REGLES DE TROIS

73. Ce serait ici le lieu de parler des proportions et des règles dites de trois, mais ces règles, quoique fort ingénieuses en ellesmêmes, sont souvent sujètes à bien des iuconvéniens, surtout quand une question se trouve un peu compliquée : Nous allons démontrer que l'on peut facilement se passer des proportions, et donner les moyens de résoudre, sans leurs secours, toutes les questions qui s'y rapportent. On trouvera ce procédé nouveau, sans doute, mais on conviendra, nous l'espérons, qu'il est aussi facile, et peut-être plus simple que l'autre ; d'ailleurs, il est basé sur la raison, et à la partée de tout âge et de toute intelligence.

1er. Problême : 75 ouvriers ont gagné ensemble 96 louis ; combien 28 ouyners, travaillant chacun autant que les premiers, gagneront-ils ?

lère.^ Solution :

Si l'on connaissait la part de chaque ouvrier, en la multipliant par 75, nombre d'ouvriers, on aurait évidemment 96 louis : or la part de chaque ouvrier doit-être nécessairement la 75me. partie du gain total 96 louis : Il faut donc prendre le 7lj de 96 (41 et 42), ou diviser 96 par 75. Ainsi 96 1. divisés par 75 selon les principes du No. 66, donne £1.6.7.%. Telle est la part que doit avoir chaque ouvrier. Si l'on multiplie cela par 75, on trouve effectivement 96 louis (65). Maintenant, pour répondre à. la question, on dira : puisque 1 ouvrier seul gagne 1 1. 5 ch. 7d. 28 ouvriers doivent gagner 28 fois autant : donc, £ 1 . 5 . 7 . £ X 28 = 351. 16 ch. 9 d. f (65). C'est ce que gagneront 28 ouvriers.

On fera bien d;opérer de cette manière: ^ rr £ 1,28 (56) pour un ouvrier, et £ 1,28 X 28 ouvriers = £ 35,84 (54).

L'opération étant terminée, on évalue la fraction 0,84 de loui3 «n chelins, pennys, etc. (65), et l'on a £ 35 . 16 . 9 . J.

Nous ne saurions trop recommander l'usage des décimales ; comme on le voit, on fera dix opérations dans le même tems qu'on emploie pour en faire une sur les nombres complexes.

2e. Solution.

Considérons ce qu'est le nombre 28 ouvriers par rapport à 75 ouvriers (voir les questions sous le No. 72) : il est clair, d'après

l'énoncé de la question, que le travail de 28 ouvriers est les £J de celui de 75 ouvriers ; conséquemment, puisque 28 ouvriers fournissent les f §• de la force de 75 ouvriers, ils doivent avoir les f| de 96 louis. Or il n'y a qu'à prendre les de 96 (41), et l'on obtient pour réponse à la question £ 35,84.

Mais en peut aussi réduire la fraction ordinaire en fraction décimale (56) = 0,3733 X 96 = £35,84. C'est toujours le même résultat.

3c. Solution.

74. Représentons par x ce que doivent gagner 28 ouvriers par rapport à ce qu'ont gagné 75 ouvriers, et donnons-lui pour dénominateur le nombre 28, ; mettons pareillement sous la forme d'une fraction les nombres 96 louis et 75 ouvriers de cette manière $f-.

Il est évident que ces deux fractions doivent être parfaitement

égales, puisque chacun des 28 ouvriers doit avoir autant que

chacun des 75 ouvriers. Nous savons d'ailleurs que, pour être

de même valeur, il n'est pas nécessaire que deux ou plusieurs

fractions soient exprimées par les mêmes nombres, puisque une

fraction peut être représentée d'une infinité de manières sans

changer de valeur (32 et 34).

-vr , x louis 96 louis

lNous avons donc 55 = ==■

28 ouv. 75 ouv.

On sent que l'égalité de ces deux fractions existera toujours, bien que le nombre 28 puisse varier à l'infini ; car si le nombre 28 n'était que 14, par exemple, qui est la moitié de 28, le nombre inconnu, représenté par le numérateur x, diminuerait aussi de la moitié. Si le nombre d'ouvriers 28 devenait mille fois plus fort, la valeur du dividende ou du numérateur x deviendrait aussi mille fois plus forte, parce que plus il y aura d'ouvriers, plus ils gagneront ; donc l'égalité qui existe entre les 2 fractions sera invariablement la même.

Cela s'appelle une équation.

La partie qui se trouve à gauche du signe d'égalité, est le 1er. membre de l'équation, et la partie qui est à droite, est le 2e. membre.

Enfin puisque ^ = il est clair que si nous multiplions par le même nombre ces deux fractions, c'est-à-dire, les deux membres de l'équation, nous n'en troublerons point l'égalité : C'est cette propriété, évidente par elle-même, qui nous fera connaître la valeur de x. Multiplions donc les deux membres de notre équation par 28, et x se trouvera dégagée : Ainsi que nous l'a-

tons vu (42), pour multiplier une fraction par son dénominateur, il suffit de supprimer ce dénominateur : En effet, par exemple, signifie que le nombre inconnu x doit être divisé par 28, mais un nombre quelconque multiplié par 28 et ensuite divisé par 28, restera toujours le même.

Donc en supprimant le dénominateur de la fraction cette fraction se trouvera multipliée par 28 ; mais pour conserver l'égalité des deux quantités que nous comparons, il faut aussi multiplier f f- par 28 (31). Nous nous contenterons pour le moment

d'indiquer cette multiplication, et nous aurons x = — Cl —

Pour tirer le valeur de a:, il n'y qu'à effectuer les calculs indiqués, c'est-à-dire multiplier 96 par 28 et diviser le produit par 75, ce qui donne £ 35,84 pour le gain de 28 ouv.

Maintenant, pour se convaincre de ce que nous avons dit, on n'a qu'à mettre le nombre 35,84 à la place du numérateur x, 3 ^-f4 r= ff, diviser les deux numérateurs, chacun par son dénominateur respectif, et l'on trouvera le même quotient £l, 28 pour ]a part de chaque ouv.

Ou bien, réduire les deux fractions 3 -f-^ 4 et •§•-§- au même dénominateur, on verra quelles sont parfaitement semblables et égales et toute chose.

Cela pourra servir de preuve à l'opération.

T -, , x louis 28 out.

L'équation pouvait encore être posée ainsi : 9g sr — ^ — ;

Lorsque nous serons arrivés à des exemples très-compliqués, on sentira mieux la supériorité de cette méthode : par ce moyen, on pourra résoudre, sans peine, des problèmes dont la solution est impossible par le moyen des proportions.

f REGLE GENERALE DES EQUATIONS.

Pour mettre un problème en équation, il faut bien comprendre l'état de la question ; représenter par des lettres les termes inconnus ; se rappeler que le» causes doivent égaler les effets : Dans l'exemples précédent, 75 et 28 ouvrier» •ont les causes ; x et 96 louis sont les effets. On met les uns et les autres en forme de fractions, en fesant correspondre les termes de même espèce. On établit l'équation comme s'il s'agissait de vérifier l'opération. Pour dégager les termes inconnus, on fait passer tous les termes connus dans le 2e. membre, «n leur donnant un signe contraire à celui qu'ils ont dans le 1er. Par exemple, si un nombre figure dans le 1er. membre comme numérateur, il doit figurer dans le 2e. membre comme dénominateur, et vice versa : Nous en avons donné la raison ci-dessus. Les termes inconnus se trouvant ainsi dégagé*, on simplifie les fractions, s'il y a lieu, et il ne reste plus qu'à effectuer les calcul» indiqués.

RA1S0NNEE.

2e. Problème : 24 verges de drap coûtent 132 piastres ; combien coûteront 62 verges du même drap ?

1°. Cherchons le prix d'une verge, en prenant la vingt quatrième partie de 132 : \j£ = 5 piastres |, ou en décimale p. 5,5 pour le prix de 1 verge ; et 5,5 X 62 verges = 341 piastres ; telle est la réponse.

2°. 62 verges sont les §§ de 24 verges, donc le prix demandé doit être les %% de 132 p. ; or 132 X ff = 341 p. même réponse.

3°. Soit encore par équation, en disant : plus il y a de verges, plus le prix sera élevé, donc ÇJ^ ss ~~ (voir le problème

précédent), d'où x = 62 * 132 = 341 p. soit £ 85 5, toujours même réponse.

3e. Problème : 15 ouvriers travaillant également ont mis 17 jours à faire un ouvrage ; combien 24 ouvriers de la même force que les précédents, emploieraient-ils de jours pour faire le même ouvrage ?

1°. Plus il y a d'ouvriers moins il leur faudra de tems. Ici la question est le contraire de la précédente.

Il n'y a donc qu'à prendre les \\ de 17 jours : Mais nous pouvons simplifier la fraction, les deux termes sont divisibles par 3, ce qui nous donne ■§, et 17 X f = %5 = 10 jours ^. On conçoit que si le nombre d'ouvriers était le double, le triple, le quadruple, etc. du nombre des 15 ouvriers, le nombre de jours serait la moitié, le tiers, le quart, etc. des 17 jours, etc.

n x jours 15 ouvriers. 15 X 17 . -

2°. 3 X ~ 24 ~ 10 J°ur3 et t> 0U

Le numérateur x devant être moidre que le dénominateur 17, nous avons aussi mis le nombre 15 pour numérateur, car les deux fractions ne seraient plus égales, si nous prenions 24 pour numérateur de la 2e. fraction. Si l'on réduit au même dénominateur

i r . 10,625 j. • 15 ouv. n~ flics fractions — ff~~ et 24 ?on a Tsïï et t/ïï' ce q"1 prouve

la justesse, etc.

Le problème peut se résoudre encore plus simplement, en disant : puisque 15 ouvriers emploient 17 jours pour faire l'ouvrage en question, un seul ouvrier emploiera 15 fois plus de tems, c'està-dire 17 x 15 = 255 jours ; or, si un ouvrier emploie 255 j., 24 ouv. ne doivent employer que la 24e. partie de ce tems ; ainsi, 2^ = 10 jours et f de jour.

4e. Problème : 19 livres et | de thé coûtent 146 chelins et 3 pennys ; on demande combien coûteront 34 liv. J du même thé?

Pour plus de facilité, réduisons en décimales les fractions qui accompagnent les entière (56).

Liv. 19 l = 1. 19,5 ; 3 pennys valent T\ de eh. = 0,25 ; ainsi nous aurons 146,25 chelins.

34 | = 34,75 livres.

Maintenant c'est comme si l'on disait, 1. 19,5 coûtent 146,25 chelins, quel sera le prix de 34,75 livres ?

En divisant 146,25 par 19,5, on trouve que le prix de 1 livre est 7,5 ou 7 ch. Donc, le prix demandé est 34,75 X 7,5 = 260,625 ch. ; ou (65) 260 ch, 7d. J. Soit £ 13. 0. 7. J,

L'étudiant fera bien de s'exercer à résoudre le même problème au moyen des deux autres procédés, et de se proposer beaucoup d'autres questions du même genre, qu'il pourra résoudre, également de trois manières.

5e. Problème : Un bateau-à-vapeur doit arriver à Montréal en 22 heures, s'il fait 5 lieues par heure ; combien de tems mettra-t-il à faire le même trajet, en ne fesant que 3 lieues à l'heure ?

1°. Moins il fera de lieues en une heure, plus il lui faudra de

, . x h. 5 lieues, tems ; nous avons donc =

Donc x = 5 X 22, d'où x = 33 h. \.

2°. On peut encore raisonner ainsi : le tems qu'il emploiera a faire une lieue dans le 2d. cas, est les £ du tems employé dans la Ire. supposition ; il faut prendre les J de 22 h. qui sont 33 |.

3°. En supposant que le bateau ne fît qu'une lieue à l'heure, il arriverait, non pas en 22 heures, mais dans un tems 5 fois plus long que s'il fait 5 1. à l'heure, c'est-à-dire qu'il n'arriverait qu'en

RAISONNEE,

110 h. Mais au lieu de ne faire que H., il en fait 3 ; eonséquemment, il ne lui faudra que le J du tems qu'il mettra en ne fesant qu'une lieue.

Or, = 33 ou 33 heures et 20 minutes.