DF* : Ï5Ë* :: IF :IE
mais les parallèles EF et AC étant coupées proportionnellement par les sécantes DA,DB,DC issues d’un même point (147), on a:
IF : I E : : B C : B A ou : : m : « ; donc , à cause du rapport commun
ou , puisque DE est égal à M ,
DF* : M* : : m : n.
Corollaire. On peut, par cette construction , faire un carré qui soit le double , letriple, le quadruple d’un carré donné, etc., ou qui en soit la moitié, le tiers, le quart, etc.
Application. Cette construction peut devenir utile pour la réduction d’un dessin. Supposons, par exemple, qu’on veuille , par la méthode des carreaux (261 ) , ré-
246 PAEMIÈRE PARTIE.
duire uiv dessin , de mânière que la slipet* Seie soit lés J de ce qu’elle était d’abord. Après avoir enveloppé le modèle d’un carré quelconque, dont le côté peut être représenté par M comme ci-dessus , on aura à trouver un carré qui soit les | du premier. Dans ce cas particulier , le rapport m ; n devra être remplacé par le rapport f : 1 ou 3 : 6. Ayant déterminé D F d’après cette condition , comme nous l’avons indiqué ci-dessus , on construira un carré sur cette ligne , et c’est dans ce carré que devra se faire la copie.
Remarque. Dans quelques cas particuliers, on peut éviter la construction précédente.
Si AB CD (fig. 198) est le carré donné , et que l’aire d\i carré demandé doive être le double de celle de A BCD; tirez la diagonale AC , ce sera le côté du carré demandé. Car dans le triangle isocèle rectangle ABC, on a À C’ = AB’-t-BC* = 2. A B*. Ainsi, le carré fait sur ACestle double du carré fait sur AB, c’est-à-dire le double du carré donné.
Si le carré cherché doit être le triple du carré donné, soit M le côté de ce carré donné : sur une même droite prenez deux longueurs B D et DC (fig. 287) égalesà M. Des points B et C comme centres , avec B C pour rayon , décrivez deux arcs qui se couperont en un point A. Joignez AD, ce sera le côté du carré cherché; car, d’après la construction, le triangle ABC est équilatéral , et AD est perpendiculaire sur B C ( 182, Rem. IV ) ; on a donc, en vertu de la remarque II du n® 326,
AD : B D : ; 1 , ou AD* : ¥d* ; ; 3 : 1 ,
c’est-à-dire ÂD* :’M* : : 3 : 1 ;
le carré construit sur A D sera donc le triple du carré
donné.
Si le carré cherché doit être le quadruple du carré donné, prenez le double du côté M du carré donné, ce sera le côté du carré cherché; car son aire équivaudra à 2M X 2M ou 411*.
Si le carré chei*ché doit être la moitié seulement du
GKOMOTRie PLAHK. !247
carré donné ÀBC D (fig. 193) , prenex la moitié de sa diagonale A C , ce sera le côlé du carré cherché; car
l’aire de ce carré aura pour mesure ^ x ^ ou-^; or,
nous avons vu que AG’ *= 2;AB’; l’aire en question sera
donc équivalente à ■— — ou à c’est-à-dire à la moitié du carré donné.
Si le carré cherché doit être le tiers du carré donné dont nous représenterons le côté par M, prenez B C ( fig. 287 ) égal au double de M , et achevez , comme plus haut, le triangle équilatéral ABC. Des points A et B abaissez sur les côtés opposés les perpendiculaires AD et BE. Ces perpendiculaires se couperont en un point O, la longueur OD sera le côlé du carré cherché; car les triangles rectangles B AD et CAD étant égaux, comme ayant l’hypothénuse ^ale et un côté commun , l’angle B A D e.st la moitié de l’angle BAC, et vaut conséquemment ^ d’angle droit. On en peut dire autant de l’angle CBE. Les triangles ABD et OBD sont donc équiangles , et par suite semblables , et l’on a la proportion :
OD: BD :: BD : ADoii"ÔD* : BD* • = BD* : AD*; mais BD’ est le tiers de AD’, ainsi que nous l’avons rappelé tout à l’heure , donc O D’ est aussi le tiers de B D’ ou de M’. Aitosi le carré construit sur OD sera le tiers du carré donné.
Enfin , si le carré cherché doit être le quart du carré donné dont le côté est M , prenez la moitié de M , ce sera le côté du carré cherché; car l’aire de ce carré aura
pour valeur - X “ ou
857. — TUéouëme. Le carré construit sur la somme de deux lignes équivaut au carré construit sur la première , • plus le carré construit sur la seconde , plus deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes. En effet , soient AB et BC (fig. 288) ces deux lignes. Construisons le carré ACGI; prenons AE c= AB; menohs EF parallèle
248 PREjniRE PARTIE.
à AC, et B H parallèle à AI. Tous les angles de la figure seront droits. Les droites A E, BD, DF seront égales entre elles, comme parallèles comprises entre parallèles : il en/sera de même des droites AB, ED, I H; et comme AE égale AD, les droites AE, BD, CF , ED, IH sont toutes égales à A B.
Les droites El, DH, E G sont égales entre elles comme parallèles comprises entre parallèles; il en e.st de même des droites BC, DF, H G. D'ailleurs, comme on a Al==AC,puisqueACG est un carré, etAE=AB, il en résulleAI — AE == AC — AB , ou Et=BC. Ainsi les droites E I , D H , F G, D F, H G sont toutes égales à B C.
Il suit de là : que A B D E est le carré construit sur A 6 ; que DF G H est égal au carré construit sur BC; que EDHl est égal au rectangle construit sur AB et sur B C; et qu’il en est de même de B CFD.
Or la somme de ces quatre figures forme le carré A C G I ; le carré construit sur la somme A C des deux lignes A B et B C équivaut donc au carré de AB plus le carré de B C , plus deux fois le rectangle construit sur AB etBC.
CoBOLLAiRE. Si l’on remplace ces diverses figures par leur mesure, on obGent :
AC’=Xb’+BG" + 2. AB XBC.
Application. Supposons, par exemple, qu’un carré ait 8“ de côté , sa superficie sera de 8 X 8 ou 64 mètres carrés. Si l’on augmente son côté de 3>n , sa superficie augmentera, d’après le théorème précédent , du carré de 3®, c’est-à-dire de 9*“':, plus de deux fois le produit de 8"> par 3“», c’est-à-dire de deux fois 24“-« ou de 48“et l’on aura :
(8'" X 3“)’ = 64"> c-f- 9m.c 1 4gm.c5
et en effet , chacun des deux membres de cette égalité vaut 121'“'=.
358. — Théorème. Le carré construit sur la différence •de deux lignes , équivaut au carré construit sur la plus grande , plus le carré construit sur la plus petite , moins .deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes.
En effet, soient AB et BC (fig. 289) ces d^ix lignes. Construisons les carrés ACKHet ABDE.Onaura AE*=AB et AH i*s AC, d’où
AE — AH.=,AB — AC ouHE = BC.
Prolongeons DE et KH de quantités E F et H G égales à, B C , et joignons F G. La figure E F G H sera un carré (234) égal à celui qui serait construit sur B C.
Prolongeons C K jusqu’à la rencontre de DE en 1 ; la droite DB étant égale à AB, puisque ABDE est un carré, le i*ectangle CB DI est égal à celui qui serait construit sur AB et B C.
On a ID = BC; mais on a aussi FE = BC; donc FE = ID; donc aussi FI = ED = AB : d’ailleurs, FG=HE = BC. Le rectangle G Kl F est donc égal à celui qui serait construit sitr A B et sur BC.
Or le carré AC KH équivaut évidemment au carré ABDE, plus le carré E F G H , moins le rectangle C B D I , moins encore le rectangle GKÏF. Donc le carré construit sur AC, différence des lignes AB et B C, équivaut au carré construit sur A B, plus le carré construit .sur BC, moins deux fois le rectangle construit sur A B et B C.
CoaoLLAiBE. Si l'on ix^mplace ces diverses figures par 1 eur mesure , on obtient :
