LEEDS ARS RE
ho sé 26
ss
RAISONNEB. 5
inclusivement ; puis, pour écrire le nombre dix ou une diraine, d suffit de placer le chiffre 1 au 2e rang à gauche, en mettant un 0 au ler rang, de cette manière 10.
D’après la convention, le 1 se trouvant à gauche du 0, vaut dix
fois plus que s’il-était seul, donc il vaut dix.
‘Pour écrire dix-un, dix-deux, ou bien onze, douze, etc., on subtitue au 0 chacun des chiffres significatifs, et l’on a 11, 12, 13, 14,... 19, c’est-à-dire, onze, douze, treize, quatorze, . . . .. direneuf. Enfin, pour représenter 1, 2, 3, 4, etc. dixainès, on rend au moyen d’un 0, chacun de ces chiffres dix fois plus fort, comme on Pa fait pour avoir une dixaine et par la même raison ; ce qui donne 20, 30, 40, 50, ..... 90, que l’on prononce, vingt, trente, quarante, cinquante, . . . . . quatre-vingt-dix.
En remplaçant successivement les 0 par les neuf chiffres significatifs, comme nous l’avons pratiqué ci-dessus, nous avons 21 vingt-un, . . . .. 29 mingt-neuf, 31 trente-un, . . . . . 41 quarante-un, . .... 51 Cinquante-un, etc. On arrive ainsi jusqu’au nombre 99 quatre-vingt dix-neuf, c’est-à-dire, 9 dixaines et 9 unités. D’où l’on voit qu’avec deux chiffres on obtient tous les nombres depuis 10 jusqu’à. 99.
N. B. Mais il faut bien se rappeler que ces chiffres ne doivent pas être placés au hasard: un & placé avant un b donne le son ab, mais si l’on place le b avant l’a, on aura ba, ce qui est tout-à -fait différent quoique avec les mêmes lettres. Il en est de même pour les chiffres: par exemple, cinquante-un s’écrit de cette manière 51 (5 dixaines et 1 unité) ; si nous changions les chiffres de place, aous n’aurions que 15 quinze (1 dixaine et 5 unités).
11. Maintenant pour écrire une centaine, il faut encore avancer le chiffre 1 d’un rang vers la gauche, en mettant deux 0 à droite 100 ; ici le 1 vaut dix fois plus que s’il était au 2e rang, cent fois plus qu’au ler rang, donc il vaut dix dixaines ou cent. En ajoutant un autre 0, le 1 se trouvera transporté au quatrième
‘rang à gauche, et voudra encore 10 fois plus qu’au 3e, cent fois
plus qu’au 2e, et mille fois plus qu’au ler, donc dix centaines ou mille 1000. Pour rendre ce dernier nombre 10 fois plus fort, il n’y a qu’à ajouter un quatrième 0, et nous aurons 10000 dix mille.
En continuant ainsi le nombre deviendra toujours de dix en dix fois plus fort, et il viendra : 100000 cent malle, 1000000 un million, 10000000 dix millions, 100000000 cent millions, 1000000000 un billion, etc. jusqu’à l'infini. Mais cette augmentation progressive n’est pas plus particulière au chiffre 1 qu’à tout autre nombre
Supérieur ; si nous remplaçons successivement le 1 par chacun
des autres chiffres significatifs, nous aurons 200 deux cents, 300 s.... 600.....900,....2000 deux malle. ....7000..... 8000 . . .. 20000 vingt mille. . . . 400000 quatre cent mille, etc.
12. D'où nous conclurons que pour rendre un nombre 10, 100, 1000, etc. fois plus fort, il suffit de placer un 0, ou un certain nombre de 0 à droite de ce nombre ; et que, par une raison contraire, si l’on supprime un, deux, trois, etc. 0, à droite d’un nombre, on le rendra 10, 100, 1000, etc. fois plus petit.
Pour avoir les nombres qui se trouvent compris entre L et les centaines, on remplace sucéessivement les deux 0 parles quatrevingt dix-neuf premiers nombres, et l’on a 101 cent un, 102. ... 109....110,111,.,..2308....575,.... 999,
Pour obtenir les nombres compris entre 1 et les milles, nous remplaçons les trois 0 par les 999 premiers nombres, et il vient 1001 mille un, 3012 trois mille douze, 4020 quatre mille vingt, . .…. 5900, .... 7005,.... etc. ; on arrive ainsi jusqu’à 9999 neuf mille neuf centquatre vingt dix-neuf.
Pour les nombres intermédiaires depuis 1 jusqu'aux dixaines de mille, on suit le même procédé, c’est-à-dire, on remplace les 4 zéros par les 9999 premiers nombres, et ainsi de suite.
En suivant ceite marche, il est facile d’écrire les plus grands nombres qu’il soit possible d'imaginer. . Donc, avec les dix caractères et la convention établie, on peut représenter tous les nombres possibles.
Observation.
13. 11 faut bien se rappeler qu’un chiffre placé au ler rang à droite, représente des unités simples ; qu’un chiffre placé au 2e rang exprime des dixaines ; au troisième, des centaines ; au de, des mille; au 5e, des dixaines de mille : au 6e, des centaines de mille, etc. D’où nous voyons qu’un chiffre devient autant de fois dix fois plus fort qu’il est avancé de 1, 2, %, etc. rangs vers la gauche. Mais, ainsi que nous l’avons dit, ce n’est qu’une pure convention, car on n’était pas plus obligé de prendre dix caractères que d’en prendre plus ou moins : on pourrait très-bien écrire les nombres avec les cinq caractères 1, 2, 3, 4, 0; mais alors on formerait des nombres de cinq en cinx fois plus forts, comme on les forme de dix en dix, dans la numéralion usuelle ; c’est-à dire, qu’un chiffre placé à gauche d’un autre, indiquerait des unités cinq fois plus fortes.
On pourrait de même n’employer que les deux chiffres 1 et 0.
Pour marquer tous les nombres par douze caractères, on serait obligé d’en inventer deux nouveaux, et l’on compterait par douzaines comme on compte par dixaines, etc.
ler Problème : Un nombre étant écrit, énoncer ce nombre. lo. Si le nombre proposé ne renferme que 3 chiffres, on commence par la gauche, en donnant à chacun d’eux le nom qui lui
convient, d’après le rang qu’il occupe. Ainsi l’énoncé du nom- :
bre 659 sera sir cent cinquante-neuf. Celui-ci 508 s’énonce, cinq cent huit. d
20. Si le nombre à énoncer a plus de trois chiffres, pour l'énoneer avec plus de facilité, on le partage, par des virgules, en
mbre 10, Ju Un cerne raison oite d’un
e let les Ps quatre-
les, nous t il vient ring, ..….
999 neuf
dixaines place les
à re
8 grands s dix car tous les
ite, représ dixaines de mille :
re devient gs vers la pnvention, endre plus aractères fois plus 3 c’est-àcinq fois
ligé d’en compte
nbre.
pn comMqui lui u nom- :
énonce,
our l’'éles, en
RA'SONNEE. 7
tranches de 3 en 3 chiffres à partir de la droite ; la dernière tranche à ganche peut être complète. ou incomplète, c’est-à-dire, avoir moins de trois chiffres. La première tranche est celle des unités, la 2e, celle des mille, la 3e, celle des millions, Ja 4e, celle des billions, etc. \
Le nombre étant ainsi disposé, on énonce chaque tranche en allant de gauche à droite, ayant soin de donner à chaque tranche la dénomination qui lui est propre. |
247,834 deux cent quarante sept mille, huit cent trente quatre.
3,009 trois mille neuf. 500,000 cinq cent mille.
23,004,201 vingt trois milons, quatre mille deux cent un.
13,000,000,120 treize billions, cent vingt.
Quatrillions, trillions, billions, millions, mille, unités. 2, 142, 756, 581, 341, 697.
Deux quatrillions, cent quarante deux trillions, sept cent cinquante-six billions, cinq cent quatre-vingt-un millions, trois cent quarante-un mike, six cent quatre-vingt dix-sept unités.
Pour bien faire comprendre cela aux élèves, les maîtres feront bien de leur faire décomposer les nombres de la manière suivant : c’est un moyen que j’ai toujours employé avec beaucoup de succès.
2,000,000,000,000,000—deux quatrillions.
+ 100,000,006,000,000—cent trillions.
+ + 40,000,000,000,000—quarante trillions.
+ + 2,000,000,000, eux trillion.
+ + + + 700,000,000,000—sept cent billions.
° +. + + 50,000,000,080—cinquante billions.
bad 6,000,000,000—six bälions.
ee + 500,000,000—cinq cent millions.
+... «80,000,000—quatre-vingt millions.
se. .1,000,000—un million.
NAARET AE PETER 300,000—trois cent mille.
os... + °40,000—quarante mille.
setoi9 eisieioress.e 1,000—mille.
Per TR + «+ 600—six cent.
. 2.00 ... .«90—quatre-vingt-dix.
soso ses 7—8ept.
2e Problème: Un nombre étant énoncé, écrire ce nombre.
Pour résoudre ce problème, il faut d’abord connaître le nombre des chiffres qui doivent entrer dans la composition du nombre énoncé. Or, pour connaître combien il faut de chifires, on divi-
sera par la pensée Île nombre proposé en tranches, comme dans
le problème précédent : par le nombre de tranches complètes ou non, on jugera du nombre de chiffres nécessaires pour écrire le nombre énoncé : Il ne restera plus qu’à examiner quelles sont les places qui doivent être occupées par des caractères significatifs,
he eg ges ne
8 ARITHMÈTIQUE
où par des aGida Soit, par exemple, Pénoncé trente quatre mille douze : dans te nombre, il ÿ a deux tranches, celle des mille et celle des unités ; mais, puisqu'il n’y & que trente quatre mille,
“cette tranche n'aura que: deux chiffres : donc, deux pour la se-
conde tranche et trois pour la premièré, font cinq caractères. Mais le nombre n’a point de centainés, donc le 3e rang doit
“être occupé par un 0, et le‘ nombre n'aura que 4 caractères
significatifs.
Ainsi l’expressiont du nombre sera 34,012.
Au moyen ‘de ce raisonnement, et des règles que nous venons de donner, on ne sera jamais embarrassé pour écrire les nombres.
| mms
