DE LA RACINE CARREE

83. Il n'y a pas de règle pour extraire en nombres entière lu racine carrée des nombres depuis 1 jusqu'à 100 ; elle se trouve dans la table suivante, qu'il faut savoir par cœur.

Carrés, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Racinei?, 1,2,3, 4, 5, 6,. 7, 8, 9, 10.

On voit qu'un nombre entier composé de 2 chiffres seulement, ne peut avoir à sa racine qu'un seul chiffre en nombre entier ; qu'un nombre de 3 ou 4 chiffres en a 2, etc. et ainsi de suite.

(Test par l'analyse du carré môme, c'est-à-dire en observant ce qui se passe dans la formation du carré, que nous découvrirons la méthode dont nous avons besoin pour revenir du carré à sa racine. Formons le carré de 46, mais eu multipliant successivement les unités et les dixaincs du multiplicande par celles

RAISONNEE.

Su multiplicateur, écrivons séparément chacun des produits partiel?, afin de distinguer les diverses parties qui entrent dans !a formation du carré.

46 Racine.

36 unités, carré des 6 unités.

24 dixaines, produit des 4 dixaines par les 6 unités* 24 dixaines, produit des 6 unités par les 4 dixaines. 16 centaines, carré des 4 dixaines.

2116 imités, carré de 46.

lo. Multipliant les 6 unités du multiplicande par les 6 unités du multiplicateur, on a 36, qui est le carré des 6 unités de 46; 2o. les 4 dixaines du multiplicande, multipliées par les 6 unités du multiplicateur, donnent 24 dixaines (18), et les 6 unités du multiplicande, multipliées par les 4 dixaines du multiplicateur, donnent aussi 24 dixaines, ce qui est la même chose que le double des dixaines multiplié par les 6 unités, ou 48 dixaines ; 3o. enfin, les 4 dixaines du multiplicande, multipliées par les 4 dixaines du multiplicateur, forment le carré des dixaines de 46 ou 16 centaines.

D'un autre côté, si l'on décompose le nombre 46 en deux partie?, on a 4 dixaines et 6 unités, ou 40 -J- 6.

40 X 40 = 1600. carré des dixaines.

2 fois 40 X 6 = 480. double produit des dixaines par les unit< .'s. 6X6= 36. carré des unités.

2116. carré de 46.

On obtiendrait de même le carré de tout autre nombre composé de dizaines et d'unités ; 3257, par exemple, égale 325 dixaines plus 7 unités.

Nous voyons que le carré 2116 se compose : du carré des dixaines, du double des 4 dixaines muUiplié par les 6 unités, et du carré des unités de 46.

84. Donc, le carrée d\i)i nombre quelconque, composé de. dixaines zt d'unités, contient 3 parties, savoir : le carré des dizaines, le double produit des dixaines par les unités-, et le carré des unités. ■ Ces trois produits expriment respectivement des centaines, des dixaines et des unités (18).

D'ailleurs ce que nous venons d'observer n'est qu'une conséquence de ce que nous avons dit de la multiplication, et peut s'appliquer à tout autre nombre que 46.

De même, si l'on veut comprendre parfaitement ce qui suit, on fera bien de se rappeler les démonstrations que nous avons faites touchant la division, car ce que nou3 allons dire n'est qu'une conséquence immédiate des régies de la division (26).

85. Proposons-nous maintenant de de revenir du carre d un nombre entier quelconque à sa racine.

1er. Exemple. Extraire la racine carrée de 2116.

Arithmétique

Je dispose le calcul comme pour faire une division, en laissant !a place du diviseur pour y mettre la racine,

carré 21.16

1er. reste,

46 racine

2e. reste, 0 et je dis : puisque le nombre 2116 a plus de 2 chiffres, sa racine doit avoir des dixaines et des unités ; ce nombre contient donc le carré des dixaines, le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités ; je commence par chercher les dixaines de la racine, et pour cela, j'abserve que, le carré des dixaines étant nécessairement des centaines, ces dixaines ne peuvent se trouver que dans les 21 centaines de 2116 (17 et 18) ; je sépare donc par un point les deux derniers chiffres à droite, puisqu'ils ne font point partie du carré des dixaines, et je trouve que la racine carrée de 21 est plus de 4, mais elle ne peut pas être 5, car 5x5 = 25, plus fort que 21 ; je conclus donc que 4 doit être le chiffre des dixaines de la racine ; je pose 4 à droite de 2116 ; je carre ces 4 dixaines, et j'écris le produit 16 centaines sous 21 ; la soustraction faite, il reste 5. Ce reste provient des retenues faites sur les deux autres parties du carré. A côté de 5, j'abaisse les deux autres chiffres 16 de 2116, ce qui donne 516, ou 51 dixaines et 6 unités. Ayant trouvé les dixaines de la racine, il s'agit d'en trouver les unités ; à cet effet, je considère que le reste 516 ne contient plus que deux parties du carré 2116 (le double produit des dixaines par les unités, et le carré des unités de la racine).

Mais puisque je connais déjà les dixaines de cette racine, il m'est facile d'en avoir le double : je prends 2 fois lès 4 dixaines déjà trouvées, ce qui me donne 8 dixaines, que j'écris sous le 4.

Au moyen de ces 8 dixaines, je puis facilement trouver les unités de la racine ; car, le nombre 516 n'étant que la somme du produit de ces 8 dixaines multipliés par les unités que je cherche, et du carré de ces mêmes unités, je vois que 516 contient un produit dont l'un des facteurs est 8 dixaines : or, un produit et l'un de ses facteurs étant connus, il est facile de trouver l'autre facteur (26). Il est évident que ce facteur sera le chiffre des unités de la racine. Mais il faut encore faire attention que 8 dixaines multipliées par des unités, ne peuvent donner que des dixaines (16, 17 et 18) ; conséquemment, le produit des

RAISONNEE.

6 dixaines par les unités, ne peut se trouver que dans les 61 dixaines de 516 ; de plus, je sais que, outre le produit des 8 dixaines par les unités, 51 doit contenir aussi les retenues faites en multipliant les unités par les unités. Le dernier chiffre à droite du nombre 516, ne fait donc pas partie du produit dont je cherche l'un des facteurs ; je le sépare par un point, et je divise seulement 51 par 8 (ou 510 par 80), et je trouve que 51 contient 6 fois 8, d'où je conclus que 6 doit être le chiffre des unités de la racine, et je le place à côté du 4.

Cependant il peut arriver que le chiffre que l'on trouve de cette manière soit trop fort (jamais trop petit).

Pour connaître si c'est le chiffre qui convient, on pourrait carrer 46, et retrancher le produit de 2116, le reste 0 indiquerait que 46 est la racine demandée ; mais, sachant que 516 est composé du double des 4 dixaines (ou 8 dixaines) multiplié par les 6 unités et du carré des 6 unités, il suffit de chercher la somme de ces deux parties et de l'ôter de 516 : or le double des dixaines de la racine étant 80, on a 80 X 6 = 480 :

le carré des unités est 6 X 6 = 36

Ce qui fait 516 et 516 — 516 = 0.

Mais pour faire la même vérificatton, au lieu de 2 multiplications que nous venons de faire, on n'en fait qu'une : puisque le multiplicateur est le même si l'on additionne les deux multiplicandes 80 et 6, on a la somme 86, laquelle multipliée par le multiplicateur commun 6, doit donner le même résultat que si l'on multiplie 80 par 6, 6 par 6, et ensuite réunir les deux produits qui sont 516. En réunissant de cette manière les deux multiplicandes, on additionne en quelque sorte les produits partiels avant d'avoir fait la multiplication» Au reste ceci est une conséquence de ce que nous avons dit aux No. 23 et 37. Ainsi, après avoir trouvé le chiffre 6, je l'écris à la racine, et le place encore a côté du double des dixaines, ce qui fait 86 que je multiplie par le même chiffre 6, je retranche le produit du reste 516, et il ne reste rien, pareeque 2116 est un carré parfait.

66. Si, en fesant la vérification que nous venons d'indiquer, le produit se trouvait plus fort que 516, la soustraction ne pourrait se faire, d'où il faudrait conclure que le chiffre mis à la racine est trop fort; il faudrait lui en substituer un autre.

On connaîtrait au contraire que ce chiffre est trop petit, si, après avoir fait la sonstraction, le reste était le double de la racine totale plus 1 : mais cela ne peut jamais arriver quand on prend le quotient au plus fort.

On arrivera à un reste toutes les fois que le nombre propoeé ne sera pas un carré parfait : Alors, au moyen des décimales, on pourra approcher tant qu'on voudra de la racine véritable, ainsi que nous le verrons ci-après, mais il ne sera jamais possible de l'assigner exactement.