CHAPITRE VII

De la mesure des aires.

315. •— Mesurer l’aire d’une figure, c’est la comparer à une autre aire prise pour unité.

On choisit pour unité d’aire celle d’un carré auquel on donne pour côlé l’unité de longueur. Si , par exemple, ruiiité de longueur est le mètre, l’unité d’aire est celle d’un carré qui a un mètre de côté, et qu’on appelle mè/rc rar/c. Si l’unité de longueur est la toise, l’unité d’aire est celle d’un carré qui a une toise de côté , et qu’on appelle toise carrée ; et ainsi de suite.

Ainsi , en admettant que a^cr/(fig. 2G3) soit un carré dont le côlé a b ait l’unité de longueur, mesurer l’aire d’un rectangle AB CD, c’est chercher combien de fois sa superficie ou son aire contient celle du carré abed. Pour obtenir cette évaluation, on pourrait croire qu’il faut recouvrir la surface AB C D avec des carrés égaux à abedj et compter le nombre de ces carrés; mais on va voir qu’il n’est point nécessaire de recourir à celte opération , qui serait impraticable dans la plupart des cas.

316. — Théoiiëme. L’aire d’un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit A B D C (fig. 263) un rectangle. On donne le nom de basek l’un quelconque de ses côtés, ordinairement à celui qui occupe le bas de la figure ; l’un quelconque des côtés adjacents à la base est alors ce qu’on nomme la hauteur.

L’énoncé ci-dessus signifie que pour obtenir le nombre d'unités d’aire que contient la superficie du rectangle, il faut chercher le nombre d’unités de lon-

2^0 PREMlèl\E PARTtE.

gueur contenues dans sa base AB, le nombre d’unités de longueur contenues dans sa hauteur AD , et multiplier ces deux nombres l’un après l’autre. '

En effet , pour fixer les idées , supposons que A B contienne? fois Tunité de longeur ah , e\. que la hauteur AD la contienne 5 fois. Divisons la base en 7 parties égales , et par tous les points de division menons des parallèles à la hauteur. Divisons la hauteur en 5 parties égales , et par tous les points de division menons des parallèles à la base. Les divisions de AB se trouvant précisément égales à a 6 ainsi que les divisions de A D , toutes ces divisions sont égales entre elles. D’ailleurs ,

^ cause des propriétés des parallèles (134), toutes les parallèles à la base seront divisées en parties égales par les parallèles à la hauteur, çt vice verni; de plus tous les angles de la figure seront droits. Le rectangle AB CD se trouvera donc partagé en petits carrés égaux à ahcd ^ c’est-à-dire en unités d'aire. Le nombre de ces unités est facile à obtenir. Car le rectangle A B C D se trouve partagé en autant de colonnes qu’il y a d’unités de longueur dans AB, c’est-à-dire eu 7 colonnes; et chacune de ces colonnes se compose d’autant de petits carrés qu’il y a d’unités de longueur dans A D, c’està-dire de 5 carrés. Le nombre total des carrés est donc , 5 X 7 ou 35 , c’est-à-dire que le rectangle ABC D contient 35 unités d’aire.

On voit que pour obtenir ce nombre d’unités d’aire, on a multiplié 5, nombi'e d’unités de longueur contenues dans la hauteur AD, par 7, nombre d’unités de longueur contenues dans la base AB, c’est-à-dire que l’on a fait le produit de la hauteur du rectangle par sa base. D’ailleurs, les raisonnnements que nous venons d’employer, sont tout à fait indépendants du nombre d’unités de longueur contenues dans la hauteur et dans la base; ainsi le théorème est démontré pour tous les cas où la base et la hauteur contiendront chacune un nombre exact d’unités de longueur.

Or, si celte condition n’est pas remplie, rien ti’empêchera de recourir à une unité de longueur de plus en

plus petite, jusqu’à ce que cette unité soit cootenue un nombre exact de fois dans la hauteur et dans la base; et alors le théorème aura encore lieu.

SI la base et la hauteur sont incommensurables , on pourra toujours mesurer l’une et l’autre avec un degré d’approximation , jtel que l’erreur soit inappréciable , c’est-à-dire les rapporter à une unité de longueur assez petite, pour que cette unité soit contenue un nombre exact de fois dans chacune d'elles, à cela près d’un reste inappréciable. On pourra donc considérer encore le théorème comme vrai dans ce cas.

Nous démontrerons bientôt un autre théorème qui donnera à celui-ci, dans le cas de l’incommensurabilité, toute la rigueur désirable.

CoROLLAins. Dans le cas où le rectangle proposé est un carré, la base et la hauteur sont égales, et pour obtenir le nombre d’unités d’aire contenues dans la superficie de ce carré, il suffit de multiplier par lui-mérae le nombre d’unités de longueur que contient l’un de ses côtés. Si , par exemple , le côté de çe carré contient 2 unités de longueur, sa superficie contiendra 2X2, ou 4 unités d'aire. Si le côté du carré contient 3 unités de longueur, sa superficie contiendra 8 X 3 1 ou 9 unités d’aire , et ainsi de suite.

C’est pour cela qu’on donne en Arithmétique le nom ^

de carré au produit d’un nombre par lui-méme.

317. — Cette observation nous permet de faire comprendre comment se subdivisent les unités d’aire.

Un centimètre valant 10 millimètres , un centimètre carré vaut 10 X 10 ou 100 millimètres carrés. i

*Un décimètre valant 10 centimètres , un décimètre ^

carré vaut 10 X 10 ou 100 centimètres carrés.

Un mètre valant 10 décimètres , un mètre carré vaut 10 X 10 ou 100 décimètres carrés.

Un décamètre valant 10 mètres, un décamètre carré vaut 10 X 10 ou 100 mètres carrés.

Un hectomètre valant 10 décamètres, un hectomètre carré vaut 10 X 10 ou 100 décamètres carrés; et ainsi de suite. ^

212 PREMliîRE PARTIE.

Rappelons ici que , dans la mesure des terres , Thectomètre carré prend \eno\nà'hectare , le décamètre carré le nom CCare, et le mètre carré le nom de centiare.

Remarque. Dans le système métrique , les différentes unités d’aire se convertissent sans calcul les unes dans les autres; il suffit pour opérer cette conversion, d’un simple transport de virgule. Ainsi, 16‘“=-,G51973 reviennent à '-,1973 , ou à 16G519“"^- ®-,73 , ou

à 16ü51973““i**“ De même 273654™ '- reviennent à 2736**““'“- ' ,54 , ou à 27''"*- ' ,3654 , ou à 27 hectares 36 ares et 54 centiares.

318.-— Un pouce valant 12 lignes, un pouce carré vaut 12 X 12, ou 144 ligues carrées.

Un pied carré valant 12 pouces, un pied carré vaut 12 X 1 2 , ou 144 pouccA carrés.

Une toise valant 6 pieds, une toi.se carrée vaut 6X6, ou 36 pieds carrés.

Une perche des eaux et forêts valant 22 pieds, une perclie carrée vaut 22 x22, ou 484 pieds carrés.

Remarque. D’après cela, pour convertir en pieds carrés un nombre donné de toises carrées, il faut le multiplier par 36 ; pour convertir en pouces carrés un nombre donné de pieds carrés, il faut le multiplier par 144; pour convertir en lignes carrées un nombre donné de pouces carrés, il faut le multiplier par 144.

Réciproquement, pour extraire d’un nombre donné de lignes carrées les ponces carrés qui y .sont contenus, il faut le diviser par 144; le quotient donne les pouces carrés , le reste exprime des lignes carrées. Pour extraire d’un nombre donné de pouces carrés les pieds carrés qui y sont contenus, il faut le divi.ser par 144; le quotient donne les pieds carrés, et le reste exprime des pouces carrés. Pour extraire d’un nombre donné de pieds carrés les toises carrées qui y sont contenues, il faut le diviser par 36; le quotient donne les toises carrées, et le reste exprime des pieds carrés. Pour extraire d'un nombre donné de pieds carrés les perches carrées qui y sont contenues, il faut le diviser par 484, s’il s’agit de perches des eaux et forêts, etc.

GÉOMl^TRIE PLA.NE. 213

D'après cela : 8349073 lignes carrées reviennent à 57979i»c- 97'v-, ou à 402''^- 9lF 97 i'-, ou à 1D+' 6t“- 91^*^- 97 ‘

319. — ArPLioATioxs. Comme application de ce qui précède, nous plions résoudre quelques problèmes numériques.

I. Pbqoc^me. Le plancher dune salle cariée a 5“ ,22 lie longueur f quelle est sa superficie? Le côté du carré contient ô23 centimètres; la superficie contient conséquemment .523x^23, ou 273529 centimètres carrés; ce qui revient à 27‘“«- «• 29"“‘- •= .

IL — PboblE>|e. La toile d’un tableau, de forme rectangulaire, a2^ 1 '‘l^de largeur, sur l'^2' JlP <île hauteur, quelle est sa superficie? La largeur est de 163 pouces; la hauteur est de 107 pouces; la superficie demandée est donc 163xl0î'i ou 17441 pouces carrés, ce qui rcr vient, d'après ce que nous avons vu au n” 318, à

in. — Problème. Quelle est la superficie d'un champ de forme rectangulaire de , 7 de longueur, sur

1 3*'*“'“ ,8 de largeur? La base du recfangle a 247 mètres ; sa hauteur a 133». La superficie de ce rectangle est donc de 247 x^^S, ou 32851 mètres carrés; ce qui revient à 3 hectares 28 ares et 51 centiares.

320. — TnÉORÉviE. L'aire (F un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit A B CD (fig. 264) un parallélogramme. L’un de ses côtés, ordinairement celui qui occupe le bas de la figure , se nomme sa hase; sa hauteur çsl la distance entre la base AB, et le côté DC parallèle à cette base, distance qui se mesure par la longueur de la perpendiculaire B<;?, commune è ces deux lignes.

L’énoncé çi-dessus signifie que , pour obtenir le nombre d’unités d’aire contenues dans la superficie du parallélogramme ABCD, il faut chercher le nombre d’unités de longueur contenues dans la base AB, le nombre d’unités de longueur contenues dans la hauteur B/w, et multiplier ces deux nombres l’un par l’autre.

21 4 PKEMIKRE PARTIE.’

Pour le prouver, menons par le point A une parallèle à B/n; celte parallèle rencontrera en un point n le prolongement de CD. La figure AB////* est un parallélogramme rectangle. On a , d’après cela , A// = B /// ; on a , de plus, ADra: BC; d’ailleurs, les angles // AD et mBC sont égaux, comme ayant leurs côtés parallèles chacun à chacun , et dirigés dans le même sens; donc les triangles A//D et B/nC sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. ^

Mais, si de la figure totale ABC// on retranche le triangle A// D, il reste le parallélogramme ABCD; si delà même figure totale ABC// on retranche le triangle B/// C, il reste le rectangle AB/////. Or, si d’une même quantité on retranche alternativement deux quantités égales , les restes sont égaux. Ainsi , les figures AB CD et AB///// , différentes de forme, sont équivalentes en superficie. L’aire du parallélogramme a donc pour mesure la mesure de l’aire du rectangle, c’est-à-dire AB X B///, ou le produit de la base A B du parallélogramme par sa hauteur B///.

Application. Supposons que dans un parc il se trouve une prairie ayant la forme d’un parallélogramme, dont la base ait S****^'*» , 17, ou 317 décimètres, et la hauteur l«kWn. ^ 85^ ou 1 85 décimètres ; la superficie de celle prairie sera de 317X185, ou 58G45 décimètres carrés, ce qui revient^ à 5 décamètres carrés, 8G mètres carrés et 45 décimètres carrés.

321. — Théorème. L'aire tVun trapèze a pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-somme des bases parallèles. On nomme hauteur ù’xxn trapèze la distance de ses côtés parallèles, c’est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune à ces deux côtés, lesquels prennent le nom de i//.ve.y. J

L’énoncé ci-dessus signifie que, pour trouver combien la superficie d’un trapèze contient d’unités d’aire, il faut chercher combien les bases parallèles contiennent d’unités de longueur, ajouter les deux nombres obtenus,* prendre la moitié de la somme, et la multiplier par le nombrfe d’unités de longueur contenues dans la hauteur du trapèze.

GlioHlÉTlUi: PLAJVE. 215

Kn effet, soit ABCD (fig. 205) un trapèze. Par le j)oinl I, milieu de Clî, menons mn j)arallèle à AI), et qui rencontre en ni la base AB, et en n le prolongement de la base CD. Si l’on compare les deux triangles IC« et IB/«, on voit qu’ils ont CI=1B, les angles (]l« = BI/« comme opposés par le sommet, et «CI==/«BI, comme alternes internes; ces deux triangles ont donc un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; ils sont donc égaux. Mais si de la figure totale A B1 «D on retranche alternativement chacun de ces triangles, il reste, d’une part , le trapèze A BC D, de l’autre la figure A///«D, qui est un parallélogramme. L trapèze proposé est donc équivalent en superficie à ce parallélogramme.

L’aire de ce parallélogramme a pour mesure le produit de sa hauteur (laquelle est aussi celle du trapèze), par sa base A m. Or , on a :

Aw=AB — /;< B et D rt = DC-l-w C , /• ,.

d’où, en ajoutant membre à membre,

A w-4-D « = AB + DC — mB4-«C.

Mais D«=A w comme parallèles comprises entre parallèles ; d’ailleurs w/B=/f C à cause de l’égalité des triangles /I C I et wBl. Les deux derniers ternies de la relation précédente s’entre-détruisent donc , et l’on a :

2Am = AB-f-DC, d’où km=\ (AB-f-DC),

c’est-à-dire que A //? équivaut à la demi-somme des deux bases du trapèze; et puisque, comme nous l’avons vu, l’aire du trapèze équivalente à celle du parallélogramme A m «D, a pour mesure le produitde leur hauteur commune par la ligne Km, on peut dire que l’aîrc du trapèze a pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases parallèles.

Remorque. Si, par le point I, on raènelH parallèle aux deux bases du trapèze, le point H où cette droite rencontrera le côté A D sera le milieu de ce côté (136); de plus, celte droite sera égale à Km , comme parallèles comprises entre parallèles. On peut donc dire aussi, que l'aire du trapèze a pour mesure le produit de sa hau-

216 PRoiif:nE pa.rtie.

te.nrpar la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles.

Application. Une pièce de terre a la forme tVun trapèze y dont la hauteur est de 38 mètres , et dont les bases ont respectivement 129 mètres et 93 mètres; on demande sa supeiftcie. La somme des deux bases est de 222"’ , dont la moitié est de 1 1 1*"; multiplions (^etle demi-somme par la hauteur 38*", nous trouverons pour produit 4218 mètres carrés. La superficie demandée équivaut donc à 42 décamètres carrés et 18 mètres carrés, ou à 42 ares et 18 centiares.

322. — Théorème. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Chaque côté d’un triangle peut être pris pour sa base; sa hauteur est la longueur de la perpendiculaire abaissée de l’un des sommets sur le côté opposé pris pour base. Si ^ par exemple, on prend le côté A B (fig. 266) pour la base du triangle ABC, sa hauteur sera la perpendiculaire CD, abaissée du sommet C sur la base.

L’énoncé ci-dessus signifie que , pour obtenir le nombre d’unités d’aire contenues dans la superficie d’un triangle, il faut chercher le nombre d’unités de longueur contenues dans la base de ce triangle, le nombre d’unilés de longueur contenues dans sa hauteur ^ multiplier ces deux nombres l’un par l’autre, et prendre la moitié du produit.

Pour le prouver, menons Cm parallèle h A B , et B m parallèle à AC; la figure ABwC sera un parallélogramme. Mais les triangles A CB et wBC, qui ont le côté CB commun , les angles AB C=/m B C comme alternes internes, et les angles ABC — /iiCB par la même raison , sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun. Donc l’un d’eux,

ABC, est la moitié du parallélogramme AB /«C.

Or, l’aire de ce parallélogramme a pour mesure le produit sa base AB, qui est aussi de celle du triangle, par sa hauteur CD qui est aussi la hauteur du triangle. Celui-ci a donc pour mesure la moitié de ce produit, c’est- . à-dire la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Di' ■

. GÉO-MliTRIE PLANE. 217

rn^/Sêmarque. Pom* diviser un produit par 2. il suffit de diviser par 2 l’un de ses facteurs; on peut donc, pour obtenir l’aire d’un triangle, multiplier sa base par la moitié de sa hauteur, ou sa hauteur par la moitié de sa base. Cette observation peut servir à abréger le calcul , quand l’un des deux facteurs est un nombre pair. .^;A.ppI.ICATIo^. Supposons que la base d’un triangle ait 5^ 3’’ 6i* ou 402 pouces, et la hauteur 4* 3i» ou

351 pouces; on pourra multiplier la moitié de la base , ou 201 pouces, par la hauteur. On trouvera ainsi que l’aire du triangle équivaut à 70551 pouces carrés, ou

S23. — Ce qui précède fournit les moyens d’évaluer l’aire d’un polygone quelconque; car, tout polygone pouvant se décomposer en triangles, il suffit de calculer séparément l’aire de chacun d’eux , comme nous venons de le faire voir, et de faire ensuite la somme de toutes ces aires. Cette décomposition en triangles peut s'opérer de plusieurs manières.

On peut, comme l’indique la figure 267, mener par un même sommet À toutes les diagonales AC, AD, AE : on abaisse alors, du point B, une perpendiculaire sur AC, c’est la hauteur du triangle ABC; du point C une perpendiculaire sur AD, c’est la hauteur du triangle A CD; et ainsi de suite. On mesure ces perpendiculaires, ainsi que les diagonales AC, AD, AE, et l’on a les éléments nécessaires pour calculer l’aire du polygone AB CDEF. '

On peut; comme l’indique la figure 268, imaginer le > polygone décomposé en triangles par des lignes menées d’un même point intérieur O à tous les sommets; il n’est pas nécessaire de tirer réellement ces lignes. On abaisse du point O des perpendiculaires sui* tous les cô-' . tés du polygone; on mesure ces perpendiculaires, ainsi que les côtés AB , BC, CD , etc. , du polygone; et l’on a tous les éléments nécessaires pour calculer sa superficie.

324. — Dans l’Arpentage, on emploie une méthode qui diminue de beaucoup le nombre des opérations à effectuer sur le terrain, r

218 PREMièRE PARTIE.

Soit ARCDEFG (fig. 269) le polygone dont on se propose d’évaluer la superficie. On plante des jalons à tous les sommets <lu polygone, si aucun d’eux n’est déterminé par quelque objet qui puisse servir de point de mire. Par les deux sommets les plus éloignés, A et E, on tire la droite A E, à laquelle on donne le nom de directrice. ])e tous les sommets B , C, D , F, G , on abaisse sur celte directrice les perpendiculaires B w, C» , D/^, Yq , Gr. Le polygone se trouve ain.si divisé en triangles rectangles et en trapèzes rectangulaires. Ce mode de décomposition offre, entre autres, l’avantage de n’avoir à transporter l’équerre d’arpenteur que le long de la directrice pour déterminer les points /«, r,n,q, p. En outre, après la décomposition opérée , on n’a plus aucune autre ligne à tirer pour évaluer l’aire de chacune des parties dont le polygone se compose.

On mesure à la chaîne les perpendiculaires B /w, C« , D/7, F^, g /*; et les différentes parties Am,/nr,rn, n q, q P , P Y de \à directrice. On a alors

A B/«=jA/« X B/««C = ^ X (B/« -j-C/î) , et ainsi des autres , ce qui donne :

ABCDE F G = J. [A /« X w/i X (B'« 4- C«) 4- «P X (C«+ +pY X T>p H- E<7 X F<7 + X (F^ -h G /•> -f-rA X Gr],

Application. .Si Ton suppose qu’on ait trouvé les valeurs suivantes :

A/n = 20“»,5i /«/i = 60'“,3; «/> = 57“>,1 ; /pE=31“»,8;

<7 E == 55'", 7 ; rq = 7 3*", 6 ; A r = 40'", 4 ;

Gr=48'»,9,

on aura, en effectuant successivement les opérations indiquées ,

Aire AB CD E F G =4. [.557"' SC0 -t-4î75'" ',76 -F 535 3'"-', 05 H- 1 383*" ',.30 -H 3453'" <^,97 -f- 8 1 60'" ',60 + 1975«-',56],

---'■“d bÿ

GSOMSTAIE PLANE. 319

OU Aire ABCDEFG = = 12886'“ ',92

^ 1 kectare 28 ares 87 centiares

(on augmente le chiffre des unités de centiares, à cause du chiffre suivant, 9 , que l’on néglige).

Remarque. La longueur du calcul précédent tient surtout aux multiplications à effectuer. On peut en diminuer le nombre, en remarquant que l’expression de l’aire du polygone peut s’écrire comme il suit :

Aire AECDEFG == j. [ {km + /» n) X B/« + {m n +np) X Cp + {np+p'E) X J>P+ {Eq-^rj^r)XFq + {qr-\-rk)XGr]. .

En adoptant les valeurs précédentes, on trouverait alors :

Aire ABCI>EFG*=i. [îl97"> «,76-h6104«“^S804-8867*« Sl5

ï^3 — ^ ^ jjççjgpg 28 ares 87 «>ntiares.

325. — Il peut arriver que l’intérieur du polygone soit inaccessible ; on a recours dans ce cas à la méthode suivante :

Soit A B C D E F G (fig. 270) le polygone proposé. Après avoir planté des jalons à tous les sommets, on prolonge l’un des côtés, par exemple GF. Des sommets extrêmes A et E on abaisse sur le prolongement de G F les perpendiculaires AM et E N , que l’on prolonge au delà des points A et E. Du sommet C, le pbis éloigné de GF, on abaisse sur les droites A Met EN prolongées une perpendiculaire commune PO. On forme ainsi un grand rectangle MNOP, dans lequel le polygone proposé se trouve en quelque sorte inscrit.

La méthode consiste à évaluer l’aire de ce rectangle , et à en retrancher l’aire de la partie comprise entre le polygone et les côtés du rectangle; le reste exprime évidemment Faire du polygone. Pour cela , de tous les sommets du polygone qui ne sont point situés sur quelqu’un des côtés du rectangle , on abaisse des perpendiculaires Bin, Bh sur <æs côtés. Oa mesure à la chàiae

2^20 PHEMIÈRE PARTIE.

ces perpendiculaires, ainsi que les longueurs AM, A //i, P/«, PC,C0,0«,«?:, EN,FN,FG, MG. Il est facile alors d’évaluer le rectangle MNOP, les triangles rectangles AMG, A/«B, DE«, ENF,et les trapèzes rectangulaires PCB/w,CO«D. On a

Aire ABCDEFG = MN x MP — [AMXMG + A/«X"?B

-4- Pot X (otB + PC) + 0« X (CO 4- D«) 4-D/iX/iE+ENxNF].

Application, — Si l’on suppose qu’on ait trouvé les valeurs suivantes :

ni B = 20‘" ; D « = 22™,3 ', M A= 50">,7 ; A ot = 41"> ;

OT P = 37>n,8 ; P C == 76'“, 9 ; C O = 75'" ;