ÂC’ «= AB’ -4-'BG’ — 2. AB X BC

Application. Supposons, par exemple, qu’un cari'é ait 8'“ de côté , et par conséquent 64'“ ^ de superficie. Si l’on diminue son coté de 3'“, sa superficie , d’après le théorème pi-écédent , augmentera d’une part du carré de 3™, c’est-à-dire de 9"* ®, et diminuera de l’autre de deux fois le produit de 8>“ par 3'", c’est-à-dire de 48'“- “ ; et l’on aura :

et en effet , chacun des deux membres de cette égalité équivaut à 25'“- «. . .

359. — Théorème. Dans tout parallélogramme ^ la somme des carrés des côtés équivaut à la somme des car~

rês des diaç^onales. Soit A B C D (fig. 290) im parallèle-gramme quclcooque. Tirons les diagonales AC et BD. Par le point A menons A I perpendiculaire sur le prolongement de DC. et par le point D menons DH perpendiculaire sur AB.

Dans le triangle AD I on aura (353) :

AD’ = AI* -h ID’ (1)

Dans le triangle A C I on aura :

TC’ ="ÂÏ* -f- ÎC’ (2)

mais I C étant la somme des lignes 1 D et DC, on a , en vertu du théorème du n“ 357 :

iC’ =Td* H- DC’ + 2. 1 D X D C.

L’égalité (2) devient donc

AC’ =ÂÏ’-f-lï)’ + DC’-h2.1DxI>C, ou , en ayant égard à la relation (1) ,

TC’=ÂD’-|-Ërc’ 4-2.1 D X DC. . . , (S)

Dans le triangle DH B, on aura

D^’ = 'DH’4-HB’ (4)

Dans le triangle AD H , on aura aussi

AD’ = DH’ 4- ÂH’ (5)

Mais la droite II B étant la différence des droites A B et AH, on a , en vertu du théorème du n® 358 ,

W =Tb’ 4-ÂH’ — 2.AB X AH.

L’égalité (4) devient donc

DB’ =Ï5h’ 4-^’ -t-ÂTli’ — 2.AB X AH, ou , en ayant égard à la relation (5) ,