DIVISION DES FRACTIONS

er,

… 43. Si nous nous rappelons la définition de la division (26), 0 nous comprendrons sans peine ce qui va suivre.

Nous avons dit que la division est une opération par laquelle, un produit et l’un de ses facteurs étant donnés, on se propose de trouver l’autre. Ce second facteur, qui, dans la division, prend ! le nom de quotient, s’obtient en cherchant combien de fois l’autre

.. facteur, appelé diviseur, est contenu dans le produit, nommé divià dende. Or, il est évident que, le dividende restant le même, "plus le diviseur sera potit, plus il sera contenu de fois dans le h dividende, ou plus le quotient augmentera. Ainsi, 4 sera contenu dans un nombre quelconque la moitié moins que 2; en 0 d'autres termes, le quotient d’un nombre quelconque divisé par 4 $ ! sera la moitié de celui que donnera la division de ce même nom- ) bre par 2. Dans le ler. cas, le quotient sera le quart du diviii dende, ct dans le 2e. cas, il en est la moitié. Le quotient serait ; égal au dividende, si le diviseur était l’unité ou 1 ; il serait le double, le triple, etc., si le diviseur n’était que à, à, À, etc. Par ! exemple, si nous voulions mesurer la longueur d’une salle, nous prendrions une toise, et en supposant que la sulle eût 4 toises de * long, la longueur de la toise serait contenu 4 fois sur la longueur de la salle ; mais si, au lieu d’une toise, nous prenons un pied } pour mesure, le pied étant six fois plus petit que la toise, il est clair que le pied sera contenu 6 fois plus sur la longueur de la salle, c’est-à-dire, 24 fois.

Pareillement, si l’on partageait 18 chelins entre 9 personnes, } chaque personne aurait 2 chelins ; mais si, au lieu de les partager entre 9, cn ne les partage qu’entre 3, les parts seront 3 fois plus } fortes, puisque le diviseur devient 3 fois plus petit; dans ce cas,

chaque personne aurait donc 6 chelins. S’il fallait partager entre 12, chaque portion serait de 1 chelin et 4; entre 36, un À chelin, etc.

Donc, lo. lorsque le diviseur sera 2, 3, 4, etc. fois plus fort que l'unité, le quotient sera 2, 38, 4 fois plus petit que le dividende. 20. Lorsque le diviseur est 2, 3, 4, etc. fois plus petit que Punité, le quotient est nécessairement 2, 3, 4 fois plus grand que le dividende.

Soit à diviser Z par +: d’après notre définition, il s’agit de trouver une fraction qui, multipliée par ;, donne pour produit £. Le diviseur ; étant 5 fois moindre que l'unité, le quotient doit être 5 fois plus grand que le dividende 3. Ainsi, rendons la fraction % 5 fois plus forte (31), et nous aurons pour quotient véritable L°, ou 3 + (36).

Si nous multiplions le quotient par le diviseur, nous avons effectivement 7 X + = +2 ou $.

Mais, si nous avions à diviser # par ?, ici le diviseur n’est pas 5 fois plus petit que l'unité, car # valent 4 fois +, c’est-à-dire, 4 parties dont 5 forment l’unité : la fraction # n’est que $ de fois à plus petite que l’unité ; conséquemment, le quotient ne doit être que $ de fois plus fort que le dividende 3, c’est-à-dire, 1 fois plus À de fois.

De sorte que, en multipliant le numérateur de la fraction dividende % par 5, dénominateur de la fraction diviseur +,

nous obtenons W, comme ci-dessus, mais ce quotient se trouve 4 fois trop fort ; il faut donc le rendre 4 fois plus petit, en multipliant son dénominateur par 4 (31 et 32), ce qui donne pour quotient véritable 12 ou À, fraction plus forte que 3.

Pour obtenir ce quotient, nous avons multiplié & par $, et cela est bien naturel, puisque nous avons remarqué que le quotient doit être les & du dividende ; d’ailleurs nous savons que c’est par la multiplication qu’on prend un nombre un certain nombre de fois ; donc nous devions prendre Ÿ de fois 4. Mais $ est la fraction diviseur renversée.

Le raisonnement que nous venons de faire pouvant s’appliquer à tout autre exemple, nous en déduirons cette règle générale :

Pour diviser une fraction par une fraction, à! faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

$ divisés par “7 revient à $ x Li! = $$, ou 1 $7. 44. Cette règle générale nous fait voir encore que, pour diviser

partager entre , un + chelin,

fois plus fort : le dividende.

tit que lunité, id que le divi-

, il s’agit de ur produit #.

quotient doit si, rendons la pour quotient

y) nous avons

seur n’est pas c’est-à-dire, 4 que £ de fois t ne doit être re, 1 fois plus

fraction dividiviseur +, ent se trouve

tit, en multiane pour quo-

par $, et cela |

e le quotient

que c’est par

1) nombre de ais & est la

ouvant s’apcette règle

ut mulhplier

ée, ï

. Ar A

pour diviser

RAISONNEE. 45

l’une par l’autre deux fractions, il suffit de diviser le numérateur ® de la lère. par celui de 2e. et le dénominateur de la 1re. aussi 1 par celui de la 2e., lorsque ces divisions peuvent se faire sans | reste. En effet, soit proposé de diviser £ par 3 ; divisant le nu- 1 mérateur de la 1re. fraction par celui de la 2e., nous avons # ; la ‘4 fraction & se trouve donc divisée par 2 (31); mais ce n’est pas \Ù par 2 que nous devons diviser 8, c’est par 4; donc le quotient # 1 est 3 fois trop petit, car le quotient véritable doit être les 5 de 8 ; WP or, pour donner à ce quotient sa juste valenr, il faut rendre la fraction # 3 fois plus forte, ce que Pon fait en divisant son dénominateur par 3, et nous aurons pour quotient véritable #, ou 1 4.

Mais d’après les principes du No. 31, nous pouvions encore !… rendre la fraction # 3 fois plus forte, en multipliant son numéra- .\ teur par 3; conséquemment pour pouvoir opérer de cette ma- . nière, il suffit que le numérateur de la fraction dividende soit di- | visible par celui de la fraction dénorainateur ; par exemple, ) à diviser par 3: je divise -% par 3, et j’ai # pour quotient, | mais 7 fois trop petit; je multiplie 4 par 7, et j'obtiens 21 ou let 11, ;

Si les numérateurs ne sont pas divisibles lun par l’autre, et que les dénominateurs le soient, comme ÿ à diviser par #, je divise ! le dénominateur 6 par le dénominateur 3, ce qui me donne ÿ, quotient 2 fois trop fort ; je le rends 2 fois pipsapetit en multipli- | ant son dénomi. iteur par 2, ct il vient Eur ne 45. Enfin une conséquence en amène toujeurs un autre, et | nous ne devons pas omettre la remarque suivante, qui est, peutêtre, la plus importante.

Il s’ensuit de tout ce que nous venons de dire sur la division des fractions que, pour diviser l’une par l'autre deux fractions de même dénominateur, il n’y a qu'à diviser le rumérateur de la 1re. : par celui de la seconde, sans avoir égard aux dénominateurs ; car, suivant la règle générale, si nous voulons diviser 3 par #, nous aurons 3 X 7 = 21, ou, en simplifiant, Es

Si nons changeons de place les dénominateurs des fractions 3 et 7, nous avons 3 X 1,ce qui ne change rien au résultat,

puisque le numérateur et le dénominateur du quotient 21 seront

toujours des multiples de 7 ; seulement, quant aux dénominateurs, au lieu de multipher 7 par 5, nous muliüplions 5 par 7 ; mais nous avons rigoureusement démontré (22) que le produit de deux nombres ne change pas, quel que soit l’ordre des facteurs. De plus, nous savons (32) que la multiplication simultanée des 2 termes d’une fraction par le même noïnbre n’en change pas la va-

west

leur : or, multiplier 3 par 7, c’est ne rien faire du tout. il en

est de même pour les nombres entiers ; 12 X 4 =. 48, divisé ensuite par 4, on a toujours 12.

Ainsi le quotient de ÿ par # est 3,

Donc, pour diviser entre elles deux fractions qui ont le même dénominateur, il suffit de diviser le numérateur de la 1re. par le numérateur de la 2e.; et cette division. est toujours possible, puisqu’on se contente de l'indiquer. Le quotient de 3 par 8 est. $ 1 divisé par 10 = 1, i divisés par 11 — 5.