ire, Question. On veut faire escompter un billet de £460, lequel n'est payable que dans 2 mois et 20 jours ; la banque l)rend 6 p. g l'an ; combien le porteur du billet doit-il recevoir ?

La banque payant actuellement le billet dont elle ne pourra encaisser le montant que dans 2 mois et 20 jours, doit retenir l'intérêt du tems que le billet a encore à courir.

Or nous pouvons facilement trouver cet intérêt par la méthode

ÂRITHMBTIQUB

des No». 76 et 77. l'intérêt d*un an :

Formons un produit auxiliaire, on chorchani

Pour 1 on, ^ £ 27— " 2 mois, 4 *' 15 jours, 1 ** 6 jours, 0

on en dccimalcM, 4,5 1,13 0,37

Escompte demandé, £ G De £ 450

ôtez 6

Reste JC 444 que doit payer la banqu<».

"^2°. Dans le commerce, on compte l'année de 360 jours et le» mois de 30 jours, ce qui est indifférent quant au résultat. Ainsi 2 mois valent 60 jours et 20 jours font 80 jours que le biiirt a a courir. Or 80 jours sont les ^^9^ de l'année ; en simplifiant cette fraction, on a (34) -^^ = g ; donc il suffit de prendre leâ ^ de l'intérêt de 1 an, pour avoir celui de 2 mois et 20 jours : ;£ 27 X I = iC 6, etc.

2e. Qtustion. Quel est l'intérêt de 3000 piastres à 4 p ^ l'an, pour 7 moir ? On trouve pour Pinlérôt d'un an 120 piastres, et les —V de 120 éjatent 70 piastres pour réponse.

Soit 1 équation -777-

lOu

Le* effets rais sous la forme de fraction égalent )cs causes raiec» ausei pot:» )a forme de fractions et multipliées entre elles. 3000 p. et 7 mois sont Ie« ctnues qui doivent produire rintéicl x; 100 p. et 12 mois (ou I année) soo les causes de Veffd 4 p.

Dégageant x (74), nous avons,

Simplifiant les fractions, il vient,

j- = 30 X i d*où X = 70 piastres.

RAISONNEE. 89

3e. Question. Trouver l'intérêt, pour 4 jours, de 6648 francs à 6 p. ^ far an.

X int. 56 tS 4 jours

~6^ = Tûû ^ 360 . = ^^xl-^ =f;3,77.

On voit encore diaprés cela que, pour trouver Pintérêt rf'unc somme quelconque, quels que soient le taux de Pintérêt et le nombre de jours, il faut multiplier la somme proposée par le nombre de jours, multiplier le produit par h taux de Pintérêt, et diviser ce second produit jjar 36 X 1000 ou 36000.

Ainsi l'intérêt de £ 126 h 7 p. ^ pour 50 jours est £ 126 X 50 jours X 7 = 441uc', et ^l^gg = ig 1 • 4 • 6, intérêt demandé.

Au reste toutes ces différentes manières de calculer les intérêts sont bonnes, et l'une pourra servir de preuve â l'autre.

4e. Question. — On a placé un capital à 10 p -^ pendant 8 ans 4 mois ou 3000 jours ; l'int. s'est élevé à la somme de £4533 ; quel est ce capital 1 X cap. 30aOi. 4533 int.

TÔ(F ^ 360 ~~ fÔ ji

Je dégage x, et j'ai (74),

iO '^ ^ 3000

Simplifiant, a: = 4533 xfH- Simplifiant encore, x = 4533 X |, d'où x = £ 6439,6 ou je 5439. 12. 0.

Pour faire la preuve, on n'a qu'à chercher l'int. dej£5439. 12. à

10 p. -S", pour 30C;0 jours, et l'on trouvera £ 4533.

5e. Question. — 7500 piastres ont rapporté, en 4609 jours, 7681,67 p. ; combien cela fait-il pour 100 par un 1

-, 0 100 cap. ,, 360 j. ,, -^

* 0 —- L X — ; d ou

(^f.. Qtieftion. — Combien faudra-t-il de jours pour que £348,5 ou i" MS. \0. 0. placés à 9 g, rapportent £ 13,94 ou £ 13. 18. 9. f d'intérêt 1

x i :mi iMi. d'oi\

Simplifiant, x = --~^ç,7^ ^ - réponse, 160 jours.

N. B. Pir la manière dont nous venons d'opérer, toute personne pourra facilement établir une règle sure et invariable pour chacune de ces 3 dernières questions.

7c. Question.— Un négociant achète 25 balles de café pesant ensemble brut 762.') livre» ; on est convenu de déduire 10 p. {|. pour les emballages, etc. : combien de livres l'acheteur aura-l-il à payer 1 (76 t-l 77).

7625 X 10 ^^,,r r x ii

~ == 762. .5 liv. à fk'diiirc ;

lO'J

De 7626 liv.

Otez 762,5

Reste net 6862,5 ou 6862 liv. et i.

8c. Question. — On fait assurer des propriétés et des marchandises estimée* 4720 louis ; l'assureur prend 4 P* R î »■ combien se montera l'assurance par an?

Réponse, igll. 16. 0.

9e. Question — Avec un capital de 3645 louis, un négociant a gagné, daus une spéculation, £ 1275 15; combien a-t-i! 'no^np .nir ^y ?

— ^^— = ^PPir

Réponse, 36 p. J.

10e. Question. — Une personne veut acheter 140 louis de rente à 4 p. § ; combien doit-elle payer ?

Puisque 4 louis de rente coûtent £ 100, 1 louis de rente doit coût/ X 100 ou £25.

Conséquemmcnt £140 coûteront 140 fois 25 ou JC 3500.

Ou bien — =^i°.

^^HOX 100^^3500.

Uc. Question. — On demande l'intérêt de jC 126 5, à G pour 100 par an, pour 5 mois scclement.

Réponse, £3, 3, 1 i»