CHAPITRE II

Du cercle.

PRlUXi^.Rl PARTIE.

Lorsqneron se propose ainsi de trouver un point qui remplisse certaines conditions, et que la question est ind^erminëe , la série des points qui y satisfont forme en général une certaine surface ou une certaine ligne que l’on nomme le lieu géométrique du point cherché. Dans la GéomtHrie plane, ce lien ne peut être qu’une ligne. Dans l’exemple précédent, le lieu du point cherché, c’est-à-dire la série de tous les points situés à une distance du point O égale à la longueur donnée, est une ligne courbe dont l’emploi est continuel en Géométrie, et que l’on nomme circonférence de cercle. Quoique la dénomination de cercle ne s’applique rigoureusement qti’à la portion de plan terminée par la ch’conférence , on donne souvent , pour abréger, le nom de cercle à la circonférence elle-même, et c’est dans ce sens que l’on a coutume de dire : Le cercle est une courbe plane dont tous les points sont également distants ePun point intérieur nommé centre.

La figure 10 représente un cercle : le point O est son centre. Les droites OA, OC, O B, etc., menées du centre aux différents points de la circonférence sont ce que l’on appelle des rayons. D’après la définition même du cercle, toutes ces droites ont la même longueur, ce qu’on exprime en disant que tous les rayons sont égaux. Une ligne droite telle que AB, qui passe par le centre et est limitée de part et d’autre à la circonférence, se nomme un diamètre du cercle. On voit que chaque diamètre se compose de deux rayons, en sorte que tous les diamètres sont égaux. ’

On désigne ordinairement un cercle par son rayon ou par son diamètre : ainsi l’on dira le cerele OA, le cercle AB. Quelquefois on se contente de le désigner par son centre : on dirait ainsi le cercle O.

24. — Applications. Dans la plupart des métiers ou des arts, on a besoin de tracer des circonférences de cercle. Pour tracer un cercle sur le papier, on se sert d’un compas dont une branche est armée d’un crayon •ou d’un tire -ligne, tandis que l’autre branche est à pointe sèche. On pose cette pointe sèche au point que

Dit!--.- L (.

GIÎOMÉTRIE PLANE. 23

l’on choisît pour centre, et l’on fait pivoter la première branche autour de la seconde en apiniyant la pointe à trac'er sur le papier. Si l’écart des deuV- branches n’a pas varié, la courbe tracée est une circonférence de cercle; car tous ses points sont à égale distance du centre.

Quand le rayon que l’on veut donner au cercle dépasse l’écart dont les pointes du compas sont susceptibles, on y supplée h l'aitte d'une règle qui porte un petit pivot à l’une de ses extrémités, et qui est munie vers l'autre d’une pointe à tracer que l’on peut faire mouvoir au moyen d’une coulisse, suivant la longueur de la règle, et fixer, à l’aide d’une vis de pression, en un point quelconque de cette longueur.

Pour tracer un cercle sur le terrain , on plante un ]>iquet au centre; on accroche h ce piquet, au moyen d’une boucle, un cordeau que l’on tend à l’aide d’un .second piquet engagé dans une lK>ucle faite à l’autre extrémité; et l’on fait pivoter le second piquet autour du premier, en conservant au cordeau le même degré de tension , et en empêchant les boucles de monter le long des piquets , ce qui tendrait à faire varier le rayon. *

Au lieu de faire mouvoir une pointe h tracer snr un plan fixe, en la maintenant aune distance t'onstante du point choisi pourcentre, on peut, au contraire, maintenir la pointe à tracer dans une position fixe, et faii’e mouvoir le plan autour du centre comme une roue. Il est évident que le résultat est le n^ême. C’est ainsi que les tourneurs et les potiei’s de terre tracent les circonférences de cercle.

25. — Thëoricmb. Deuæ eerclcs O et I (fig. Il) décrits du meme myon sont égaux. En effet, imaginons que l’on transporte le cercle I sur le cercle O, de manière que les centres I et 0 coïncident, les deux circonférences devront coïncider aussi ; car si certains points de l’une tombaient en dedans ou en dehors de l’autre, tous les points de ces circonféi’ences ne seraient pas également éloignés du centre, ce qui est contraire à la supposition. i

PllKiVIlÈRE PAUTIE.

Ces circonférences coïncident donc dans toutes leurs parties, et sont par conséquent égales.

Corollaire. Pour tracer une circonférence égale à une circonférence donnée, il suffit donc d'employer le même rayon.

Remarque. Quand deux circonférences de même rayon sont placées de manière à avoir même centre, elles coïncident dans toutes leurs parties de quelque façon qu’on les fasse tourner dans leur plan autour de ce centre. Le cercle est la seule ligne courbe qui jouisse de cette propriété.

Application. On a dans les arts des occasions fré- ,quentes de tracer des circonférences égales : les roues de voiture qui tournent sur le même essieu ont des circonférences égales; le couvercle d’un vase de forme ronde le ferme d'autant mieux que sa circonférence diffère moins de celle de l’ouverture du vase, etc. ,

26. — Toute portion de circonférence, telle que A MB (fig. II), se nomme un arc de cercle, et la droite AB, qui joint ses extrémités , se nomme la corde de cet arc. On dit que la corùe sous-tend l’arc, et que l’arc est sous~ tendu par la corde.

Remarquons que la même corde sous-tend à la fois deux arcs; ainsi AB sous-tend également l’arc A/iB et l’arc AM B. Mais quand on parie de l’arc sous-tendu par une corde, c'est toujours du plus petit de ces deux arcs qu’il est question , à moins que l’on n’exprime positivement le contraire.

27. — Théorème. Dans des cercles égaux , ou dans le même cercle y les arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales. Soient d’abord deux cercles égaux 0 et I (fig. 11), et soit l’arc AMB égal à l’ai*c CM D; je dis que la corde AB est égale à la corde CD. En effet, trans{)ortons le cercle I sur le cercle 0 , de manière que le centre I tombe en O; les deux circonférences étant égales coïncideront, de quelque manière qu’elles soient tournées dans leur plan. Elles coïncideront donc encore lorsqu’on les fera tourner de manière que le point C tombe sur le point A- Mais alors les arcs CÎS’D et .4MB étant égaux,

géomktrie plane. 2o

*'rJ“ point B, rt la droite CD coin-

exlrdmile. r T curant les mêmes

exlrcniitts. Ces deux droites sont donc égales.

e-,aux AIMB, end. Traçons un cercle I égal au cercle O

venons A T* ^ ^ ^ cordc A B d’après ce que nous

ons de deinontrer. Mais l’arc cml étant égal à AM B est aussi égal a CND; ainsi la corde rc/égale la corde C D

PI t,.p ^i7 à une troisième sont égales

entre elles : donc cd= AB. ^

ou dans le

^randp V Z f[rand arc correspond une plus

grande corde. Soient deux cercles égaux O et I (fig. 12) ,

l! T o"' CND, je chs que

snît°A ai ^ gi’ande que la corde CD. En effet,

i corde A E sera égale à

a coide CD, d apres le théorème précédent. Il s’agit

-AB est plus grand que AE. Pour , tirons le rayon EO, qui coupera la corde AB en lin certain point H; tirons aussi le rayon O B. La ligne

ite étant le plus court chemin d’un i>oint à un autre , on j)eut écrire

AE<AU+HE, et OB<OH+HC.

Ajoutons ces inégalités merabi-e à membre, l'inégalité subsistera encore dans le même sens, et l’on aura

ae+ob<ah+he+ohh-hb.

et HE-l-OII, c’est OE: l’iné-

galite devient donc