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RD. EL ee

102 ARÎTHMETIQUE

Je dispose le calcul comme pour faire une division, en laissant la place du diviseur pour y mettre la racine,

carré 21.16 | 46 racine ——— | 86 X 6 = 516 ler. reste, 51.6 51 6

2e. reste, 0

et je dis: puisque le nombre 2116 a plus de 2 chiffres, sa racine doit avoir des dixaines et des unités ; ce nombre contient donc le carré des dixaines, le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités; je commence par chercher les dixaines de la racine, et pour cela, j’abserve que, le carré des dixaines étant nécessairement des centaines, ces dixaines ne peuvent se trouver que dans les 21 centaines de 2116 (17 et 18) ; je sépare donc par un point les deux derniers chiffres à droite, puisqu'ils ne font point partie du carré des dixaines, et je trouve que la racine carrée de 21 est plus de 4, mais elle ne peut pas être 5, car 5 x 5 = 25, plus fort que 21 ; je conclus donc que 4 doit être le chiffre des dixaines de la racine ; je pose 4 à droite de 2116 ; je carre ces 4 dixaines, et j’écris le produit 16 centaines sous 21 ; la soustraction faite, il reste 5. Ce reste pro- - vient des retenues faites sur les deux autres parties du carré. A côté de 5, j’abaisse les deux autres chiffres 16 de 2116, ce qui donne 516, ou 51 dixaines et 6 unités. Ayant trouvé les dixaines de la racine, il s’agit d’en trouver les unités ; à cet effet, je considère que le reste 516 ne contient plus que deux parties du carré 2116 (le double produit des dixaines par les unités, et le carré dés unités de la racine).

Mais puisque je connais déjà les dixaines de cette racine, il m’est facile d’en avoir le double : je prends 2 fois les 4 dixaines déjà trouvées, ce qui me donne 8 dixaines, que j'écris sous le 4.

Au moyen de ces 8 dixaines, je puis facilement trouver les unités de la racine ; car, le nombre 516 n’étant que la somme du produit de ces 8 dixaines multipliés par les unités que je cherche, et du carré de ces mêmes unités, je vois que 516 contient un produit dont l’un des facteurs est 8 dixaines : or, un produit et l’un de ses facteurs étant connus, il est facile de trouver l’autre facteur (26). Il est évident que ce facteur sera le chiffre des unités de la racine. Mais il faut encore faire attention que 8 dixaines multipllées par des unités, ne peuvent donner que des dixaines (16, 17 et 18); conséquemment, le produit des

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RAISONNEE. 103

8 dixaines par les unités, ne peut se trouver que dans les 61 dixaines de 516 ; de plus, je sais que, outre le produit des 8 dixaines par les unités, 51 doit contenir aussi les retenues faites en multipliant les unités par les unités. Le dernier chiffre à droite du nombre 516, ne fait donc pas partie du produit dont je cherche l’un des facteurs ; je le sépare par un point, et je divise seulement 51 par 8 (ou 510 par 80), et je trouve que 51 contient 6 fois 8, d’où je conclus que 6 doit être le chiffre des unités de la racine, et je le place à côté du 4.

Cependant il peut arriver que le chiffre que l’on trouve de cette manière soit trop fort (jamais trop petit).

Pour connaitre si c’est le chiffre qui convient, on pourrait carrer 46, ct retrancher le produit de 2116, le reste 0 indiquerait que 46 est la racine demandée ; mais, sachant que 516 est composé du double des 4 dixaines (ou 8 dixaines) multiplié par les 6 unités et du carré des 6 unités, il suffit de chercher la somme de ces deux parties et de l’ôter de 516 : or le double des dixaines de la racine étant 80, on a S0 x 6 = 480:

le carré des unités est 6 X 6 = 36

Ce qui fait 516 et 516 —- 516 = 0.

Mais pour faire la méme vérificatton, au lieu de 2 multiplications que nous venons de faire, on n’en fait qu’une : puisque le multiplicateur est le même si l’on additionne les deux multiplicandes 80 et 6, on a la somme 86, laquelle multipliée par le multiplicateur commun 6, doit donner le même résultat que si Von multiplie 80 par 6, 6 par 6, et ensuite réunir les deux produits qui sont 516. En réunissant de cette manière les deux multiplicandes, on additionne en quelque sorte les produits partiels avant d’avoir fait la multiplication. Au reste ceci est une conséquence de ce que nous avons dit aux No. 23 et 37. Ainsi, après avoir trouvé le chiffre 6, je l’écris à la racine, et le place encore a côté du double des dixaines, ce qui fait 86 que je multiplie par le même chiffre 6, je retranche le produit du reste 516, et il ne reste rien, parceque 2116 est un carré parfait.

66, Si, en fesant la vérification que nous venons d’indiquer, le produit se trouvait plus fort que 516, la soustraction ne pourrait se faire, d’où il faudrait conclure que le chiffre mis à la racine est trop fort ; il faudrait lui en substituer un autre.

On connaîtrait au contraire que ce chiffre est trop petit, si, après avoir fait la sonstraction, le reste était le double de la racine totale plus 1 : mais cela ne peut jamais arriver quand on prend le quotient au plus fort.

On arrivera à un reste toutes les fois que le nombre proposé ne sera pas un carré parfait : Alors, au moyen des décimales, on pourra approcher tant qu’en voudra de la racine véritable, ainsi que nous le verrons ci-après, mais il ne sera jamais possible de l’assigner exactement.