CHAPITRE VII

Mesure de la Surface des corps.

672. — Toutes leS faces d’un polyèdre étant des polygones, dont nous avons appris à évaluer l’aire, il suffira, pour obtenir l’aire de la surface totale d’un polyèdre , de faire la somme des aires de toutes ses faces. Nous aurons donc peu de chose à ajouter sur ce sujet,

Théorème. La surface latérale d’une pyramide Hère S AB CD EF (fig. 510) a pour mesure le produit du périmètre de sa base par la moitié de la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l’un des côtés de cette basç. En effet , cette surface latérale se compose d’une série de triangles isocèles égaux. L’aire de l’on d’eux, ASË par exemple, a pour mesuré le produit de AB par la moitié de la perpendiculaire SI. Pour avoir la mesure de la surface latérale totale, il n’y a qu’à répéter èe produit autant de fois que la pyramide a dé fàceÉ , ou autant de fois qne sa base a de côtés. En appelant ri Ce nombre de côtés , la mesure cherèhéè sera donc

AËXiSIX», ou ISIXABX/*..

Or, ABX^ exprime le périmètre de la base; cette expression revient donc à l’énoncé du théorème.

CoHOLLAiRB. Ou ferait voir de même que ta tutfûee J latérale dune pyramide régulière tronquée a pouf më~ sure le produit de la distance des deux ar0tes parallèles d’une même face par la demi-somme des périmètres dès deux bases.

67S. — Théoréhb. Ldsur/ace latérale d’un prisme droit a pour mesure le produit de Sa hauteur par le périmètre dé sa base. En effet , cette surface latérale ^ compose d’une série de rectangles qui ont tons pour hauteur la hattleur du prisme. Appelons H cette hauteur, B, B',B‘,6tfe. les bà^es de ces rectangles , c’est-à-dire les côtés du po-

CIÎOMIÎTRIE DANS l’lSPACE. 515

lygone qui sert de base au prisme, Taire de lu siivlace latérale de ce prisme aura pour expression

B X H-+- B' X X H + etc. ,

ou (B-hB' + B'+elc.) XH, ’

c’est-à-dire le produit du périmètre de sa base par sa hauteur.

Application. Combien faudrait-il cF une étoffe h 8 décimètres de large pour recouvrir les murs (tun salon octogone, qui a 3'“, 4 de hauteur , et dont chaque mur a 2“, 5 de largeur? Pour résoudre cette question , il faut d’abord évaluer Taire de la surface totale des murs, laquelle est la surface latérale d’un prisme droit, dont la base est un octogone régulier de 2“,5 de coté. Cette aire , d’après ce que nous venons de voir, aura pour valeur »

, 3'", 4 X 2*“, 5 X 8, ou 68“ «. * i

Pour avoir maintenant la quantité d’étoffe cherchée*, il faut remarquer qu’elle forme un rectangle' dont une dimension a 0“,8, et dont Taire doit équivaloir à 68m c; pour avoir la quantité d’étoffe cherchée, c'està-dire la seconde dimension du rectangle, il faut donc diviser 68“ « par 0“,8; ce qui donne pour quotient 8-5“.

674. — Nous avons à nous occuper maintenant deà corps terminés par des surfaces courbes. ’ d

Théorème. La surface latérale d’un cylindre a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence dè sa base. En effet, si Ton suppose cette surface fenduè suivant une génératrice AB (tig. 580), puis développéè sur un plan i nous savons (539) que la circonférence de la base inférieure se développera suivant une droite B B' perpendiculaire à AB; de même la circonférence de là base supérieure se développera suivant imé droite AA? perpendiculaire à AB. D’ailleurs, AA' et B B' seront égales , puisque les circonférences dont elles sont lé développement ont même rayon ; la figure A B B'A'.est donc un rectangle, qui a pour hauteur AB, ou la hauteur du cylindre, et pour base B B', ou la circonférence de là base du cylindre. L’aire de ce rectangle a pour exprès^

sion A B X B B' ; la surface du cylindre a donc pour mosure le produit de sa hauteur par la circonférence de sa hase.

Application. La cheminée d’un bateau à vapeur est un cylindre dont les dimensions varicuït d’après celles du navire. Supposons que son diamètre soit de 0"',85 et sa hauteur de 9*“,44 , sa surface latérale aura pour mesure

9'",44 X 0'",85 X ou 9®, 44 X 0®8ô X 3,1416,

ou, en effectuant le calcul, 25“ «,2082. Cette superficie fait connaître la quantité de tôle qui entre dans la construction de la cheminée.-

Remarque. On démontre que la surface latérale d’un cylindre tronqué (fig. 544) a pour mesure le produit de son axe 01 par la circonférence de sa base. Pour obtenir la longueur de l’axe 0 1 , on détermine le centre de la liase elliptique; on mène par ce centre une droite quelconque CD , et par les points C et D les génératrices C B et DA; la demi-somme de ces génératrices est la longueur de l’axe 0 1.

675. — TiiEohème. La surface latérale dé un cône a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par la moitié de son côté. Kn effet, si l’on suppo.se cette surface fendue suivant une génératrice SB (lig. 58I), puis développéesurun plan, nous savons (548) que la circonférence de la base se développera suivant un arc de cercle B B' ayant le sommet S pour centre; l’évaluation de la surface du cône revient donc à celle du secteu r de cercle BSB'. Or, celui-ci a. pour mesure ISBXBB'; d’ailleurs B B' équivaut en longueur à la circonférence delà hase du cône, et SB est son côté; donc la surface latérale du '' cône a pour mesure le produit de la moitié de ce côté par cette circonférence.

Application. Supposons que le toit conique d’une tour ronde ait 8“,5 de diamètre à sa base et G“,4 de côté ,

la superficie de ce toit aura pour valeur X 8">,5 X ,

ou, en remplaçant parsa valeur approchée 3,1416 et effectuant le calcul , 85"* S‘l'>i On peut avoir besoin de cotte

GKOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 517

superficie pour déterminer la quantité de matériaux nécessaires à la couverture du toit.

C7G. — Théorème. La surface latérale d’un cône tronqué a pour mesure le produit de son côté par la demisomme des circonférences de ses bases. Supposons , en effet, que la surface du cône dont ce tronc fait partie soit fendue suivant une génératrice SB (fig. .'581), puis développée sur un plan. La surface du cône entier aura pour développement un secteur BSB'; celle du petit cône retranché aura pour développement un secteur semblable ASA'. La surface latérale du cône tronqué aura donc pour développement le trapèze circulaire ABB'A'. ïious avons vu (334) que Taire de ce trapèze a pour mesure AB X aCA À'-l-BB). Or, AB est le côté du cône tronqué, A A' et B B’ équivalent respectivement en longueur aux circonférences de ses deux bases : la surface latérale de ce cône tronqué a donc pour mesure le produit de son côté par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.

Conoi.i.AiuR. L’aire de la surface latérale du cône tronqué e.st susceptible de deux autres expressions qu'il est utile de connaître.

1 “. Soi t A B C I) (fig. 582) la section méridienne d’u n cône tronqué, E E son axe; AB sera son côté, AE et BF seront les ravons de .ses bases; et, en désignant par S Taire de la surface latérale, on aura, d’après ce qui précède, S = A B X I {circonf. A E circonf. B F ).

Par le milieu 1 du côté AB, menons lü parallèle à AE; cette droite équivaudra à la demi-somme des rayons AE et B F (321, Rem.); et comme les circonfék’ences sont entre elles comme leurs rayons, la circonférence dont le rayon est lil e.st la demi-.somme de celles qui ont pour rayons AE et BF ; ainsi Ton a S = A B X c//r. I II ;

c'est-à-dire que la surface latérale d'un cône tronqué a pour mesure le produit de son côté par la circonférence de la section faite à é^ale distance, des deux bases , parallèlement à ces bases. Celte expression s’appliqueà la sur-

- -i by Gi-oglc

Di

5i8 SECOBDE. PARTIE.

face latérale du cône entier; car il suffit» dans ce cas, de supposer que la base supérieure se réduit à un point qui est le sommet du cône.

2°. Élevons au point I la droite 10 perpendiculaire à AB , et abaissons du point A sur B F la perpendiculaire AG. Les deux triangles AB G et OHI seront semblables , comme ayant leurs trois côtés perpendiculaires chacun à chacun, savoir: ABàlO, AGàBF et par suite à sa parallèle I H , et enûn B G à 0 H. On a donc la proportion