CHAPITRE I

i De la ligne droite.

12. ÂXIOWB. D'un point à un- autre on ne peut mener qu'une seule- ligne droite, ou, en d’autres termes, il ne peut y avoir qu’un seul plus court chemin d’un point à un autre.

13. — Théorème. Deux droites qui ont deux points communs A et B (fig. 2 ) , coïncident dans toute leur étendue. Les deux droites coïncident de A jusqu'à B, en vertu de l’axiome précédent; il reste à faire vmr qu’elles coïncident au delà, et que si B C, par exemple, est le prolongement de l’une, le prolongement de l’autre ne saurait avoir un point O situé hors de B C. Supposons, en effet , que l’on fasse tourner la seconde droite autour du point A jusqn’à ce que le point O vienne coïncider avec un des points de B C ; les deux droites coïncideront depuis A jusqu’à O en vertu de l’axiome déjà cité; elles coïncideront donc au point B. Or, dans ce mouvement , tous les points de la droite qu’on fait tourner auront évidemment changé de place, à l'exception du point A ; les deux droites ne coïncideront donc plus au point B , ce qui est contraire à ce que nous venons de dire. On est donc amené à une contradiction en admettant qu’il y

ait sur le prolongement de l’une un point qui n’appartienne pas au prolongement de l’autre; donc ces deux droites Coïncident dahs toute leur.cteûdue.

14. — Corollaire. î)eux points- suffisent pour déterminer une ligne di-oite. On conçoit que l’on puisse , par un même point, mener une ligne droite d'une infinité de manières différentes; mais si on l’assujettit à passer par un second point, sa position est tout à fait déterminée.

15. — Applications. Dans la plupart des métiersetdes arts, on a besoin de U’aoér des ligues druités; on les emploie surtout dans le dessin linéaire , qui est l’art de représenter les objets par des lignes. Pour tracer une ligne droite sur le papier, on fait usage de la règle : on place cet instrument de manière que l'un de ses bords vienne passer sur les deux points qu’on'veut unir par une ligne droite, et l’on fait glisser une pointe à tracer contre ce bord , en l’appuyant sur le papier. Cette opération est d’autant plus e.xacte que le papier est mieux tendu que la pointe est plus déliée , qu’on la tient plus fidèl^raent appliquée contre le bord de la règle , et enfin que la règlp elle-même est plus droite. Voici le moyen de la vérifier.:

Tracez une ligne avec le bord A B de la règle A B C D <fig. 3) ; retournez ensuite la règle sens dessus dessous, comme si A B était une charnière ; l’instrument viendra prendre la position A B C D’. Si le bord AB coïncide encoi'e avec la li^e tracée , on sera certain que cette ligne est suffisamment droite ; car la moindre courbui*e appi'éciable se faisant alors sen tir en sens contraire , l’erreur serait doublée et deviendrait sensible à l’œil , comme l’indique la figure. . , »

C’est encore la règle qu’On emploie pour tracer d^ lignes droites sur un tableau , sur un' mur, sur un parquet , et en général sur toutes les ^rfaces planes de peu d’étendue. Quand cette étendue est trop considérable pour qu’on poisse faire usage d’une> régie, on fixe aux deux points par lesquels la droite doit passer les extr^ mitœ d’un cordeau bien tendu, et enduit d’une matière colorante,* on pince alora.ee cordeau vers son milieu.,

GÉOAIÉTRII’ PLANF. 41

en l’écarlant de la surface, puis on le lâche ; en vertu de son élasticité, il vient frapper la surface dans la position qu’il occupait d’abord , et y trace une empreinte colorée qui est rectili^ic , c’est-à-dire droite.

Les jardiniers et les terrassiers tracent une ligne droite sur le terrain en suivant, à l’aide d’uu piquet, la direction d’une corde tendue par ses extrémités aux deux points qui servent à déterminer celte ligne droite.

Les moyens précédents ne peuvent plus suffire pour tracer sur le terrain une ligne droite d’une étendue considérable; on .se contente alors de marquer les extrémités de cette droite, et un certain nombre do points pris sur sa direction. On emploie à cet effet jalons ou piquets plantés de manière à ne pencher d’aucun côté Ôious verrons par la suite comment on y |>arvient). Chaque jalon est ordinairement surmonté d’une petite plaque |)einte de deux couleurs, et qui sert à le faire distinguer dans réloignenient. Si A et B (fig. 4) sont les jalons extrêmes, pour déterminer la position d’un jalon intermédiaire, on se place en dehors de la ligne A B, de façon que le jalon B soit caché par le jalon A ; et l’oii fait planter un jalon entre ces deux points, en le faisant appuxer à droite ou à gauche, juscpi’à ce qu’il soit égar lemeiit caché par le jalon A. ün obtient ainsi autant du jalons intermédiaires qu’on le désire. G’esl ce qu’on appelle jalonner une direction.

15. — On a souvent besoin de prolonger une ligue droite déjà ti’aeée. Si l’on opère avec la règle, il suffit de la placer de manière qu’une partie notable de l’im de ses bords coïncide avec la droite tracée, l’autre partie du même bord détermine le |)rolüugemeut de celte droite. Avec le cordeau l’opération est analogue. S’il s’agit de prolonger une ligne jalonnée A C (fig. 4), . dont A et C sont les deux derniers jalons, on se place en deçà du jaton A , de façon qu’il cache le jalon C; on fait alors planter Un jalon B au delà du point C, en le faisant appuyer à droite ou à gauche, jusqu’à ce qu’il soit également caché par le jalon A- La dixtite donnée et la droite A B ont ainsi deux points communs A et G

Di '- J by GoogI

PIU:Mli;RE PARTIE.

elles coïncident donc, et C B est le prolongement de* mandé. Rien nVinpêcherait de prolonger la droite A B de la même manière au delà du point B.

17. — La distance de deux points est la longueur de la droite qui joint ces deux points. Ainsi la distance des points A et B (tig. 1 ) est la longueur de la droite A B.

Les lignes droites , ou du moins les portions de droites dont les longueurs mesurent les di.stances mutaelles de différents points , sont susceptibles d’être ajoutées , soustraites, multipliées et divisées comme les autres grandeurs.

• Veut-on faire la somme de deux longueurs données , On tire une droite indéfinie, sur laquelle on porte, à l’aide d’un compas, une distance A B (fig. 2), égale à Tune des longueurs données, puis, à la suite de la première , une longueur B C égale à la seconde longueur . donnée. La distance A C est évidemment la somme des distances A B et B C , c’est-à-dire des longueurs données.

' \’out-on déterminer la différence de deux longueurs données, on porte sur une droite indéfinie une distance AC égale à la plus grande, puis, à partir du point C, mais en sens inverse , une distance C B égale à la plus petite. La distance A B est évidemment la différence des distances A C et C B , c’est-à-dire des longueurs données.

S’agit-il de multiplier une longueur donnée, par 5 par exemple, on porte sur une droite indéfinie, et à la suite les unes autres , 5 distances égaies à la longueur donnée ; la distance totale est évidemment égale à 5 fois cette longueur.

On a pour divi.ser les lignes droites en parties égales des procédés précis que nous ferons connaître par la suite. Il nous suffira, pour l’instant, d’indiquer com- . ment on peut , avec le moins de tâtonnements possibles , y parvenir approximativement, ce qui suffit dans un grand nombre de circonstances.

Soit AB (fig. 5) une longueur qu’il s’agit de diviser en 6 parties égales , par exemple : prenons une ouverture de compas qui soit, à vue d’œil, le cinquième de A B, mais plutôt trop grande que trop petite , et portons la

• vX

r.ïîOWÉTRIE PLANE. 13

5 fois de suite de A vers B. S’il arrivait que l’extrémité tle la cinquième ouverture de compas tombât précisément au point B, la division serait effectuée; mais généralement elle tombera au delà, en un certain point D. Sans déranger la pointe du compas qui se trouve sur le point de division précédente, rapprochons graduellement la pointe D, d’une quantité D 0, h peu près égale au cinquième de B D, mais plutôt moindre que plus grande, et portons la longueur CO 5 fois de suite de A vers B. Si D O était précisément le cinquième de B D, C O serait précisément le cinquième de A B; car A B , qui est la différence entre A D et B D, serait égal à 5 fois C D moins 5 fois D 0 , ou à 5 fois la différence entre C D et D O, c’est-à-dire à 5 fois C O. Si D O est moindre que le cinquième de B D, C O sera plus grand que le cinquième de A B ; mais pour peu que l’on ait le coup d’œil exercé, B D ne surpassera 5 fois D O que d’une quantité moindre que D O. Désignons par e cette différence; ou aura BD = D0X5-f-e, par conséquent

A B = A D— BD = C D X5 — DO X 5 — e = (CD— DO) X5 — couAB=COX5 — c,

c’est-à-dire que l’erreur qui, tout à l’heure, était B D, sera réduite à la quantité e moindre que le cinquième de B D.

En renouvelant l’opération, on réduira l’erreur à une quantité moindre que le cinquième de c, et ainsi de suite. ISIais, ordinairement, après la troisième opération l’erreur est déjà inappréciable ; et , avec un peu d’adresse , deux opérations suffisent.

Si le nombre de parties que l’on veut obtenir était considérable , le procédé que nous venons d’indiquer ne serait plus susceptible de la même précision; d'ailleurs l’épaisseur même de la pointe de compas est une cause d’erreur qui se multiplie d’autant plus qu’il y a plus d’ouvertures de compas successives à porter. Mais ordinairement ce nombre de parties, lorsqu’il est considérable, n’est point un nombre premier; et en le décomposant en ses divers facteurs, on peut rempla-

14 PRBiHlicRE .PARTIE.

cer la diviBion proposée par plusieurs divisions succès* sives pins commodes à effectuer. Pour diviser, par exemple, imc longueur en 100 parties é^les, on la divisa d’abord eu à parties; puis chacune de ces â parties en 6 autres, et chacune de celles-ci en 4 autres. Ces dernières parties sont évidemment au nombre de â X • X 4 up de 100.' V <• •

18. — PaoBLÉME. T/viii'er en nomhreii le rapport de deux longueurs données AB et Ci) (fig. C). Prenons une ouverture de compas égale à la |dus |)étite CD des deux longueurs proposées, et portons la de A vers B au-^ tant de fois que cela sera passible ; admettons qu'elle y. soit contenue 2 fois , plus lui reste Ë D , on aiu:a i . »

AB*=CDX2-hKB (1) ' .

Portons dé même E B sur CD autant de fols que celâ sera possible ; admettons qu’il y soit contenu 3 fois , plus un reste F D, on aura '*

CD = EBX3-f-FD (2) .. '*

Portons F D sur E B autant de fois que cela sera possible ; admettons qu’il y soit contenu 5 fois, plus un reste O B , on aura

5 EB = FDX5H-0B..,..(.3) ,

Portons O B sur F D autant de fois que cela sera possible; admettons qu’il y soit contenu 2 fois exactement ; on aura • FD^OBXS (4)

En rapprochant les relations (1), (2) , (3), (4) , il est facile maintenant d’obtenir le rapport cherché. En effet : eu ayant égard à la dernière, la précédente devient

EB = OBX2X6+OB = OBX10-}-OB=rOBXll...(5)

En ayant égard aux relations (4) et (6) , la relation (2) devient

CD-OBX11X3-1-OBX2=OBX33-|-OBX2=OBx35.(6)

En ayant égard aux relations (5) et (6) , la relation (1) de-, vient t

AB>=iOB X 86 X24-OB X ll=OB XTO-hOBXll • , .. .. J a^OBX8I...*i.. (7). )•

G^OArÉTRIB PLANE. i5

Ainsi la longueur 06 est contenue 35 fois dans CD et 81 fois dans A B. Les longueurs données sont donc entre elles dans le rapport des nombres 35 et 81.

’ La longueur O B qui se trouve contenue un nombre exact de fois dans les deux longueurs proposées, est ce qu’on nomme leur commune mesure.

• L’exemple précédent indique assez quelle est la marche à suivre pour trouver en nombres le rapport de deux longueurs. Il faut porter la plus petite sur la plus grande autant de fois que cela est possible; porter de même le reste de celle-ci sur la plus petite, puis le second reste sur le premier, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste qui soit exactement contenu dans le précédent. Ce reste est la commune mesure des deux longueurs proposées, et les nombres cherchés s’obtiennent en rapprochant les unes des autres les relations fournies par les diverses opérations effectuées.

Cette méthode offre une analogie frappante avec le procédé suivi en arithmétique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres; ce plus grand commun diviseur n’est autre chose en effet que la plus grande des communes mesures de ces deux nombres.

19. — Deux nombres quels qu’ils soient, étant toujours formés de la réunion de plusieurs unités, ont au moins une commune mesure qui est l’unité elle-même. Il n’en est plus ainsi pour les longueurs ; elles existent indépendamment de toute convention faite à l’égard de l’unité, en sorte qu’il peut arriver qu’elles iraient aucune commune mesure, quelque petite que soit l’unité adoptée. Dans ce cas, ces longueurs sont dites incommensurables. En leur appliquant le procédé que nous venons d’indiquer, l’opération se prolongerait indéüniment sans qu’on piit par\enir à un reste contenu dans le piHîcédent un nombre exact de fois. Ainsi le rapport des longueurs proposées ne saurait être exprimé rigoureusement par des nombres : je dis rigoureusement, parce que, dans la pratique, l’opération a> ant nécessairement un ternie, celui où le reste devient inappréciable à l’aide de l’instrument employé, on peut admettre alors que le reste précédent soit la

16 PRK&IIÈRC: PARTIR. >

commune mesure des longueurs proposées » et les nombres que Ton déduit de cette supposition fournissent une ajiproximation suffisante du rapport cherché. «

> 20. — Dans les problèmes précédents, nous avons supposé que l’on pouvait faire usage du compas. Si les longueurs proposées étaient très-grandes, le plus simple serait de mesurer ces longueurs, c’est-à-dire de les rapporter à une même longueur prise pour unité, ce qui permettrait de les exprimer en nombres , du moins approximativement ; et l’on n’aurait plus qu’à effectuer sur ces nombi'es de simples opérations d’arithmétique.

' De la mesure des lignes droites.

21. — Mesurer la longueur d’une ligne droite, c’est, comme nous venons de le dire, la comparer à une autre longueur prise pour unité. Pour opérer cetle comparaison on porte l’unité sur la longueur à mesurer , autant de fois que cela est possible. C’est ainsi que pour appi*écier. sur le terrain la distance de deux points, on compte le nombre de pas qu’il faut faire pour se rendre de l’un à l’autre; l’unité de mesure est alors le pas. Quoique ce procédé ne soit susceptible d’aucune exactitude, on s’en sert quelquefois pour évaluer approximativement les distances. Indépendamment de ce mode de mesure et de quelques autres du même genre, on a des moyens plus rigoureux et plus généraux, qui consistent dans l’emploi d’une même unité de longueur imposé par l’usage ou par la loi à tous les individus d’une même nation. Cette unité a varié suivant les temps et les peuples ; et l’on comprend d’ailleurs que chez le même peuple et dans le même temps une seule unité ne puisse suffire; car il serait absurde d’évaluer avec une même unité la distance de deux villes , et celle de deux points marqués sur le papier. H suffit que les diverses unités employées conjointement aient eutiH: elles une relation connue aussi simple que possible.

Eu France, l’anité principale de longueurétait autrefois la toise- Elle se subdivisait en fi pieds , chaque pied

(îltOMHTRIE 17

en 12 pouces , et chaque pouce en 12 liâmes. tâtait

une longueur de 3 pieds 7 pouces 10 lignes 18 pieds formaient la perche de Paris; '22 pieds composaient la perche des eaux et forêts. La lieue commune valait 2282 toises; la lieue marine, environ 2852 toises, etc. Quant à la longueur absolue de la toise, elle ne se liait à aucune distance invariable qui piit servir à la faiitî retrou- \er en cas d'altération. Ces différentes mesures variaient d’ailleurs d’une province à l’autre, et souvent d’une ville à l’autre dans la même province.

Depuis le commencement de ce siècle (2 novembre 1801 ) , ce système de mesure incohérent a été h'galement remplacé i>ar le système métrique , ainsi appelé du nom de l’unité principale de longueur qui en fait la base. Le mètre est, comme on sait, la dix-millionième partie de la distance du pôle à l’équateur, et vaut en mesures anciennes443'*s“®»,3. Il sesubdiviseen xOdécimètres, chaque dtH'imètre en 10 centimètres , et chaque centimètre eu 10 millimètres. Une longueur de 10 mètres forme un décamètre; 10 décamètres font un hectomètre ; 10 hectomètres valent un kilomètre; et 10 kilomètres font un myriamètre. Le kilomètre et le myriamètre servent à évaluer les distances géographiques.

Pour mesurer les distances jalonnées, on emploie la chaîne d'arpenteur (tig. 7) ([ui a un décamètre de long. Llle se compose de 50 chaînons rectilignes, ayant chacun 2 dé<ûmètres de longueur, et réunis par des anneaux. Le 6* anneau, le 10®, le 15* et ainsi de suite de cinq en cinq, sont en cuivre, et divisent la chaîne en longueurs égales d'un mètre cliacune. Pour mesurer une droite à l’aide de cette chaîne, deux personnes la tendent dans la direction de cette droite, de manière que son extrémité A coïncide avec celle de la droite. On mar((ue au moven d’une fiche en fer le point où correspond l’extrémité IL On transporte ensuite la chaîne de manière que l’extrémité \ vienne correspondre à celte fiche, et l’on plante une nouvelle fiche au point oii se Irouve l’extrémité IL On transporte la «'haine de la mènu' inanièi'c sur toute l’ét'Mulue de la ligne à mesu-

PEEMIÈRE PARTIE.

rer. Afin ne pas être obligé de revenir sur ses pas, chaque fois que la personne qui porte rextréniité B planté en terre une nouvelle fiche, celle qui porte l’extrémilé A enlève la fiche précédente; les fiches passent ainsi des mains de la première personne dans celles do la seconde , qui n’a plus qu’à compter ces fiches pour savoir combien de fois la chaîne a été portée sur la droite à mesurer. ,

Il arrive ordinairement que la longueur de la chaîna n’est pas contenue un nombre exact de fois dans la ligne à mesurer; mais, à l'aide de la division de la chaine, il est facile d’obtenir la mesure du reste. Si, par exemple, la chaîne a été portée en entier G fois sur la ligne à me.surer, et que le reste contienne 4 anneaux de cuivre, plu» 2 anneaux de fer, plus les ^ de la longueur d’un chaînon , on en conclura que la longueur totale de la droite est de 6 fois un décamètre , plus 4 fois un mètre, plus 2 fois deux décimètres, plus les j do 2 décimètres, ou 15 centimètres, ce qui fait en totalité 64®55. 11 serait illusoire de vouloir pousser l'approximation au delà des centimètres, car les erreurs qui peuvent provenir du plus ou moins dtf tension de la chaîne pendant l’opération, ainsi que du plus ou moins d’exactitude avec laquelle on fait coïncider ses exti’émités avec les fiches, permettent à peine de compter sur le chiffre des centimètres.

Pour mesurer les droites d’une moindre étendue, telles que celles que l’on rencontre dans l’architecture , dans la charpente , dans l’art du terrassier, etc. , on se .sert d’une règle de deux mètres de long, divisée en déci-i mètres , centimètres et millimètres , que l'on nomme une toue ntvtrique i et l’on porte cette longueur sur la droitu à mesurer autant de fois que cela est ])Os.sible ; on évaluu le reste à l'aide des divisions de la règle. Au lieu de n’employer qu'une règle , et de faire une marque correspondante à son extrémité , chaque fois qu’on l’applique sur la droite à mesurer, il est préférable d'employer deux règles égales que l’on place bout à bout alternativement ; l'opération est à la fois plus exacte et plus prompte.

Les ligues que l’on trace sur le papier se mesurent soit

en pt'enaiit une ou\ erture de compas égale , que l’on transporte sur le bord d’une règle divisée eu centimètres et millimètres, soit à l’aide d’un décimètre pa-

reillement divisé, et taillé en biseau, de manière que son tranchant puisse venir affleurer la ligne à mesurer. 11 suffit alors d’un peu d’habitude pour apprecier à l’œil les fractions de millimètre avec luie suffisante approximation. Quand le double décimètre est divisé avec soin, il offi’e une appréciation aussi rigoureuse et plus immédiate que l’emploi du compas.

Lorsque l’on veut pousser l'approximation jusqu'aux dixièmes de millimètre, on fait usage d’un instrument nommé vernier, du nom de l’un de ses inventeurs.

Soit AB (fig. 8) l’extrémité d’une règle divisée en millimètres. Une petite règle CD, qui peutglisseï* à frottement doux le long de la première, embrasse une longueur de 9 millimètres; mais elle estdivi.sée en 10 parties égales : c’est cette petite règle qui porte particulièrement le nom de vernier. La longueur de chacune de ses divisions est de de millimètre. Il en résulte que les traits marqués I et Isur les deux règles sont distants de de iuillimètre; que les traits marqués 2 et II sont distants de de millimètre; que les traits marqués 3 et III .sont di.stauts de ^ de millimètre, et ainsi de suite.

Supposons maintenant qu’il s’agisse d’apprécier le nombrede dixièmes de millimètre compris entre le. trait marqué XIII, et un point O qui affleure le bord delà règle. Faisons glisser le vernier le long de la règle jus- (ju’à ce que son extrémité D vienne correspondre au jx)int O. Dans ce mouvement, toutes les positions relatives des traits des deux règles auront changé; mais il s’en trouvera toujours deux qui coïncideront sensiblement. Admettons que ce soient le trait 3 du vernier et le trait VII de la règle qui coïncident (fig. 9). Le trait 4 .sera en retard de de millimètre sur le trait VIII; le trait 6 sera en retard de de millimètre .sur le trait IX, et ainsi de suite; et conime de 3 à D il y a 7 divisions, il est facile de voir que l’extrémité D du vernier sera en retard de 75 de millimètre sur le trait XIV de la règle;

20 PnifMlfcUE PARTIE.'

celte eiclrémild sera donc en avance de de miltiraètrc sur le trait précédent XIII. On voit que le nombre de dixièmes de millimètre compris entre le point' O et le trait précédent de la règle est précisément égal au numéro d’ordre du trait du vernier qui coïncide avec un trait de la règle.

La disposition que nous venons de décrire n’est point particulière à la division en millimètres ; on obtiendrait de la même manière les dixièmes dans un système de division quelconque. L'approximation n’e.st pas non plus bornée aux dixièmes : on obtiendrait des trentièmes, par exemple, en donnant au vernier une longueur égale h 29 divisions de la règle, et en divisant le vernier en 80 parties égales. Remarquons toutefois que l’épaisseur même des traits est un obstacle à ce que l’approximation puisse être poussée au delà d’une certaine limite ; car il vient un point on la distance des traits correspondants du vernier et de la règle est si petite qu’il est fort difficile de distinguer ceux qui coïncident véritablement.

Dans certaines mesures de précision relatives à des questions de physique , par exemple , on ptnisse néan- . moins l’approximation beaucoup plus loin que 1« dixièmes et même les trentièmes de millimèD’e; mais il faut pour cela avoir recours à des dispositions mécaniques que nous ne pourrions décrire encore. ' '

22. — Les différents problèmes que l’on peut se proposer .sur les longueurs se résolvent .sans difficulté quand on .sait mesurer ces longueui*s , puisque cette mesure permet de les remplacer par des nombres. Si , par exemple , on a trouvé que deux longueui’s équivalent l’une à S“574, l’auti-e à 1">696, la somme ou la différence de ces longueurs sera exprimée par la somme ou la difféirnce de ces nombres; il suffira également de multiplier 1 un de ces nombres ou de le diviser par un nombre abstrait pour effectuer la même opération sur la longueur coi'respondante. Une fois le résultat obtenu par un simple calcul d’arithmétique, on construira la longueur correspondante à c«' résultat eji portant sur une ligne droite

;îy Guugle

GliOMÉTRIK PLAHE

îudéfiDie le nombre d’unités de longueur que ce résultat exprime. Si, par exemple, on fait la somme des nombres ci-dessus, ou la trouve égale à 5“'270 ; pour obtenir la longueur correspondante, il suffira de porter sur une même ligne droite 5 mètres, puis 2 décimètres, puis 7 centimètres. Il en serait de même pour tout autre résultat.

S'agit-il d’exprimer en nombres le rapport de deux longueurs, cette opération se trouve immédiatement effectuée quand on a mesuré les deux longueurs. Les deux longueurs ci-dessus, par exemple, sont entre elles comme 3,574 est à 1,G96, ou comme 3574 est «à 1696. Si les deux longueurs étaient incommensurables, c’est encore en les réduisant en nombres, à l'aide d’une unité de mesure, que l’on obtiendrait le plus promptement l’approximation convenable.

Dans les arts, on a continuellement recours aux mesures , soit que l’on commande, que l’on exécute ou que l'on vérifie. Il est cependant des cas nombreux où les procédés graphiques doivent obtenir la préférence, parce qu’ils conduisent à une précision qui leur est propre, ainsi que nous le verrons par la suite.

23. — Si l'on donnait un point O dans un plan (fig. 10), et que l'on demandât de trouver dans ce plan un autre point distant du premier d’une longueur donnée, il suffirait, pour obtenir une solution de la question, de mener par le point O une droite quelconque OX et de prendre .sur cette droite, à pai’tir du point O, une longueur OC égale à la longuêur donnée; l’extrémité C de cette longueur serait un des points qui satisfont au pro- ^

blême. Mais on voit que la question est indéterminée, ^

c'est-à-dire susceptible d’une infinité de solutions , puis- \

qu’on peut mener par le point O une infinité de droites ]

différentes.