Soit XY (fig. 668) la ligne de terre, c’est-à-dire

. Googlt

^intersection du plan du tableau avec le plan horizontal de projection. Soient O et P les projections de l’œil du spectateur. Joignons OP qui coupera XY en H ; prenonsM/n et Un égaux à HP; joignonsPw etPn. Élevons les verticales otD et «D', et menons par le point O uné parallèle D D' à la ligne de terre.

Le point O est le pied de la perpendiculaire abaissée ide l’œil du spectateur sur le plan du tableau ; si l'on imagine, par conséquent, au delà de ce tableau une droite quelconquequi lui soit perpendiculaire , en vertu du principe H1 (659), sa perspective passera par le point O. Ce point se nomme le point de vue , et la droite DD' menée parce point parallèlement à la ligne de terre se .nomme la ligne d’horizon ou simplement V horizon.

Les droites 01) et P /h .sont les projections d’une droite menée par l’œil du spectateur parallèlement à P m (500); et, d’après la construction , le point D est la trace verticale de cette droite (507). D’après le principe déjà cité, si l’on imagine au delà du tableau une droite parallèle à P«<, sa perspective passera par le point D, On ferait voir de même que si une droite est parallèle à P /Z, sa perspectâve passera par le point D'. Les points ,D et D' se nomment les points de distance y parce que les distances OD et OD' sont égales à PH , c’est-à-dire à la distance de l’œil du spectateur au plan du tableau.

llemarquons que de triangle PH n/ étant isocèle rectangle , l’angle HwP vaut dô**; il en est de même de l’angle H«P. Remarquons en outi’e que, si une droite est parallèle à P/« ou à .P/i, et que par un.point'de cette droite on mène une parallèle à XY, l’angle compris sera égal à H /« P ou à H /z P (428) , c’est-à-dire vaudra 45®.

Ce que nous venons de dire se résume donc dans ces deux lois générales, qui suflisent à elles seules pour résoudre, la' plupart des problèmes ordinaires de la persfM^ctive ; . i .

Si une droite est .perpendiculaire au plan du tableau y sa perspective va passer par le point de vue. j

, Si une droite fait avec la ligne de terre (ou avec une

Digilizcd hy C>()(h^I

GÉOMÉTRIE DANS l’espace. 609

parallèle à la ligme de lerre) un angle de 46®, sa pers/iectû<e va passer h l’un des deux points de distance.'

Voyons maintenant le parti qu’on peut tirer de ces deux lois. '

.Remarque. Les divers points dont nousauronsà chercher la perspective étant situés denûère le plan du tableau, leurs projections horizontales seront situées au-dessus de la ligne de lerre (503), c’est-à-dire précisément dans l’emplacement destiné à la perspective demandée. Pour éviter cet inconvénient , nous reporterons dorénavant la ligne de terre parallèlement à elle-même au delà des projections données, afin de pouvoir exécuter à part les constructions relatives aux données du problème, et celles qui se rapportent à la perspective demandée.

6G1. — PnoBLÉME. Mettre en perspective un point situé sur le plan horizontal de projection. Soit M (fig. 569) le point donné. Abaissons MA perpendiculaire sur XY ; rabattons MA en B A par un arc de cercle; reportons les pbints A et B en a et b par des perpendiculaii’es à xy. La droite AM étant perpendiculaire au plan du tableau, sa perspective sera une droite aO dirigée vers le point de vue. La droite BM étant inclinée de 45" sur XY, 'puisque M AB est un triangle isocèle rectangle , sa perspective sera une droite AD dirigée vrers le point de distance; da perspective du point M est donc l’inter- ’ section s des droites aO et bi).

662. — Problème. Mettre en perspective un polygone situé- sur le plan horizontal de projection AB CD E (fig. 570). Il suffit de répéter pour chaque sommet la construction que nous venons d’indiquer , et de joindi'e les points obtenus par des droites. Le polygone ahede qui en résulte est la perspective du polygone proposé.

663. — Pbobléme. Mettre en perspective un cercle si- .tué sur le plan horizontal de projection (fig. 571). Circonscrivez- au cercle un polygone régulier. Mettez en •perspective ce polygone, ainsi que les points de tangence , et tracez à la main une courbe qui passe par les • perspectives de ces {K>ints de tangence et .soit tangente

6i0 SVCOlfOE PAKTft*

aux côtés du polygone perspectif. Cette courbe sera ta perspective du cercle proposé.

Remarque. Quand le cercle proposé n’a pas de trop gi’andes dimensions, il suffit de lui circonscrire un hexagone régulier ; et si on le place, comme nous l’avons fait dans la figure, de manière que deux de ies côtés I soient parallèles à la ligne de terre, il en résulte plu-

sieurs simplifications que l’on découvrira sans peine.

Quand le cercle proposé est très-petit, on se contente dè lui circonscrire un carré.

^ 664. — Problème. Mettre en perspective un parquet

^ composé de carrés (fig. 572). Toutes les lignes parallèles

à X Y resteront parallèles à xy en perspective. Toutes tes lignes perpendiculaires à XY iront en perspective concourir au point de vue. La droite AC qui fait avec XY un angle de 45“ ira en perspective passer par le point de distance. Pour obtenir la perspective demandée, il faut donc : par tous les points de division de aô mener des droites au point de vue ; par le point a mener une droite au point de distance ; et par les points où cette dernière droite rencontre les premières, mener des parallèles à a ô.

665. — S’il s’agissait de mettre en perspective une figure située dans un plan horizontal quelconque , connaissant la hauteur de ce plan au-dessus du plan horizontal de projection, on se donnerait sa trace verticale (sur le plan du tableau) , et l’on répéterait les constructions précédentes en se servant de cette trace comme de la ligue de terre. La figure 573 représente la perspective d'un plafond obtenue de cette manière : ap est la hauteur du plafond.

666. — Problème. Mettre en perspective une pyramide régidiere h base carrée (fig. 574). Supposons que sa base A B C D ait deux de ses côtés parallèles à la ligne de terre. Mettons cette base en perspective , ainsi que la perpendiculaire PM abaissée du pied P de .son axe sur la ligne de terre. Aux points m et p élevons des verticales. Prenons mS égal à la hauteur de la pyramide;

CÉ05IÉTRIE -DAIIS l’espace. 511

par le poinl S menons une droite au point de vue , le point où elle rencontrera la verticale <lu point p sera la perspective s du sommet de la pyramide , et l’on n’aura plus qu'à joindre sa, sh , sc , srl. En effet : 1® l’axe de la pyramide étant vertical , la perspective de cet axe est verticale aussi; 2" les droites S O et ///O étant les perspectives de deux droites parallèles , /y jr est la pers|)ective d’une droite égale à ms, c’est-à-dire à la hauteur de la pyramide.

GG7. — Paoiii.ËME. Mettre en perspective un cube (fig. 575). Supposons que sa base ail deuxcôUis parallèles à la ligne de terre. Après avoir mis cette base eu perspective, on remarquera que la face antérieure du cube reste carrée en perspective, puisqu’elle est parallèle au plan du tableau; on achèvera donc le carré ubef. Aux )M)iots c et d on élèvera des verticales , et par les points e eXfoxx mènera des droites au poinl de vue; ces droites rencontreront les verticales egeV dh aux points ^ct A; on tirera (jui devra être parallèle à la ligne de terre; et la perspective demandée sera construite.

608. — Pnuui.EME. Mettre en perspective un cylindiv droit à génératrices verticales (fig. 576). Inscrive/ le cylindre dans un prisme droit à base carrée, dont deux c()tés soient parallèles à la ligne de terre; incite/ ces bases en perspective avec les cercles qui y sont inscrits; menez ensuite deux tangentes communes extérieures aux perspectives de ces cercles; ces tangentes devront être verticales, et seront les perspectives des deux génératrices extrêmes visibles.

669. — PauBLËME. Mettre en perspective une allée d’arbres dirigée. j>erpen(Jiculairement au plan du tableau (fig. 577). Nous supposerons, pour plus de simplicité, que tous les arbres aient sensiblement la même hauteur, et soient équidistants. Soit AB la largeur de l’allée; ou portera sur cette droite , à partir du point B, une série de longueurs égales à la distance mutuelle des arbres; par tous les points de division on mènera des droites au )x>int de distance, et par le poinl B une droite au point de vue. Les iioints d’intersection seront les perspectives

5i2 SECONDE PARTIE.

des pieds des arbres (661). Farces différents pieds on élèvera des verticales ; on élèvera aussi une verticale au point B, sur laquelle on prendra une longueur B C égale à la hauteur des arbres, et par le point C on mènera une droite au point de vue. Les points où ceKe droite rencontrera,les verticales seront les sommets des arbres. On n'aura plus qu'à répéter ces constructions pour obtenir le second côté de l’allée.

070. — C’est par des constructions de même nature qu’on obtient la perspective d'un portique dirigé perpendiculairement au plan du tableau (fig. 578). L’inspection de la figure suffit pour rendre compte des opérations imncipales.

Nous ne pousserons pas plus loin ces exemples, qu’il serait facile de multiplier.’ Ils suffiront pour donner une idée des procédés les plus ordinaires de la perspective.

Nous ferons remarquer que la position attribuée à l’œil du spectateur n’est point entièrement arbitraire. Sa hauteur au-dessus du plan horizontal de projection est prise ordinairement égale au tiers environ de la hauteur du tableau, et sa distance au plan de ce tableau varie entre la largeur même du tableau et la moitié de cette largeur. C’est entre ces limites que le dessin offre plus de grâce et de clarté.

671. — C’est encore d’après les règles de la perspective que l’on trace les cartes de géographie ordinaires, dites projections stéréographiques. On suppose le globe terrestre coupé par un méridien quelconque, par le méridien de l’Ilè-de-Fér par exemple; le plan de ce cercle est celui que l’on prend pour le plan du tableau , et l’œil du spectateur est supposé au pôle de ce cercle (non pas au pôle du globe). Les rayons visuels menés de ce pôle à tous les points des différents cercles que l’on peut tracer sur la sphère forment des surfaces coniques, généralement obliques , qui ont ce pôle pour sommet et ces cercles pour directrices. Ces surfaces coniques sont coupées par le plan du tableau suivant des courbes qui sont les pcrspoclives des cercles correspondants dé la sphère. Or, il arrive, en raison du choix

GKOISIKTRIE DANS l’eSPACE. 513

que Ton a fait poiirje plan du tablc.nu et pour la position de l’œil du spectateur, et à cause de certaines propriétés des surfaces coui([ues obliques à directrice circulaire , que toutes les intcrseclions dont nous venons de parler sont des cercles, ou du moins des arcs de cercle. Cette circonstance permet de tracer, à l’aide du compas, la perspective de tous les cercles de longitude et de latitude, et de déterminer, par conséquent, trèscommodément sur la carte la position de tous les points dont la longitude et la latitude sont connues.

La figure 579 représente un hémisphère de mappemonde. La droite LE' est l’équateur, la droite PP' est l’axe de la terre. Les points de division a, b, c, etc. de l’équateur, sont obtenus en menant des droites au point P par les points de division correspondants A ,B, C, etc. du méridien PEP'E'. Les autres méridiens s’obtiennent en faisant passer des arcs de cercle par les points P, P', puis P, b, P', puis P, c, P', etc. Les points de division m,n, pet « de l’axe, sont obtenus en menant des droites au point E’ par les points de division correspondants A,B,C, etc. du méridien. Les cercles parallèles s’obtiennent en faisant passer des arcs de cercle par les points A, ///, A', puis B , B', puis C, p, C, etc.

Ces projections stéréographiques, qu’il serait plus exact de \\o\wcs\e.e projections pcrspecüves y sont souvent employées, parce qu’elles conduisent à des déformations moins grandes que les autres modes de projection. Néanmoins les parties qui bordent l’hémisphère se trouvent un peu distendues, surtout aux environs de l’équateur.

Outre ce système de projections, on emploie encore des projections orthogonales , oii tous les points du globe sont projetés par des perpendiculaires sur un même plan méridien. Dans ce cas, les parties qui bornent l’hémisphère se trouvent, au contraire, trop pre.ssées.

Enfin, on fait usage d’un troi.sième .système de cartes appelées p/"q/ec//o/<.v de Men'alor. Dans ces cartes, les cercles parallèles sont représentés tout simplement par des droites hori/.on taies et les méridiens par des droites

514 $tCOAt>B BAfIfllt

terticil<4. Ce ioRt atôn les ré^ns polairefl qfti §e vent le plus déformées.