Extraire la racine cubique de
cube 97.336
46 racine cubique.
4X4X 4 = 64 ler. reste, 333.36 | (4 x 4) x 3 = 48 99936 | mme
8 fois (40 x 40) x 6 == 28800
2e. reste, 00000 | 3 fois 40 x (6 x 6) = 4320 6X 6 X 6 = 216
Puisque le nombre 97336 contient plus de 3 chiffres, sa racine aura des dixaines et des unités (89). Je commence: par chercher les dixaines de cette racine : maïs le cube des dixaines est des mille ; il n’a pas de chiffres significatifs avant les mille, donc ce cube ne peut-être compris que dans les 97 mille du nombre proposé, et les 3 premiers chiffres à droite ne sauraïent en faire partie ; je les sépare par un point. La racine cubique de 97 est plus de 4, mais elle ne peut pas être 5 (89) ; 4 sera donc le chiffre des dixaines de la racine cherchée ; je cube ces 4 dixaines, ce qui me donne 64 mille que je retranche de 97, et il reste 33 provenant des retenues faites sur les 3 autres parties du cube 97336. A côté de 33, j’abaisse la tranche 336, ce qui donne 33336 : ce nombre ne contient plus que 3 parties du cube proposé ; c’est-à-dire 3 fois le carré des 4 dixaines trouvées multiplié zar les unités, 3 fois les 4 dixaines multipliées par le carré des äinités, et enfin le cube des unités. Mais la 1re, de ces 3 par-
ties suffit pour me faire trouver les unités de la racine que je cherche,
Reste à déterminer dans quels chiffres du nombre 33336 se trouve comprise la 1re. de ces 3 parties : à cet effet, je considère que 3 fois le carré des dixaines multiplié par les unités, ne peut être que des centaines, il ne doit pas avoir de chifires significatifs avant les centaines ; je sépare donc les 2 Lers. chiffres à droite, Les 333 centuines du nombre 33336 contiennent par conséquent un produit dont l’un des facteurs est le triple du carré des 4 dixaines, et l’autre facteur est les unités cherchées (voyez le No. 26). Je carre les 4 dixaines et je prends 3 fois ce carré :
(4 X 4) X 3 = 48 ou 4800.
Je divise 333 par 48 ou 33200 par 4800, et j'obtiens G pour quotient qui est le chiffre des unites de la racine, ainsi qu’on peut le voir, en formant les 3 dernières parties du cube comme on le voit ci-dessus. Mais cette vérification se fait plus simplement, en élevant de suite 46 au cube et le retranchant de 97336. Il faut faire attention que les 333 centaines, que nous avons prises pour dividende, contiennent de plus les centaines provenant des 2 autres parties : d’ailleurs la division l’indique.
92. 2e. Exemple. On demande la racine cubique de 283.593.393 | 657
xX 6 = 216.
ler. reste, 675.92 3 fois (6 X G Es A 283593 (65 x 65 x 65) = 27462!
274625 8 fois (65 X 65) = LaG Te, FE ———— | (657 x 657 x 657) = 2583593393.
2e. reste, 89683,93 283593393 2835932393 |
de, reste, 00 |
Le nombre proposé ayant plus de 8 chiffres, sa racine cubique aoit avoir des dixaines et des unités ;: mais le cube des dixaines étant des mille, les 8 Lers. chiflres à droite n’en font point partie ; je les sépare. Le cube des dixaines de la racine cherchée se trouve nécessairement dans la partie 283593 du nombre 2853593393, c’est-à-dire dans les 283593 mille,
Pour trouver les dixaines de la racine demandée, il s’agit donc d'extraire la racine cubique de 283593. Mais ce nombre ayant encore plus de 3 chifires, sa racine cubique en aura plus d’un,
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33336 se , je consiunités, ne fires signichiffres à ennent par le du carré ‘es (voyez Ce Carré :
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RAISONNEE. 109
donc elle aura des dixaines et des unités ;* le cube de ces dixaines devant être des mille, les 3 chiffres à droite ne peuvent pas faire partie de ce cube; je les sépare.
La racine cubique de 283 est G que je poso à droite du nombre proposé. Mais il faut faire attention que, outre le cube de 6, 283 contient les retenues faites sur les autres parties, donc il y aura un reste. Pour avoir ce reste, je forme le cube de 6 qui est 216, et je le retranche de 283. A côté du reste 67, j’abuisse 593, ce qui me donne 67593. Ce nombre devant contenir Île triple carré des 6 dixeines multiplié par le chiffre qui doit étre après le 6 à la racine (91), je carre 6, le triple est 18; ce nombre est donc l’un des facteurs d’un produit qui se trouve dans 67593 ; l’autre facteur est le chiffre qui doit être après le 6 à lu racine ; il est facile do trouver ce chifire (26).
Mais je considére que le triple carré de 6 dixaines muitiplié par le chiffre que je cherche, ne peut être que des centaines (18) ; ce produit ne doit pas avoir de chiffres significatifs avant les centaines. Je sépare 2 chifires à droite de 67593, et je divise 676 par 108 : le cuotient 5 est le second chiffre des dixaines de la racine, ce qui fait 65 dixaiues, qui sont la racine cubique des 283593 mille du nombre proposé. Mais il faut se rappeler que, outre le cube de 65 dixaines, 283598 contient les retenues provenant des 3 autres parties du cube total ; il doit y avoir un reste ; pour connaître ce reste, et pour vérifier en même tems la racine trouvée, je forme la cube de 65 qui est 274625, et je le retranche de 283593.
À coté du reste 8968, j’abaisse la tranche 393, ce qui fait 8968393.T Ce nombre doit contenir 3 fois le carré des 65 dixaines multiplié par les unités de la racine, plus, ete. (91). Le raisonnement qui m'a fait trouver le chiffre 5, va me faire trouver le chiffre des unités de la racine. Je sépare 2 chiffres à droite de 8968393 ; je divise 89683 par le triple carré de 65 qui est 12675 : Je quotient 7 est le chifre des unités : pour m’en assurer, J'élève 657 au cube, que je retranche du nombre proposé, et il reste 0.
93. Si le nombre dont on extrait la racine cubique n’était pas un cube parfait, on aurait un reste à la fin de l’opération, muis la racine trouvée n’en serait pas moins la véritable en nombre entier, à moins que le reste fût plus fort
* On voit par là, que les dixaines de la racine cubique de 2853593393 auront plus d’un chiffre, c’est-à-dire des d'xaincs de dixaines et des des dixaines, ce qui veut dire des centaines et des dixaines ; mais nous sommes convenus de ne-cousidérer, dans cette racine, que des dixaines et des unités, 2 parties.
t 11 semble que 675 contient 108 plus de 5 fois, muis si l’on prenait 6, le eube de 66 serait plus fort que 283593, et la soustraction ne pourrait pes se faire.
“ou seulement égal à 3 fois le carré de la racine obtenue, plus 3 fois cette raeine plus un. Si cela arrivait la racine obtenue serait trop faible.
Si l'opération laisse un reste, la racine exacte ne peut jamais s’obtenir, mais on en approchera tant qu’on voudra au moyen des décimales: A cet effet, on ajoute au reste 3 zéros pour chaque chiffre décimal que l’on veut avoir à la racine, et l’on continue l’opération.
Règle. Pour extraire la racine cubique d’un nombre, on le partage en TRANCHES de 3 chiffres à partir de la droite (la dernière tranche à gauche peut avoir moins de 3 chiffres) ; on extrait la racine du plus grand cube contenu dans la 1re. tranche à gauche, ce qui donne le premier chiffre de la racine; on retranche le cube de ce chiffre de la 1re. tranche; à côté du reste, on abaisse la tranche suivante dont on sépare les 2 1ers. chiffres à droite, et Pon divise la partie restante par le triple carré du chiffre mis à la racine ; le quotient donne le chiffie suivant de la racine ; on forme le cube des 2 chiffres déjà trouvés à la racine, et on le retranche des 2 tranches à gauche du nombre proposé ; à côté du reste, on abaisse la tranche suivante ; on sépare les 2 chiffres à droite, et l’on divise ce qui reste à gauche par le triple carré des 2 chiffres déjà obtenus à la racine; ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait abaissé toutes les tranches. Si le diviseur ainsi formé n’était pas contenu dans le nombre que l’on prend pour dividende, on mettrait O0 à la racine, et l’on abaisserait une autre tranche, s’il y en avait encore, etc.
94. Pour former le cube d’une fraction, il suffit de cuber le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
Donc, pour obtenir la racine cubique d’une fraction, il faut extraire séparément celle de son numérateur et celle de son dénomuinateur. La racine cubique de 27 = $. On peut aussi réduire la fraction en décimale.
95. Le cube des fractions décimales s’obtient comme celui des nombres entiers, en observant ce qui a été dit sur la multiplication des nombres décimaux.
Ainsi: la racine cubique d’une fraction décimale s’obtient de la même manière que celle des nombres entiers, mais il faut compléter les tranches, en mettant un ou deux zéros à droite du nombre proposé.
Problème. Quel est le nombre qui, multiplié 2 fois par lui-même, donne 1645665902 ?
2e. Problème. Quelle est la racine cubique de 30371328 ?
3e. Quelle est la racine cubique de 5%x ?
Réponse, 5.
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RAISONNEE. 111
4e. On demande la racine cubique de 2 à un millième près ? Réponse, 1,259.
5e. Extraire la racine cubique de % = Ÿ+
96. On obtient la racine quatrième d’un nombre, par Pezxtraction de deux racines carrées consécutives. Ainsi la racine 4e. de 65536 est 16.
97. On peut uéterir la racine sixième d'un nombre par une racine carrée et une racine cubique, ou par une racine cubique et une racine carrée. Demande-t-on, par exemple, la racine sixième de 7529536 : j’extrais la racine carrée de ce nombre, laquelle est 2744 . J’extrais ensuite la racine cubique de cette racine carrée ; je trouve qu’elle est 14 ; telle est la racine sixième demandée.
Pour extraire les autres racines, on a recours aux logarithmes, au moyen desquels on obtient plus promptement et plus facilement une puissance quelconque d’un nombre, ainsi qu’une racine quelle qu’elle soit: 1] nous est impossible d’en parler ici.
Problèmes.—1er. Quelle est la racine quatrième de 9475854336 ?
2e. On demande la racine sixième de 1000000.
Réponse, 10.
Cherchez la racine cubique de 7346104235.
Les Mathématiques, jeunes élèves, sont une mine fort riche ; il en coûte un peu pour l’exploiter, mais on est emplement dédommagé par les trésors que l’on en retire: ce que vous avez vu jusqu'ici est le commencement de cette science qui est elle-même la clé de toutes les autres sciences.
PLANIMÉTRIE
OU
